浅谈探索性问题的解法.doc-道客多多

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1、第 1 页共 9 页浅谈探索性问题的解法探索性试题是近几年来中考比较常见的开放型试题，也是中考数学试题中出现的一种新题型。这种题型能够考查学生的数学阅读能力，观察能力、试验，类比和归纳能力，综合运用知识的能力，以及探索能力等，今后的中考数学试题中必将继续出现这种题型，而且在质量上也会上一个新台阶，教师在数学总复习时必须重视这种题型的分析与指导。探索性数学试题，可分为结论探索性和探究存在型两种类型。结论探索型试题是指命题的条件下不完备或结论不明确，从而蕴含着几种可能性，因此这类命题能激发学生的创造思维能力和探索热情，在教学中可引导学生注意自命题，改编命题的变式训练。探索存在型试题是命题的结论或

2、结论的某种情况问你存在与否，这种试题可以考查学生的判断能力、发现问题、解决问题的能力，因此教学中应注意这种开放型试题的训练，以培养联想、猜想、探索等能力。例 1、已知ABC，P 是边 AB 上的一点，连结 CP1、ACP 满足什么条件时，ACPABC2、ACAP 满足什么条件时，ACPABC此题也是探索性题，可引导学生从结论出发找到需要的条件，从而使问题得以解决。分析：从图（1）可以看出，ACPABC，AA，根据三角形相似的判定定理，只要使ACPB 或使 ACAPABAC，都有ACPABC。解：（1）AA当ACPB 时ACPABC（两角对应相等，两三角形相似）（2）AA当 ACAPABAC 时

3、ACPABC（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）答：（ 1） ACPB 时，ACPABC；（2）ACAPABAC 时，ACPABC第 2 页共 9 页与二次函数有关的探索性试题随着数学中考对考查学生的数学思想方法及分析问题解决问题的能力的要求逐年提高，中考试题中出现了一类新颖的题型探索性试题，与二次函数有关的探索性试题又是中考热点之一其特点是：1难度大此类试题涉及的知识点多将知识、技巧、思想方法综合在一起，对学生思维和能力有较高的要求2选拔功能强这类题大体有以下类型1由已知条件探索结论这类试题给出命题的条件，要求考生探索命题的结论，并加以证明

4、其解法是：根据二次函数的性质，应用综合法从已知条件推出可知，再推出可知，逐步推出正确的结论或通过观察，想象、比较、归纳，作出猜想，然后证明猜想这是一个不断地由未知转化为已知的探索性思维的过程2探索存在性问题此类试题是探求符合题设条件的数学对象是否存在其解法是：先假设所需探求的对象存在或结论成立，以此假设为前提运用二次函数等知识进行运算或推理，找出数学对象存在的条件，从而确定数学对象的存在，否则不存在探索型问题（二）数形结合，探索思路。例 1已知抛物线 y=x2+kx+1 与 x 轴相交于两个不同的点 A、B，顶点为C，且 ACB=90 ，试求如何平移此抛物线使其ACB=60 。分析：很

5、多同学对这道题感到比较生疏，一是有的已知条件，如ACB=90意味着什么？怎样入手解？二是平移后使ACB=60 ，又意味着什么？不妨换个角度考虑问题，画图观察一下。草图如图所示，可看到由于抛物线的对称性，ACB=90 就意味着ACB 是等腰直角三角形，就是说，第 3 页共 9 页斜边 AB 上的高 CD 等于斜边 AB 的一半，而 AB 的长等于这两点横坐标差的绝对值，CD 的长则是顶点 C 纵坐标的绝对值。于是可以列出方程，求得k 的值：设 A、B 两点横坐标分别为 x1、x 2，则它们是方程 x2+kx+1=0 的两个相异的实数根，那么有于是 AB=|x2-x1|=又设顶点 C 的坐标为

6、(x 0,y0)，应用顶点坐标公式，有y0= ，CD=|y 0|。42k那么条件 CD= AB 就是如下方程： |x1-x2|=|y0|，1即 = （k 2-40）。 24k2(k 2-4)2-4(k2-4)=0， (k 2-4)(k2-8)=0。k 2-40，k 2-8=0。k= 2 。于是抛物线解析式为 y=x22 x+1。这样通过观察图形和计算，不但弄清了ACB=90意味着什么和如何利用这个条件求出 k 值，同时也提示我们用同样的方法去分析平移抛物线，使其ACB=60。画图分析可看到，抛物线向下平移，ACB 逐渐变小，当ACB=60时，由抛物线的对称性可知ACB 为等边三角形。因为等边三

8、于是可知，把已知抛物线向下平移 2 个单位，就能使ACB=60。解略。探索定值问题例 2（1）已知在四边形 ABCD 中，B=D=90，M 为 AC 上任一点，且MPBC，MQAD，求证：是一个定值。 CDQABP分析：从动点的临界位置（特殊点）探求定值。 M 运动到 A（或 C）时，值为 1。 M 到中点时，猜到后证明。 21略证： AMDQBP例 3、已知过定O 的直径 AB 的两端及上任一点 E 作O 的三条切线AD，BC 和 CD。它们分别交于 D，C 点，求证 ADBC 是定值。分析：从动点的特殊位置，图形的特殊形状等探求定值。 E 到临界位置 A（B）不存在，找特殊中点则出

9、现两个正方形，边长为 R，猜想 ADBC=R2，简证：连接 OD、OE、OC，应证明 ODOC，OECD， RtODERtCOE ADBC=DECE=OE 2=R2。解直角三角形例 4（黑龙江哈尔滨市）在数学活动课上，老师带领学生去测河宽.如图，某学生在点 A 处观测到河对岸水边处有一点 C，并测得CAD=45，在距离 A点 30 米的 B 处测得CBD=30，求河宽 CD（结果可带根号）. 第 5 页共 9 页解：在 RtACD 中，CAD45，CD=AD。设 CD=AD=x(米)，则 DB=(x+30)米。在 RtBCD 中，CBD30， tan30=解得 x= 米。答：河宽 C为

10、米。例 5（重庆市）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。据气象观测，距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心，其中心最大风力为 12级，每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以 15 千米/时的速度沿北偏东 30方向往 C 移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响. （1）该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由。（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？解：（1）如图，由点 A 作 ADBC，垂足为

11、 D。AB=220，B=30， AD=110（千米）。由题意，当 A 点距台风中心不超过 160 千米时，将会受到台风的影响，故该城市会受到这次台风的影响. （2）由题意，当 A 点距台风中心不超过（124）20160 千米时，将会受到台风的影响，则 AE=AF=160.当台风中心从 E 处移到 F 处时，该城市都会受到这次台风的影响. 由勾股定理得：DE= 。EF=60 （千米）。该台风中心以 15 千米/时的速度移动。这次台风影响该城市的持续时间为 (小时), （3）当台风中心位于 D 处时，A 市所受这次台风的风力最大，其最大风力为 12- =6.5 级。探索型问题（三）探索最值问题第

12、 6 页共 9 页例：如图，ABC 中，BC=4，AC=2 ，ACB=60 ，P 为 BC 上一点，3过点 P 作 PD/AB，交 AC 于 D。连结 AP，问点 P在 BC 上何处时，APD 的面积最大？分析：从题目条件看本题是一个几何问题，而从所求结论看，是求最大值的代数问题，因此把几何问题转化为代数中的函数问题是指导我们思路的灵魂。为了实现这种转化，就要把静止转化为运动，把位置关系转化为数量关系，得出函数的解析式，使问题得以解决。如设 BP=x，则点 P 在 BC 边上的运动转化为 x 的取值变化，并且图形中APD 的存在条件制约了 x 的取值，所以 0x4，这些都体现了位置关系与

13、数量关系的转化。ABC 的面积是常量，ABP，APD ，PDC 的面积都是变量，ABP 面积虽然是变量，但 BP 边上的高是常量，PCD 面积是变量，但变化中PCD 始终与BCA 相似，这些都是把几何问题转化为函数问题时常用的观点。解：设 BP=x，APD 的面积为 y。作 AH BC 于 H，则 AH=ACsinC=2 =3。 S32ABC= BCAH= 43=6。 2121 S ABP = BPAH= x。 PD/AB ， PCDBCA，。 S PCD = SABC = (4-x)2。 2)(CBPD 2)4(CP83 S APD =SABC -SABP -SPCD 。 y=6-

14、x- (4-x)2，化简得：y=- x2+ x。 x=2，即 P 为 BC 中点时，APD 的面积最大。83探索存在性问题例:（大连试题）如图所示，已知 A(1,0)、B( ， )，为直角坐标系内3125两点，点 C 在 x 轴负半轴上，且 OC=2OA，以 A 点为圆心、OA 为半径作A。直线 CD 切A 于 D 点，连结 OD。（1）求点 D 的坐标；（2）求经过 O、B、D 三点的抛物线的解析式；（3）判断在（2）中所得的抛物线上是否存在一点 P，使 DCPOCD？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由。第 7 页共 9 页思路：本例中第（3）小题是结论探索型题目。欲

15、判断在第 2 小题中得到的抛物线上是否存在一点 P，使 DCP OCD，可从代数、几何两个方面入手去考虑。从代数入手，可先求抛物线与 x 轴的交点坐标，然后证明该点在A 上，进而证明该点满足条件 DCPOCD。从几何入手，可先考虑A 与 x 轴的另一交点（设为 F）。不难证明 DCFOCD。再证明点在（2）中所得的抛物线上，进而知 F 即为 P 点。解：（1）连结 AD，则 ADCD 于 D,作 DEOA 于 E。点 A 坐标为（1，0），且 OC=2OA，AC=3， sin ACD= , 3CDsin ADE= , E AE= ,因而 OE=1 = ， 3112 DE= ， D 点坐

16、标为( ， ). 23（2）设抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O(0,0)、B( ， )、D( ， ), 312532则 C=0，且解得：，所求的抛物线的解析式为 y=- x2+ x. 43（3）设A 与 x 轴的另一个交点为 F(2,0)，连结 DF， CD 切A 于 D，CDO=CFD，又DCO= FCD，OCDDCF ，将 x=2 代入 y=- x2+ x 中，得 y=0， 43 F（2，0 ）在抛物线上，点 F 即为所求的 P 点，抛物线 y=- x2+ x 上存在一点 P，使 PCDDCO。说明：本例并未要求考生判断结论的唯一性，若存在，找到一个就可以了，在这里，观

17、察、分析，采用合情推理进行判断起了关键作用。例：已知点 A(-1,-1)在抛物线 y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1 上。（1）求抛物线的对称轴。（2）若 B 与 A 点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于第 8 页共 9 页一点 B 的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由。思路（1）用待定系数法确定函数解析式，从而求抛物线对称轴。（2）由轴对称性可求 B 点坐标。结合图形进行综合分析，利用解方程组判定直线的存在性。解答：（1） A(-1,-1)在抛物线 y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1 上， -1=k 2-1+2(k-2)+1, k2

18、+2k-3=0, k 1=1, k2=-3, k 2-10, k 1=1(舍去 ), k=-3. y=8x 2+10x+1, 得对称轴为 x=- . 85（2） B 点与 A 点关于 x=- 对称， B 点坐标为(x, -1)，且 B 点在抛物线上，由(1)知，抛物线为 y=8x2+10x+1. -1=8x 2+10x+1, 4x2+5x+1=0, x 1=-1, x2=- , 4 B 点坐标为(- ,-1). (i)假设存在直线 y=mx+n 与抛物线 y=8x2+10x+1 只交于一点 B，则-1=-m+n，即 m-4n=4. 41又由只有一个实数解，得 8x2+(10-m)x+1-n

19、=0 =0, (10-m) 2-32(1-n)=0. 由,解得 y=6x+ . 21(ii)当直线过 B(- ,-1)且与 y 轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，此41时直线为 x=- . 符合条件的直线为 y=6x+ ，x=- . 214第 9 页共 9 页误区：误认为与抛物线只有一个公共点的直线只有 y=6x+ 或 x=- . 214说明：在结论探索题中，常见的一类就是探索存在性的问题，这类问题的特点是探求命题的结论是否存在。一般的求解方法是：假设结论存在，如果求出的结论符合已知条件则结论存在；如果求出结论不符合已知条件或与定理、公理等相矛盾，则结论不存在。探求存在型试题可以考查学生的判断能力和发现问题、解决问题的能力。完2004 年 11 月 10 日

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