1、考点32 数学归纳法1.（2012天津高考理科18）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列,且=，.()求数列与的通项公式；()记a1bn，证明.【解题指南】（1）分别求出公差和公比即可得通项公式；（2） 错位相减法求出的关系式，进而证明或用数学归纳法证明之.【解析】()设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,由由条件得方程组 ()（方法一）由()得（1），由（2）-（1），得而=，故.（方法二：数学归纳法）（1） 当n=1时，故等式成立.（2） 假设当n=k时等式成立，即则当n=k+1时有：=，即，因此n=k+1时等式也成立.由（1）和（2），可知对任意成立.2.（2012湖北高考理科22
2、）（I）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x0），其中r为有理数，且0r1.求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a10，a20，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式(x）=x-1 .【解题指南】本题考查导数在解函数中的应用,本题(I)问中直接求导,求零点讨论单调性求解;(II)要构造函数，利用函数的单调性证明;(III)利用数学归纳法结合放缩法证明.【解析】(I)f(x)=r-rxr-1=r(1-xr-1),令f(x)=0,解得
3、x=1.当0x1时,f (x)1时,f(x)0,所以f(x)在(1,+)内是增函数.故函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0.(II)由(I)知,当x(0,+)时,有f(x)f(1)=0,即xrrx+(1-r).若a1,a2中至少有一个为0,则a1b1+a2b2成立;若a1,a2均不为0,又b1+b2=1,可得b2=1-b1,于是在中令x=,r=b1,可得(b1+(1-b1),即a1b1+a2(1-b1),亦即a1b1+a2b2.综上,对a10,a20,b1,b2为正有理数且b1+b2=1,总有a1b1+a2b2.(III) (II)中命题的推广形式为:设a1,a2,an为非负实数,b1
4、,b2,bn为正有理数.若b1+b2+bn=1,则a1b1+a2b2+anbn.用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,b1=1,有a1a1,成立.(2)假设当n=k时,成立,即若a1,a2,ak为非负实数,b1,b2,bk为正有理数,且b1+b2+bk=1,则a1b1+a2b2+akbk.当n=k+1时,已知a1,a2,ak,ak+1为非负实数,b1,b2,bk,bk+1为正有理数,且b1+b2+bk+bk+1=1,此时0bk+10,+ak从而 又因(1-bk+1)+bk+1=1,由得(1-bk+1)+ak+1bk+1,从而a1b1+a2b2+akbk+ak+1bk+1.故当n=k+1时,成立,由(1)(2)可知,对一切正整数n,所推广的命题成立.3
