1、12.2.2 椭圆的简单几何性质(一)学习目标 1. 根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考 1 观察椭圆 1( ab0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有x2a2 y2b2怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案 (1)范围： a x a， b y b；(2)对称性：椭圆关于 x 轴、 y 轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点 A1( a，0)， A2(a，0)， B1(0， b)， B2(0， b).思考 2 在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？答案
2、在 画 椭 圆 时 ， 可 先 画 一 个 矩 形 ， 矩 形 的 顶 点 为 ( a， b)， (a， b)， ( a， b)，(a， b).梳理 椭圆的简单几何性质焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1( ab0)x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b22图形焦点坐标 (c，0) (0， c)对称性 关于 x 轴、 y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标 A1( a， 0)， A2(a， 0)， B1(0， b)， B2(0， b)A1(0， a)， A2(0， a)，B1( b， 0)， B2(b， 0)范围 |x| a，| y| b |x| b，| y| a长轴
3、、短轴 长轴 A1A2长为 2a，短轴 B1B2长为 2b知识点二 椭圆的离心率思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？答案 用离心率刻画扁圆程度， e 越接近于 0，椭圆越接近于圆，反之，越扁.梳理 (1)椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率.ca(2)对于 1， b 越小，对应的椭圆越扁，反之， e 越接近于 0， c 就越接近于 0，从x2a2 y2b2而 b 越接近于 a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当 a b 时， c0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为 x2 y2 a2.(如图)类型一 由椭圆方程研究其简单几何性质例 1 求椭圆 9x216 y2144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点
4、和顶点坐标.解 已知方程化成标准方程为 1，x216 y29于是 a4， b3， c ，16 9 7椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a8 和 2b6，3离心率 e ，又知焦点在 x 轴上，ca 74两个焦点坐标分别是( ，0)和( ，0)，7 7四个顶点坐标分别是(4，0)，(4，0)，(0，3)和(0，3).引申探究本例中若把椭圆方程改为“9 x216 y21”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.解 由已知得椭圆标准方程为 1，x219y2116于是 a ， b ， c .13 14 19 116 712长轴长 2a ，短轴长 2b ，23 12离心率 e .ca 74焦点坐标( ，0
5、)和( ，0)，712 712顶点坐标( ，0)，(0， ).13 14反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用 a， b， c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量.跟踪训练 1 求椭圆 9x2 y281 的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.解 椭圆的标准方程为 1，则 a9， b3， c 6 ，长轴长 2a18; 短x29 y281 a2 b2 2轴长 2b6；焦点坐标(0，6 )，(0，6 )；2 2顶点坐标(0，9)，(0，9)，(3，0)，(3，0).离心率 e .ca 223类型二 椭圆的几何性质简单应用命题
6、角度 1 依据椭圆的几何性质求标准方程例 2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在 x 轴上的一个焦点 F 与短轴两个端点B1， B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点 A 的距离为 ，求这个椭圆10 5的方程.4解 依题意，设椭圆的方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2由椭圆的对称性知| B1F| B2F|，又 B1F B2F， B1FB2为等腰直角三角形，| OB2| OF|，即 b c，| FA| ，10 5即 a c ，且 a2 b2 c2，10 5将上面三式联立，得Error!解得Error!所求椭圆方程为 1.x210 y25反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分
7、找出 a， b， c 所应满足的关系式，进而求出 a， b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置.跟踪训练 2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，6)；(2)焦点在 x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为 6.解 (1)当焦点在 x 轴上时，设椭圆方程为 1( ab0).x2a2 y2b2依题意有Error!解得Error!椭圆方程为 1.x2148 y237同样地可求出当焦点在 y 轴上时，椭圆方程为 1.x213 y252故所求的椭圆方程为 1 或 1.x2148 y237 x213 y252(2)依题意有Err
8、or! b c6， a2 b2 c272，所求的椭圆方程为 1.x272 y236命题角度 2 对称性问题例 3 讨论方程 x3y x2y2 xy31 所表示的曲线关于 x 轴， y 轴，原点的对称性.解 用“ y”代替方程 x3y x2y2 xy31 中的“ y”，得 x3y x2y2 xy31，它改变了5原方程，因此方程 x3y x2y2 xy31 所表示的曲线不关于 x 轴对称.同理，方程 x3y x2y2 xy31 所表示的曲线也不关于 y 轴对称.而用“ x”代替原方程中的“ x”，用“ y”代替原方程中的“ y”，得( x)3( y)( x)2( y)2( x)( y)31，即 x
9、3y x2y2 xy31，故方程 x3y x2y2 xy31 所表示的曲线关于原点对称.反思与感悟 研究曲线关于 x 轴， y 轴，原点的对称性，只需用“ y”代替方程中“ y”，用“ x”代替方程中的“ x”，同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性.跟踪训练 3 曲线 x22 y10 的对称轴为( )A.x 轴 B. y 轴 C.直线 y x D.无法确定答案 B解析 保持 y 不变，以“ x”代替方程中“ x”，方程不变，故该曲线关于 y 轴对称.命题角度 3 最值问题例 4 椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 e ，已知点 P(0， )到椭圆上的32 32点的最远距离是 ，
10、求这个椭圆的方程.7解 设所求椭圆方程为 1( ab0).x2a2 y2b2 ， a2 b.ba a2 c2a2 1 e2 12椭圆方程为 1.x24b2 y2b2设椭圆上点 M(x， y)到点 P(0， )的距离为 d，32则 d2 x2( y )24 b2(1 ) y23 y 3( y )24 b23.(*)32 y2b2 94 12(1)当 b ，即 b 时，12 12d f( )4 b237，2max12解得 b1，椭圆方程为 y21.x24(2)当 ，与 bb0)的两个焦点分别为 F1， F2，斜率为 k 的直线 l 过左焦点x2a2 y2b2F1且与椭圆的交点为 A， B，与 y
11、轴的交点为 C，且 B 为线段 CF1的中点，若| k| ，求142椭圆离心率 e 的取值范围.解 依题意得 F1( c，0)，直线 l： y k(x c)，则 C(0， kc).因为点 B 为 CF1的中点，所以 B( ， ).c2 kc27因为点 B 在椭圆上，所以 1， c22a2kc22b2即 1.c24a2 k2c24a2 c2所以 1，e24 k2e241 e2所以 k2 .4 e21 e2e2由| k| ，得 k2 ，142 72即 ，4 e21 e2e2 72所以 2e417 e280.解得 e28.因为 0b0)上的一点， F1， F2是椭圆的两个焦点，x2a2 y2b2若
12、PF1F2的内切圆的半径为 ，则此椭圆的离心率为_.32答案 35解析 一方面 PF1F2的面积为 (2a2 c)r；128另一方面 PF1F2的面积为 |yp|2c，12 (2a2 c)r |yp|2c，12 12( a c)r| yp|c， .a cc |yp|r 1 ，ac |yp|r又 yp4， 1 1 ，ac |yp|r 432 53椭圆的离心率为 e .ca 351.已知椭圆的方程为 2x23 y2 m(m0)，则此椭圆的离心率为( )A. B. C. D.13 33 22 12答案 B解析 由 2x23 y2 m(m0)，得 1，x2m2y2m3 c2 ， e2 ， e .m2
13、m3 m6 13 332.与椭圆 9x24 y236 有相同焦点，且短轴长为 2 的椭圆的标准方程是( )A. 1 B.x2 1 x22 y24 y26C. y21 D. 1x26 x28 y25答案 B解析 由已知 c ， b1，故椭圆的标准方程为 x21.5y263.若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为 10，有一个焦点坐标是(3，0)，则此椭圆的标准方程为_.答案 1x225 y216解析 据题意 a5， c3，故 b 4，又焦点在 x 轴上，a2 c29所以椭圆的标准方程为 1.x225 y2164.已知点( m， n)在椭圆 8x23 y224 上，则 2m4 的取值范围是_.答案 4
14、2 ，42 3 3解析 因为点( m， n)在椭圆 8x23 y224 上，即在椭圆 1 上，x23 y28所以点( m， n)满足椭圆的范围| x| ，| y|2 ，3 2因此| m| ，即 m ，所以 2m442 ，42 .3 3 3 3 35. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(10，0)，则焦点坐标为_.答案 (0， )69解析 由题意知椭圆焦点在 y 轴上，且 a13， b10，则 c ，故焦点坐标a2 b2 69为(0， ).691.可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此
15、，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理.2.椭圆的定义式：| PF1| PF2|2 a(2a|F1F2|)，在解题中经常将| PF1|PF2|看成一个整体灵活应用.3.利用正弦、余弦定理处理 PF1F2的有关问题.4.椭圆上的点到一焦点的最大距离为 a c，最小距离为 a c.40 分钟课时作业一、选择题1.椭圆 4x249 y2196 的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A.7，2， B.14，4，357 357C.7，2， D.14，4，57 57答案 B解析 先将椭圆方程化为标准形式： 1，x249 y24其中 b2， a7， c3 .52.焦点在 x 轴上，长、短半
16、轴长之和为 10，焦距为 4 ，则椭圆的方程为( )510A. 1 B. 1 C. 1 D. 1x236 y216 x216 y236 x26 y24 y26 x24答案 A解析 依题意得 c2 ， a b10 ，又 a2 b2 c2从而解得 a6， b4.53.若焦点在 x 轴上的椭圆 1 的离心率为 ，则 m 等于( )x22 y2m 12A. B. C. D.332 83 23答案 B解析 a22， b2 m， e ， m .ca 1 b2a2 1 m2 12 324.椭圆( m1) x2 my21 的长轴长是( )A. B. 2m 1m 1 2 mmC. D.2mm 21 mm 1答案 C解析 椭圆方程可简化为 1，x211 my21m由题意知 m0， b0)的焦点分别为 F1， F2，| F1F2|2，离心率 e ，则椭x2a2 y2b2 12圆方程为( )A. 1 B. y21 x216 y212 x24C. 1 D. 1x24 y23 x23 y24答案 C解析 因为| F1F2|2，离心率 e ，所以 c1， a2，所以 b23，椭圆方程为12 1.x24 y236.设 F1， F2是椭圆 E： 1( ab0)的左，右焦点， P 为直线 x 上一点， F2PF1x2a2 y2b2 3a2是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为( )
