1、- 1 -概念：设动态系统为 ，)()()(,)()()( tDutCxtytButAxt （1）若 ，则 称为（状态转移矩阵 ）te（2）若 ，则 称为（ 传递函数矩阵 ）DsICG1)() )(sG（3）若 ，则 称为（能控性矩阵）, 12BABAnc ,Ac（4）若 ，则 称为（能观性矩阵）To C Co（5）若 ，则 称为（输出能, 12DCnc ,BAoc控性矩阵）（6）李雅普诺夫方程 ，其中 为正定对称阵，当使方程成立的QPAT为（ 正定对称阵 ）时，系统为渐近稳定。P（7）设系统 ，如果存在一个具有一阶导数的标量函数0)(,0,)(ftxf， ，并且对于状态空间 X 中的且非零点
2、 x 满足如下条件： 为)(xV0)( )(xV（正定） ； 为（负定 ） ；当 时， 。则系统的原点平衡状态是 x)(V（大范围渐近稳定的） 。（8）状态反馈不改变系统的（可控性） 。输出至状态微分反馈不改变系统的（可观测性） 。输出至参考输入反馈，不改变系统的（可控性和可观测性） 。状态反馈和输出反馈都能影响系统的（稳定性和动态性能） 。（9）状态反馈控制的极点任意配置条件是系统状态（完全可控） 。状态观测的极点任意配置条件是系统状态（完全可观） 。（10）系统线性变换 时，变换矩阵 必须是（非奇异的，或满秩）的。PxP二：已知系统传递函数 ，试求约当型动态方程。)2(15)(ssG解：
3、)()2(15)( 2ssG- 2 -由上式，可得约当型动态方程 3213213215001xy uxx三：试求下列状态方程的解 的解xx3021解：由题意可得：0110)()(xAsILtxIx03201 010102302)(xeexssLst ttt 五：设系统状态方程为 ，并设系统状态可控，试求 。1xxuab ,ab解： 1bABPc- 3 -令 时，即可满足可控性条件。babaPc 1012六：试确定使系统 可观测的 。,xyx .,ba解：baCAPc1时，于是系统可观。0c第 A9-3 题：系统微分方程为 ， 其中 u 为输入量；x 为输出量。xx23设状态 ，试写出系统的动态
4、方程；x21,设状态变换 ，试确定变换矩阵 T，及变换后的2121, xx动态方程。参考答案：列写系统的动态方程 212121003xyuxx求变换矩阵 T 和变换后的动态方程由题意知 , 故变换矩阵 2121xx 21T由于, 11T 201AT, 1B1C变换后的动态方程, uxx 1201121 21xy- 4 -第 A9-5 题：已知系统结构图，其状态变量为 x1，x 2，x 3。试列写动态方程。参考答案：将频域参量 s 视作微分算子，可得，21)3()(2xxu 132)()(xsx，3s 1y整理得动态方程 31xu22133xx1y写成向量矩阵形式, uxx 0232013213
5、211xy第 A9-6 题：已知系统传递函数为 3486)(2ssG试求可控标准型（A 为友矩阵） ，可观标准型（A 为友矩阵转置） ，对角型（A 为对角阵）动态方程。参考答案：由于 345213486)(2 sssG- 5 -串联分解，引入中间变量 z，可得微分方程uz34 uzy52选取状态变量 ， x1zx2则状态方程 ， x2143则输出方程 uxy215可控标准型动态方程xx10430221 uxy215利用能控性与能观性的对偶关系， ， ， TcoATcoCBTcoBcoD由可控标准型得可观标准型动态方程uxx25413012 uxy210由于 34)()( 2ssDNsG0)(1
6、342 故 1=-1， 2=-3 为系统的单实极点，且有 32/5)(sssN因此， )(/12/3UY令状态变量 ， )(1)(1ssX)(31)(2sUsX其反拉氏变换 ， ， ux11 ux22 uxy21因此对角型动态方程xx130221 xy213第 A9-13 题：已知线性系统的状态转移矩阵为- 6 -tttt tttt eet 22,)(试求系统的状态矩阵 A。参考答案 1：由状态转移矩阵性质 321)(121,2)()(1ss stsI321032101ssIA参考答案 2：由状态转移矩阵性质 ItAt)0(,)()(所以 32104,22)(0 tttt ttttt eeA第
7、 A9-14 题：设系统(A,B,C)的状态矩阵为 45210A试求系统的状态转移矩阵 ：Ate参考答案 1：拉氏变换法 )2(4)1)(2(8)1)(32(4)1)(2 45)(1)(1(2)()(1)( 254)(14520)( 22222 sssss ssss sssAsI- 7 - ttttttttt ttttttttt ttttttttAt eeeeesIe 222 2221 43834245)(参考答案 2：线性变换法由于 A 是友矩阵，故有 )2()1(254)(23f， ，123所以，412010232P 12301P， 201Attttt ee20 tttttt tttttt
8、 tttttttAt eeetPe 222 2221 4)3(8)3(4)(2451 )1()(参考答案 3：待定系数法根据凯莱-哈密顿定律 21010 )()()()( AtatItaAtaenkkAt 因 A 的特征值 1 = 2 = 1, 3 = 2, 则有 ttttttttt eetat 22213210 )1()()(- 8 - tttttt tttttttt ttttAt eeeeeee 222 2222 22 4)3(8)3(4)( 451 118450)1( 4510)3(1第 A9-15 题：已知线性定常自治系统的状态方程, X01 21)(试求系统的状态轨线。参考答案：线性
9、定常齐次状态方程的解 )0()(xetxAt， ， 01A012A3,kk ttttItkeAt 012/21!0 2101/)()( 2tttxetAt第 A9-19 题：已知线性动态方程为, uxx213102 xy10试求传递函数阵 G(s)。参考答案： - 9 -6732 210315629101 210310)()3 2231 s ssss ssbAsIcG第 A9-21 题：已知 ad = bc, 试计算 ?10dcba参考答案： 设 ，则 A 的特征多项式为dcbaA dabcaddbIf )()()( 22 AAaAf 0)(2223 )(dad34)(由数学归纳法 AAkk1
10、dcbadcba910)(第 A9-22 题：设系统的传递函数为 ，81475)(23ssG试求：可控标准型实现；可观标准型实现；对角型实现；下三角型实现；参考答案： 可控标准型实现- 10 -引入中间变量 z，使 8147158)()( 232 sssUZsYG可得微分方程， yzz158 uzz选择 ， ， ，则有x2x3213xux3217485xy系统的可控标准型实现， uxx 107148032321 32185xy可观标准型实现对应系统的微分方程， uuyy154选择状态变量， yxuu3217814则有 uxyx uxy123 32 3178415系统的可观标准型实现， xx18
11、5710432321 3210xy对角型实现；将传递函数分解成部分分式- 11 -46/12/3/814758)(23 ssssUYG设 , , 11X)()(2UX)(3UX可得 ， ， ux1 ux2 ux3系统的对角型实现为， xx 140232321 32138xy下三角型实现；将传递函数分解成 4523181475)(23 ssssUYG设 , , 11X)()(X)(23sYX可得 ， ux1，uxx 212123x333 445系统的三角型实现为， uxx 143201323 3210xy第 A9-26 题：设有不稳定线性定常系统（A，b，c） ，其中， ，0213b1c能否通过
12、状态反馈把系统的闭环极点配置在 处？若能，试求出实3,0j现上述极点配置的反馈增益向量 k； 当系统状态不可直接测量时，能否通过状态观测器来获取状态变量？若能，试设计一个极点位于 处的等维状态观测器；j3,4参考答案： 反馈增益向量 k- 12 -系统的可控性矩阵及秩，rankP = 32012bAP系统是可控的，可以通过状态反馈来进行极点配置，设反馈增益向量 321kk系统的闭环特征多项式 )27()9()(det 12323 kkbAI闭环系统期望的特征多项式 401)1)(1)(0 23jj比较同次系数得 ， ， 23k5.7k反馈增益向量 5.7系统状态可观测矩阵及秩，rank V =
13、 31722cAV系统是可观测的，可以通过状态观测器来获取状态变量。利用输出至状态微分反馈来配置极点，设反馈增益向量 h，先将（A，c）化为能观标准型 cA,2,9,0,29)det( 3213 aassI变换矩阵 1081701012VaT，462831 0921231aTA101cT设 ， 32h32109hcA状态观测器的特征多项式为- 13 -)2()9( )detdet)( 123hhcAIcAIfh期望的状态观测器的特征多项式为 4030)3)()(4)( 23jjfh比较同次系数得 1,4,8321 hh， 04321h 32470860T要设计的等维状态观测器 buhyxcAx
14、)(uyx 1032471132578【A9-27 】试用李雅普诺夫第二法判断系统的原点稳定性： 212211 3, xxx 12, 224211,xxx )(2.0)(.1)(,)(.0)(8.)( kxkxkkkk 【参考答案 1】方法一：原点(x 1=0, x2=0)是该系统唯一的平衡状态.选取正定标量函数4)(V则有 021)(23)3(1)( 112 2212 xxxx对于状态空间中的一切非零 x 满足 V(x)正定, 负定，故系统的原点平衡状态)(是大范围渐近稳定的。方法二：系统状态方程写成向量矩阵形式， 系统状态矩阵 ， 21213xx 321A1detA- 14 -即 A 是非
15、奇异的，故原点 xe=0 是系统唯一的平衡状态。设系统的李雅普诺夫函数及其导微分分别为 0,)(,)( QPQVPxVTT则 成立。取 Q = I，上式为 103213122121pp其中 p12=p21 求解该矩阵方程可得 354821P由于 ， ，对称矩阵 P 是正定的。系统的原点平衡状态是01p06417detP大范围渐近稳定的。【参考答案 2】原点(x 1=0, x2=0)是该系统唯一的平衡状态. 系统状态方程向量矩阵形式2120若选取 IQxVPxVTT ,)(,)(解李雅普诺夫方程 A得 ，由于 ， 为不定，则难以判定系统134031p021detP的稳定性。用特征根判别 12de
16、t 2AI可见系统原点平衡状态是不稳定的。【参考答案 3】原点(x 1=0, x2=0)是该系统唯一的平衡状态.选取正定标量函数 82)V则有- 15 -0)4(7 )168(71683()2(4)(221 8242187471 xx xxV对于状态空间中的一切非零 x 满足 V(x)正定, 负定，故系统的原点平衡状态)(是大范围渐近稳定的。注： ， ， 821)(xV82216)(822421)(xxV选取都行。【参考答案 4】系统状态方程向量矩阵形式，即 )(2.0.148)( 121 kxkx )()1(kxkx若选取 21,)()(,)()( pIQVkPVTT 代入离散李雅普诺夫方程
17、 PT得 2012.01482.0418 2121 pp展开得方程组 196.01.6.043. 2222pp解之得 8521P由于 ， 为正定，故系统的原点平衡状态是大范065.31p029detP围渐近稳定的。【6 题】：设有不稳定线性定常系统（A,b,c） ，其中 ， ，0213Ab, 能否通过状态反馈把系统的闭环极点配置在 处？若能，1c ,j试求出实现上述极点配置的反馈增益向量 k； - 16 -解： 系统的可控性矩阵及秩，rankP = 3 2012bAP系统是可控的，可以通过状态反馈来进行极点配置。 设反馈增益向量 321kk系统的闭环特征多项式)27()9()(det 12323 kbAI闭环系统期望的特征多项式 401)1)(1)(0 23jj比较同次系数得 ， ， 23k5.7k反馈增益向量 5.7
