1、1大学物理（一）练习册 参考解答第 1 章 质点运动学一、选择题1(D)，2(D)，3(B)，4(D) ，5(B)，6(D)，7(D) ，8(E) ，9(B)，10(B) ，二、填空题(1). (n = 0,1, ), 12 tAsin2(2). 8 m，10 m. (3). 23 m/s.(4). 16Rt2 (5). 4t3-3t2 (rad/s)，12t 2-6t (m/s2). (6). ，2ct，c 2t4/R. 1(7). 2.24 m/s2，104 o (8). m/s，0，圆.)5ssin(50jtt(9). Kmx/0av(10). 021kt三、计算题1. 有一质点沿 x
2、轴作直线运动，t 时刻的坐标为 x = 4.5 t2 2 t3 (SI) 试求： (1) 第 2 秒内的平均速度；(2) 第 2 秒末的瞬时速度；(3) 第 2 秒内的路程解：(1) m/s 5.0/txv(2) v = d x/d t = 9t - 6t2, v(2) =-6 m/s. (3) S = |x(1.5)-x(1)| + |x(2)-x(1.5)| = 2.25 m.2. 一质点沿半径为 R 的圆周运动质点所经过的弧长与时间的关系为 其21ctbS中 b、c 是大于零的常量，求从 开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的0t时间解： ctbtSd/vatRn2根据题意： a
3、t = an 2即 Rctb/2解得 t3. 一质点沿 x 轴运动，其加速度为 a 4t (SI)，已知 t 0 时，质点位于 x 10 m 处，初速度 v 0试求其位置和时间的关系式解： dv /dt t ， dv t dt av = 2t2 004v x /d t t2 tx00x t3 /3+x0 (SI)4. 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为 ky，式中 k 为常量，y 是以平衡位a置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标 y0 处的速度为 v0，试求速度 v 与坐标 y 的函数关系式解： ttaddv又 ky -k v dv / dy a Cy21,已知 y0 ， v0
4、则 020kC)(2y5. 一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以 60 km/h 的速度由东向西刮来，如果飞机的航速（在静止空气中的速率）为 180 km/h，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明解：设下标 A 指飞机，F 指空气，E 指地面，由题可知：vFE =60 km/h 正西方向 vAF =180 km/h 方向未知 vAE 大小未知， 正北方向 由相对速度关系有： FEAEv、 、 构成直角三角形，可得 AEFkm/h17022FA4.9/tg1Ev（飞机应取向北偏东 19.4的航向） 西 北FEvAFEAFEM M M M v v a a 0(1) (
5、2) (3) (4) 3四 研讨题1. 在下列各图中质点 M 作曲线运动，指出哪些运动是不可能的？ 参考解答：(1)、(3)、(4)是不可能的(1) 曲线运动有法向加速度，加速度不可能为零；(3) 曲线运动法向加速度要指向曲率圆心；(4) 曲线运动法向加速度不可能为零.2. 设质点的运动方程为 ， 在计算质点的速度和加速度时：)(tx)(ty第一种方法是，先求出 ，然后根据 及 而求得结果；2rtdrv2tra第二种方法是，先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即和 .2)d(tytxv 22)()(tytxa你认为两种方法中哪种方法正确？参考解答：第二种方法是正确的。因为速度和加速度都是
6、矢量，根据定义， jtyitxjyixtr d)(dva 22所以 ， .2)d(tytxv 22)d()(tytxa第一种方法是错误的，问题的关键在于位移、速度、加速度的矢量性（ 为 r 方向的单位矢量） ，)(d0rttrt0.22dav问题的关键： ?d0tr在第二种方法中， 如果在第一种方法的讨论中， 那么,ti ,0dtr= 则 也成立！)(d0rtvtrd0,0ttv注意：若 则 必须是大小与方向均不随时间改变的常矢量。根据,0质点的运动方程为 ， ，质点作平面曲线运动， 如图所示，)(tx)(ty大小不变，但方向改变！0r所以 即第一种方法是错误的！,0dtr4只有在直线运动中，
7、 （显然 是大小与方向均不随时间改变的常矢量）ir0i速度的大小才等于 .对加速度的大小 也可以用同样方法加以讨,d0tirtrd2dtra论.第 2 章 质点力学的运动定律 守恒定律一、选择题1(C)，2(E)，3(D) ，4(C) ，5(C)，6(C)，7(B) ，8(C)，9(C)，10(B)，11(C) ，12(D) ，13(B)二、填空题(1). 12rad/s.(2). 290J(3). 3J (4). 18 Ns(5). (SI)jti23(6). 16 Ns， 176 J(7). 16 Ns ，176 J(8). ，Mkl/0knml0(9). ji5(10). mv， 指向正
8、西南或南偏西 452三、计算题1. 已知一质量为 m 的质点在 x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离 x 的平方成反比，即 ，k 是比例常数设质点在 x=A 时的速2/xf度为零，求质点在 x=A /4 处的速度的大小 解：根据牛顿第二定律 xmtxtxkf dd2 vv 4/20,dAkmvk3)1(21 /62. 飞机降落时的着地速度大小 v =90 km/h，方向与地面平行，飞机与地面间的摩擦系数=0.10，迎面空气阻力为 Cxv2，升力为 Cyv2(v 是飞机在跑道上的滑行速度，C x和 Cy为某两常量)已知飞机的升阻比 K=Cy /Cx=5，求飞机
9、从着地到停止这段时间所滑行的距离(设飞机刚着地时对地面无压力) 解：以飞机着地点为坐标原点，飞机滑行方向为 x 轴正向设飞机质量为 m，着地后地面5对飞机的支持力为 N在竖直方向上 02mgCyv2vyCmgN飞机受到地面的摩擦力 )(2yf在水平方向上 xtxy d)(2v即 Cgyxd2x = 0 时， x =S（滑行距离）时，v0 m/s25k/h90v020 d)(vyx SxCgCyxyx 020 )(d21vv解得 mgSyx0ln 飞机刚着地前瞬间，所受重力等于升力，即 20vymg , 20Cy205KCyx代入 S 表达式中并化简，然后代入数据 m1ln)51(gSv3.若质
10、量为 m1 以速率 v10 运动的物体 A 与质量为 m2 的静止物体 B 发生对心完全弹性碰撞，如何选择 m2 的大小，使得 m2 在碰撞后具有最大的动能？又此最大动能是多少？解：在对心完全弹性碰撞中，若 v20 = 0，则有 21021012)( v物体 B 的动能 2 )(mEK由 得 0)(d32112mv21又 0)(41212120 mK故 时，m 2 的动能有最大值此最大值是 12 2102vEK64.一辆水平运动的装煤车，以速率 v0 从煤斗下面通过，每单位时间内有质量为 m0 的煤卸入煤车如果煤车的速率保持不变，煤车与钢轨间摩擦忽略不计，试求： (1) 牵引煤车的力的大小；
11、(2) 牵引煤车所需功率的大小； (3) 牵引煤车所提供的能量中有多少转化为煤的动能？其余部分用于何处？ 解：(1) 以煤车和 t 时间内卸入车内的煤为研究对象，水平方向煤车受牵引力 F的作用，由动量定理： 00)(vMtmtF求出： (2) 2P(3) 单位时间内煤获得的动能： 01EK单位时间内牵引煤车提供的能量为 50 2/即有 50的能量转变为煤的动能，其余部分用于在拖动煤时不可避免的滑动摩擦损耗 5.一链条总长为 l，质量为 m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为 a设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为 令链条由静止开始运动，则 (1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了
12、多少功？ (2)链条刚离开桌面时的速率是多少？ 解：(1)建立如图坐标. 某一时刻桌面上全链条长为 y,则摩擦力大小为glmf摩擦力的功 00ddalalf yW= = 2lyg2)(2)以链条为对象，应用质点的动能定理 W 2021vm其中 W = W PW f ，v 0 = 0 WP = = laxdlamgla)(2由上问知 f所以 2221)()( valglg得 2v x y a la mMROA CO 0vv0 a la 76.小球 A，自地球的北极点以速度 在质量为 M、半径为 R 的地球表面水平切向向右飞出，0v如图所示，地心参考系中轴 OO与 平行，小球 A 的运动轨道与轴
13、OO相交于距 O 为3R 的 C 点不考虑空气阻力，求小球 A 在 C 点的速度 与 之间的夹角 v0解：由机械能守恒： )3/(21/210 GmRGmv根据小球绕 O 角动量守恒： sin3v、式联立可解出RM/129sin07.质量为 mA 的粒子 A 受到另一重粒子 B 的万有引力作用，B 保持在原点不动起初，当 A 离 B 很远( r = ) 时，A 具有速度 ，0v方向沿图中所示直线 Aa，B 与这直线的垂直距离为 D粒子 A由于粒子 B 的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动已知这轨道与 B 之间的最短距离为 d，求 B 的质量 mB 解：A 对 B 所在点的角动量守恒设
14、粒子 A 到达距 B 最短距离为 d 时的速度为 v ， mDAv0/0A、B 系统机械能守恒( A 在很远处时， 引力势能为零) dGBAA/210解得 /v )()(0dDmB8.设两个粒子之间相互作用力是排斥力，其大小与粒子间距离 r 的函数关系为 ，3rkfk 为正值常量，试求这两个粒子相距为 r 时的势能 （设相互作用力为零的地方势能为零 ） 解：两个粒子的相互作用力 3kf已知 f0 即 r处为势能零点 , 则势能 rrPWEd3)2(k四 研讨题1. 汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力能使汽车前进吗？使汽车前进的力是什么力？参考解答：A BadD v 08汽
15、车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力都是汽车系统的内力，内力只会改变内部各质点的运动状态，不会改变系统的总动量，所以不能使汽车前进。使汽车前进的力只能是外力，这个外力就是地面给汽车的摩擦力。粗略分析如下：当汽车发动机内气体对活塞的推力带动传动部件使主动轮（ 一般为汽车的后轮）绕轮轴转动时，使主动轮与地面的接触部分相对地面有向后滑动的趋势，从而使地面对汽车施以向前的摩擦力，使汽车整体向前加速运动。由于汽车前进使从动轮（汽车的前轮）相对地面有向前的运动趋势，因此从动轮受到地面施以的方向向后的摩擦力，该摩擦力对从动轮轴的力矩使从动轮滚动起来。所以汽车的运动最终靠的是地面施加的摩擦力
16、。2. 冲量的方向是否与冲力的方向相同？参考解答：冲量是力对时间的积累，由动量定理： PtFIt 1221d所以，冲量的方向和动量增量 的方向相同，不一定与冲力 的方向相同。PF3. 一物体可否只具有机械能而无动量？一物体可否只有动量而无机械能？试举例说明。参考解答：机械能是系统作机械运动的动能和势能的总和.动能与物体相对参考系的运动速度有关，势能则属于保守力系统，一物体具有的势能，是相对势能零点而言的。若取保守力系统，物体相对参考系静止，那么物体的动能为零，物体的动量也为零。该系统的机械能就是物体相对系统势能零点所具有的势能.所以，一物体可以有机械能而无动量。例如：一质量为m 的物体（例如一
17、气球）静止在相对于地面为 h 的高处，此时对于物体和地球系统，具有的机械能为重力势能，其值为 mgh。由于此时物体静止，故其动量为零。在保守力系统中，若一物体运动至某一位置时所具有的动能值，恰等于该位置相对势能零点所具有的负的势能值，则该物体的机械能为零，而因物体具有动能，因而动量不为零。所以，一物体也可以有动量而无机械能。例如：物体自离地面高为 h 处自由下落，取物体和地球为系统，并取下落处为重力势能零点.初始时刻系统的机械能 E0=0，下落至地面时，物体具有速度的大小为 v，动能为 mv 2/2，动量的大小为 m v，系统的机械能为 E =mv2/2 mgh = E0=0.4. 在经典力学
18、范围内，若某物体系对某一惯性系满足机械能守恒条件，则在相对于上述惯性系作匀速直线运动的其它参照系中，该物体系是否一定也满足机械能守恒条件？请举例说明 参考解答：不一定满足守恒条件 例如在水平面上以速度 匀速直线行驶的车厢顶上悬挂一小球以车厢为参考系，0v小球摆动过程中绳子张力对小球不作功，则小球地系统机械能守恒若以地面为参考系，小球相对于车厢的摆动速度为 ，则小球v对地速度 ， 与绳张力 不垂直，故小球摆动过程中v0T绳张力对小球要作功，这时小球地系统不满足机械能守恒条9件但在上述两个参考系（惯性系）中，动能定理和功能原理仍是成立的5. 在车窗都关好的行驶的汽车内，漂浮着一个氢气球，当汽车向左
19、转弯时，氢气球在车内将向左运动还是向右运动？参考解答：在空气中释放一氢气球，它将受浮力的作用上升。这浮力的根源是大气在重力场中的压强上小下大，因而对氢气上下表面的压力不同，上小下大，而使浮力与重力的方向相反。在题述汽车向左转弯时，它具有指向车厢左侧的法向加速度。因而汽车是一非惯性系。在汽车内观察，即以汽车为参考系，其中空气将受到指向右侧的惯性离心力。汽车内的空气就好象处在一水平向右的“重力场”中一样。根据 Fi=m2r，这“重力场”左弱右强。和在地球表面空气中氢气球受浮力要向上运动类似，在汽车内空气中的氢气球将受到水平向左（与水平“重力”方向相反）的“浮力”的作用而向左运动。（忽略由于氢气球质
20、量很小而引起的在车内看到的很小的向右的运动）第 2 章 刚体定轴转动一、选择题1(B)，2(B)，3(A，)4(D) ，5(C)，6(C)，7(C)，8(C) ，9(D)，10(C)二、填空题(1). v 15.2 m /s，n 2500 rev /min(2). 62.5 1.67(3). g / l g / (2l)(4). 5.0 Nm(5). 4.0 rad/s(6). 0.25 kgm2(7). Ma1(8). 参考解：M gl2dmglrlgl 21d/0(9). lm/3460v(10). 2E0三、计算题1.一砂轮直径为 1 m 质量为 50 kg，以 900 rev / mi
21、n 的转速转动撤去动力后，一工件以 200 N 的正压力作用在轮边缘上，使砂轮在 11.8 s 内停止求砂轮和工件间的摩擦系数(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为 mR2，其中 m 和 R 分别为砂轮的110质量和半径).解：R = 0.5 m， 0 = 900 rev/min = 30 rad/s， 根据转动定律 M = -J 这里 M = -NR 为摩擦系数，N 为正压力， 21mR设在时刻 t 砂轮开始停转，则有： 00t从而得 0 / t 将、式代入式，得 )/(21tRN R0 / (2Nt)0.5 m2.一质量为 m 的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如
22、图所示轴水平且垂直于轮轴面，其半径为 r，整个装置架在光滑的固定轴承之上当物体从静止释放后，在时间 t 内下降了一段距离 S试求整个轮轴的转动惯量(用 m、r、t 和 S 表示 ) 解：设绳子对物体(或绳子对轮轴 )的拉力为 T，则根据牛顿运动定律和转动定律得：mgTma T rJ 由运动学关系有： a = r 由、式解得： Jm ( ga) r 2 / a 又根据已知条件 v00 S ， a2S / t 2 21t将式代入式得：Jmr 2( 1) 3.如图所示，设两重物的质量分别为 m1 和 m2，且 m1m 2，定滑轮的半径为r，对转轴的转动惯量为 J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计
23、设开始时系统静止，试求 t 时刻滑轮的角速度 解：作示力图两重物加速度大小 a 相同，方向如图.m1gT 1m 1a T2m 2gm 2a 设滑轮的角加速度为 ，则 (T1T 2)rJ 且有 ar 由以上四式消去 T1，T 2 得： Jr21开始时系统静止，故 t 时刻滑轮的角速度 m O r T r T a mg m2 m1 r m2g1g r a aT1 T221 11Jrmgtt21 4.物体 A 和 B 叠放在水平桌面上，由跨过定滑轮的轻质细绳相互连接，如图所示今用大小为 F 的水平力拉 A设 A、B 和滑轮的质量都为 m，滑轮的半径为 R，对轴的转动惯量J AB 之间、A 与桌面之间
24、、滑轮与其轴之间的摩擦21mR都可以忽略不计，绳与滑轮之间无相对的滑动且绳不可伸长已知 F10 N，m8.0 kg，R0.050 m 求： (1) 滑轮的角加速度； (2) 物体 A 与滑轮之间的绳中的张力； (3) 物体 B 与滑轮之间的绳中的张力 解：各物体受力情况如图 FTma ma ( )R T21maR 由上述方程组解得： 2F / (5mR)10 rads -2 T3F / 56.0 N 2F / 54.0 N 5.一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴 O 转动棒的质量为 m = 1.5 kg，长度为 l = 1.0 m，对轴的转动惯量为 J = 初始时棒
25、静止今有一水平运动的子弹垂直地射入棒231l的另一端，并留在棒中，如图所示子弹的质量为 m= 0.020 kg，速率为 v = 400 ms-1试问： (1) 棒开始和子弹一起转动时角速度 有多大？ (2) 若棒转动时受到大小为 Mr = 4.0 Nm 的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的角度？ 解：(1) 角动量守恒： 231llv 15.4 rad s-1 lm(2) 由转动定律，得： M r( ) 2310 22 15.4 rad rlB A F R a B A F T a T T m, lO v m 126.如图所示，A 和 B 两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为 J10
26、kgm2 和 J20 kgm2开始时，A 轮转速为 600 rev/min，B 轮静止C 为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计A、B 分别与 C 的左、右两个组件相连，当 C 的左右组件啮合时，B 轮得到加速而 A 轮减速，直到两轮的转速相等为止设轴光滑，求： (1) 两轮啮合后的转速 n；(2) 两轮各自所受的冲量矩 解：(1) 选择 A、B 两轮为系统，啮合过程中只有内力矩作用，故系统角动量守恒 JAAJ BB = (JAJ B)， 又 B0 得： JAA / (JAJ B) = 20.9 rad / s 转速 200 rev/min n(2) A 轮受的冲量矩 = JA(JAJ B) =
27、4.1910 2 Nms tMd负号表示与 方向相反 AB 轮受的冲量矩 = JB( - 0) = 4.19102 Nms t方向与 相同 A7.一匀质细棒长为 2L，质量为 m，以与棒长方向相垂直的速度 v0 在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点 O 发生完全非弹性碰撞碰撞点位于棒中心的一侧 处，如图所示求棒在碰撞后的1瞬时绕 O 点转动的角速度 (细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为 ，式中的 m 和 l 分别为棒的质量和长度) 23l解：碰撞前瞬时，杆对 O 点的角动量为 LmxxLL 0202/02/30 1ddvvv式中 为杆的线密度碰撞后瞬时，杆对 O 点的角动
28、量为 2221741431mJ因碰撞前后角动量守恒，所以 LL02/7v = 6v0 / (7L) 8.如图所示，一长为 l 质量为 M 的匀质竖直杆可绕通过杆上端的固定水平轴O 无摩擦地转动一质量为 m 的泥团在垂直于轴 O 的图面内以水平速度 v0打在杆的中点并粘住，求杆摆起的最大角度 解：选泥团和杆为系统，在打击过程中，系统所受外力对 O 轴的合力矩为零，A BCAL 21L L O 0v 0 Mmv0Ol2113对定轴 O 的角动量守恒，设刚打击后两者一起摆起的角速度为 ，则有 Jlmlv210其中 /在泥团、杆上摆过程中，选杆、泥团、地球为系统，有机械能守恒当杆摆到最大角度 时有 2
29、21cos12JlgMv联立解以上三式可得 glMm43s201四 研讨题1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。 参考解答：不能 因为刚体的转动惯量 与各质量元和它们对转轴的距离有关如一匀质圆盘对iimr2过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为 ，若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴21R的转动惯量为零 2. 刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。对于非刚体也是这样吗？为什么？参考解答：根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做
30、的功。由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。故刚体定轴转动时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。3. 乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？参考解答：分析：乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力若乒乓球平动的初始速度 vc 的方向如图，则摩擦力 Fr 的 方向一定向后摩擦力的作用
31、有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度 vc 逐渐减小；对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度 逐渐变小当质心平动的速度 vc= 0 而角速度 0 时，乒乓球将返回因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度vc 和初始角速度 0 的大小应满足一定的关系14解题：由质心运动定理: tmFcrdv因 , 得 (1)mgFrgc0v由对通过质心的轴（垂直于屏面）的转动定律 IM, 得 (2)tRrd)32(tR230由(1),(2)两式可得 , 令 cv. 0 c可得 c2.0v这说明当 vc= 0 和 0 的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回第 3 章 狭义相对论一、选择题1(B)，2(C)，3(C
32、)，4(B)，5(B)，6(D)，7(C)，10(D)，11(D)，12(C)二、填空题(1). c (2). 4.3310-8s (3). x/v , 2)/(1)/(cv(4). c (5). 0.99c(6). 0.99c(7). 8.8910-8 s(8). 321(9). 5.810-13, 8.0410-2 (10). , lSml95三、计算题1.在惯性系 K 中，有两个事件同时发生在 x 轴上相距 1000 m 的两点，而在另一惯性系K（沿 x 轴方向相对于 系运动）中测得这两个事件发生的地点相距 2000 m求在 K系中测得这两个事件的时间间隔 解：根据洛仑兹变换公式: ，
33、2)(1/ctxv 2)(1/cxtv可得 ， 22/t 2/t在 K 系，两事件同时发生，t 1 = t2，则 ， 21)(/cxxv15 21)/()()/(1212xxcv解得 3在 K系上述两事件不同时发生，设分别发生于 和 时刻， 1t则 ， 211)(/cxtv 22)(/cxv由此得 =5.77106 s 2121/t2.在 K 惯性系中，相距x = 5106 m 的两个地方发生两事件，时间间隔 t = 10-2 s；而在相对于 K 系沿正 x 方向匀速运动的 K系中观测到这两事件却是同时发生的试计算在 K系中发生这两事件的地点间的距离x是多少？ 解：设两系的相对速度为 v根据洛
34、仑兹变换， 对于两事件，有 2)/(1ctx2/tv由题意： 0t可得 xc)(及 2/1由上两式可得 = 4106 m x2t 2/1tc3. 一隧道长为 L，宽为 d，高为 h，拱顶为半圆，如图设想一列车以极高的速度 v 沿隧道长度方向通过隧道，若从列车上观测， (1) 隧道的尺寸如何？ (2) 设列车的长度为 l0，它全部通过隧道的时间是多少？ 解：(1) 从列车上观察，隧道的长度缩短，其它尺寸均不变。 隧道长度为 21cLv(2) 从列车上观察，隧道以速度 v 经过列车，它经过列车全长所需时间为 0lt 02)/(lc这也即列车全部通过隧道的时间. 4. 在惯性系 S 中，有两事件发生
35、于同一地点，且第二事件比第一事件晚发生 t =2s；而在另一惯性系 S中，观测第二事件比第一事件晚发生t=3s那么在 S系中发生两事件的地点之间的距离是多少？解：令 S系与 S 系的相对速度为 v，有hdvd/2L16， 2)/(1cttv22)/(1)/(ctv则 ( = 2.24108 ms-1 ) /1t那么，在 S系中测得两事件之间距离为： = 6.72108 m2/12)(tctx5. 一飞船和慧星相对于地面分别以 0.6c 和 0.8c 速度相向运动，在地面上观察，5s 后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？解：两者相撞的时间间隔 t = 5s 是运动着的对象
36、飞船和慧星发生碰撞的时间间隔，因此是运动时在飞船上观察的碰撞时间间隔 t是以速度 v = 0.6c 运动的系统的本征时，根据时间膨胀公式 ，可得时间间隔为 = 4(s)21(/)ttvc 21(/)t6.设有一个静止质量为 m0 的质点，以接近光速的速率 v 与一质量为 M0 的静止质点发生碰撞结合成一个复合质点求复合质点的速率 vf 解：设结合后复合质点的质量为 M，根据动量守恒和能量守恒定律可得 fcvv20/1/ 2202 /1ccmc由上面二个方程解得 )/1/(00f v四 研讨题1. 相对论的时间和空间概念与牛顿力学的有何不同？有何联系？参考解答：牛顿力学时空观的基本观点是，长度和
37、时间的测量与运动（或说与参考系）无关；而相对论时空观的基本观点是，长度和时间的测量不仅与运动有关，还与物质分布有关。牛顿力学时空概念是相对论时空观在低速（即运动速度远远小于光速）时的近似。牛顿力学时空观的基本原理是力学相对性原理，由力学基本原理得到的两个惯性系的运动量间的关系是伽利略变换., tzytxv狭义相对论时空观的基本原理是相对论的相对性原理和光速不变原理，而相应运动量之间的变换是洛仑兹变换.1,122 cxtzyctxvv比较上述两个变换式可知，在低速时，即 时，洛仑兹变换式就会过渡到伽利略 变换式。2. 同时的相对性是什么意思？为什么会有这种相对性？如果光速是无限大，是否还会有同时
38、性的相对性？17参考解答：同时性的相对性的意思是：在某一惯性系中两地同时发生的两个事件，在相对于此惯性系匀速运动的另一惯性系中观测，并不是同时发生的。这个结论与光速不变原理紧密相联。设相对运动的惯性系是 和 ，坐标系和相对运)(x0yS)(y动如图所示，坐标原点 0 和 重合时设为 。 0t由洛仑兹变换，两事件的时空坐标关系为 21cxtv如果在 系中两事件同时发生，即 ，那么在 系中两事件的时间间隔S0tS21cxtv与两事件在 系中发生的空间间隔 有关。当 时， 。即两事件在S0xt系中不同时发生。S如果光速是无限大，也就是研究的对象均属于低速情况，那必然是牛顿力学的情况。即洛仑兹变换中的
39、.0,22cv则 ，就不再有同时的相对性。t3. 在某一参考系中同一地点、同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观察观测都将是同时发生的，对吗？这里的参考系均指惯性系。参考解答：对的。如果 系和 系是相对于运动的两个惯性系。设在 系中同一地点、同一时刻发生S S了两个事件，即 .0,01212 ttx将上述已知条件代入下面的洛仑兹坐标变换式中2112)(cxttv则可得 ，说明在 系中也是同时发生的。012tt S这就是说，在同一地点，同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观察观测也必然是同时发生。4. 静长L 0的火车以匀速v 行驶时，甲是地面上的观测者，相对于地面静止；乙是火车上的
40、观测者，相对于火车静止. 甲观测到的长度 0 ， (3) (SI) )10cos(152tx5.如图 5 所示，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数 k = 24 N/m，重物的质量 m = 6 kg，重物静止在平衡位置上设以一水平恒力 F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦） ，使之由平衡位置向左运动了0.05 m 时撤去力 F当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程 解：设物体的运动方程为 )cos(tAx恒外力所做的功即为弹簧振子的能量： F0.05 = 0.5 J 当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为 0.5 J，即： J， A = 0.204 m 5.021k
41、A 即振幅 (rad/s)2 4/ = 2 rad/s 按题目所述时刻计时，初相为 = 物体运动方程为 (SI) )cos(0.tx四 研讨题1. 简谐振动的初相是不是一定指它开始振动时刻的位相？O F x m 图 5 22参考解答：对于一个振幅和周期已定的简谐振动，用数学公式表示时，由于选作原点的时刻不同，值就不同。例如，选物体到达正向极大位移的时刻为时间原点，则 值等于零；如果选 物体到达负向极大位移的时刻为时间原点，则 等于 。由于 是由对时间原点的选择所决定的，所以把它叫做振动的初相。简谐振动的初相不是一定指它开始振动时刻的位相。思考题：任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小？2. 任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将
