1、第 1 页 共 11 页答案参见我的新浪博客：http:/ A 卷一 填空题（每题 2 分，共 10 分）1 = ；()dfx. 设 f (x)=e-x，则 = ；(ln)fxd比较积分的大小： ；1100_()xexd. 函数 的单调减少区间为 ；1()2()xFdt. 级数 ，当 x=0 时收敛，当 x=2b 时发散，则该级数的收敛半径是 0()0nnab；二、求不定积分（每小题 4 分，共 16 分）1. ； 2 ； ； 31dxsinxdarctn(1)xd4. 已知 是 f (x)的一个原函数，求 .sin)fx三、求定积分（每小题 4 分，共 12 分） ； ； 520cosid1
2、2()d设 求1,0(),xfe20(1)fx四、应用题（每小题 5 分，共 15 分）1计算由曲线 y=x ，x=y 所围图形的面积；.由 y=x3、x=2、y =0 所围成的图形绕 x 轴旋转，计算所得旋转体的体积 .3. 有一矩形截面面积为 20 米 2，深为 5 米的水池，盛满了水，若用抽水泵把这水池中的水全部抽到 10 米高的水塔上去，则要作多少功?（水的比重 1000g 牛顿/米 3 ）五、求下列极限（每题 5 分，共 10 分）1 ； 222limnnn 第 2 页 共 11 页答案参见我的新浪博客：http:/ 设函数 f (x)在(0，+)内可微，且 f (x)满足方程 ，求
3、 f (x)。1()()xfftd六、判断下列级数的敛散性（每题 5 分，共 15 分）1. ； 2. ； 3. ；21sin321nn1lnn七、求解下列各题（每题 5 分，共 10 分）1. 求幂级数 的收敛域及和函数；1nx2 将函数 展开成（x+4）的幂级数。2()3f八、证明题（第一小题 5 分，第二小题 7 分，共 12 分）1证明：设 f (x)在0，1上连续且严格单调减少，证明：当 0 1 时，100()fxd2. 设有正项级数 ，且 。若级数 收敛，则级1nuv、 1,(2,)nuv 1nv数 收敛；若级数 发散，则级数 发散。1nu1n1n第 3 页 共 11 页答案参见我
4、的新浪博客：http:/ B 卷一 填空题（每题 2 分，共 10 分）1 级数 ，当 x=0 时收敛，当 x=2b 时发散，则该级数的收敛半径是 0()0nnaxb；设 ，则 g(x)= ；1()xxgedc比较大小： ；2211ln_ln)dx. = ；0sixd5. 函数 的单调减少区间为 ；1()2(0)Fdtx二、计算下列各题（每小题 4 分，共 28 分）1 ； ； ； 3()x12xsincoxdx4 ； 5 ；2ad 2()d6设 求,01(),xfe20(1)fx710lim(sin2)xtd三、几何应用题（每小题 5 分，共0 分）1求曲线 与直线 y=x 及 x=2 所围
5、图形的面积。1yx2设 D 是由抛物线 y=2x 和直线 x=a，x=2 及 y=0 所围成的平面区域，试求D 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积 V。四、物理应用题（每小题 5 分，共0 分）1设一圆锥形贮水池，深 10 米，口径 20 米，盛满水，今用抽水机将水抽尽，问要作多少功?2有一矩形闸门，它底边长为 10 米，高为 20 米，上底边与水面相齐，计算闸门的一第 4 页 共 11 页答案参见我的新浪博客：http:/ 5 分，共 10 分）1. 已知 是 f (x)的一个原函数，求 ；sin()xfd2. 设函数 f (x)在(0，+)内可微，且 f (x)满足方程 ，求 f (x)。1(
6、)xfftd六、判断下列级数的敛散性（每题 5 分，共 15 分）1. ； 2. ； 3. ；21sin321nn1lnn七、求解下列各题（每题 5 分，共 10 分）1. 求幂级数 的收敛域及和函数；10nx2 将函数 展开成（ x+4）的幂级数。2()3f八、 （7 分） 设有正项级数 ，且 。若级数 收1nuv、 1,(2,)nuv 1nv敛，则级数 收敛；若级数 发散，则级数 发散。1nu1n1n第 5 页 共 11 页答案参见我的新浪博客：http:/ C 卷一 求极限或判断极限是否存在(20 分, 每题 4 分)1. 2. 20sin11limxe 201lim()tanxx3.
7、4. 240lixy0cos(1)l()lixxex5. 201ln()lim(cosx x二 求导数(20 分, 每题 4 分)1.求曲面 在点（1,2, 2）的切平面和法线方程.22231xyz2.设 ,其中 具有二阶连续偏导 , 求 .2()xyzfef2zxy3. 设 , 求 .21cosxty2dx4. 设 , 求(in)1xxeyd5. 设 , 求 和2s0()0fx()f2f三 计算下列各题(15 分, 每题 5 分)1.求曲线 在点(1,-2,1)处的切线与法平面方程。226xyz2设一带电平板上的电压分布为 试问在点(1,2)处：22504uxy（1） 沿哪个方向电压升高最快
8、？速率是多少？（2） 沿哪个方向电压下降最快？速率是多少？（3） 沿哪个方向电压没变化？3为计算长方形的面积 A，今测出其边长分别为： 1.732、3.21。若测出的边长值均有 3 位有效数字，试求出 A 的值及其绝对误差限，并指出 A第 6 页 共 11 页答案参见我的新浪博客：http:/ (15 分) 1 （8 分）设某工厂生产 A 和 B 两种产品，产量分别为 x 和 y（单位：千件）。利润函数为 22(,)614Rxyy已知生产这两种产品时，每千件产品均需要消耗某种原料 2000 千克，现有该原料 12000 千克，问两种产品各生产多少千件时总利润最大？最大利润是多少？2（7 分）下
9、表数据是某作物施肥量和产量的实验数据施肥量(kg/公顷) 0 28 56 84产量(t/公顷) 10.1 13.2 15.3 17.1试利用二次插值，计算在施肥量为 40kg/公顷时，产量近似值。五 (15 分)1. (7 分 ) 求通过直线 且垂直平面 的平面方程.24039xyz41xyz2. (8 分) 设函数 由方程 确定, 试判断曲线()ln0y在点 附近的凹凸性.(yx(1,)六 证明题(15 分)1 （7 分）设 2 222(,)1)sin 00 xyxyxyfxy证明 在(0,0) 点可微。(,)f2.(8 分 )设 在 上可导, 且 . 证明: 存在一点x1 1()0,()2
10、ff, 使(0)()f高等数学下册试卷 A 卷第 7 页 共 11 页答案参见我的新浪博客：http:/ 10 分，每小题 2 分）1设数项级数 收敛 收敛，则数项级数 ； 1nu(0)n1nu2若级数 ，当 x=0 时收敛，当 x=2b 时发散，则该级数的收敛半0()nnaxb径是 ；3设设 是平面 在第一卦限部分上侧，用第一类曲面积分表示下列第326xyz二类曲面积分 ；1(,)Pd4 ，则 ；222()()AxyzixzjxykrotA5写出 的特解形式 33sin*二、计算下列各题（共 10 分，每题分）1计算曲面积分 ，其中 为平面 在第一卦限内的部(42)zxydS124yzx分2
11、 ，其中 为 的外2232()()xzdyzxyzxd 22zaxy侧三、判断下列级数的敛散性（共 15 分，每题 5 分 ）1 ； 2 ； 3 21ln1ln1n312()nn四、计算下列各题（共 15 分）1求幂级数 的收敛区域及和函数（收敛域 5 分，和函数 5 分）1nx2将 展开成（x+4）的幂级数（5 分） 2()3f五、 （10 分）以 为周期的函数 的傅氏级数T, 0()2xfx第 8 页 共 11 页答案参见我的新浪博客：http:/ a0，并证明 ；（5 分）0(1,2)n求傅里叶级数的和函数 S(x)在 上的表达式及 的值 （5 分）(2)S六、解下列各题（10 分，每题
12、 5 分）1求方程 的通解0xyxyeded2求方程 ，满足初始条件 的解26 01xy七、 （10 分）设 具有二阶连续导数， ，且()fx(),()ff2yxydxyd为一个全微分方程，求 及此全微分方程的通解 ()f八、解下列各题（共 10 分，每题 5 分）1设二阶非齐次线性方程 的三个特解为：()()yPxQyfx，求此方程满足初始条件 的特解3,xe04,()32求方程 通解。22yx九、 （10 分）设空间有界闭区域 是由光滑闭曲面 围成，用平行 轴的直线穿过 内部z时与其边界最多交于两点。 在闭区域 上具有一阶连续偏导数，证明(,)Ryz(,)Adxxyzd第 9 页 共 11
13、 页答案参见我的新浪博客：http:/ B 卷一 求偏导数(24 分)1. 设 ，求 dz.,uvuxyvze2. 设 及 由方程组 确定，求 .()()x2201xyzdyzx及3. 设 具有二阶连续偏导数且满足 ，求 .(sin)xzfey 2zexy()fu4. 设 ，求 .23xzzxy二 求积分(24 分)1. 计算 ，其中 D 是以（0，0） 、 （1，1） 、 （0，1）为顶点的三角形区域.2yDed2. 设 L 为 y=x2 上从（0,0）到（1,1）的一段，求 .Lyds3. 设 L 为 上从 到 的一段弧，求 .yax(,0)a(, 2x三 判别敛散性(10 分)1. 1!
14、n2. 21sin四 (10 分)将 展成 x 的幂级数(2fx五 求方程的解(10 分)1. 求方程 的通解.32243yyx2. 求 的通解1lnx六 (10 分)求函数 在区域 上的最大和最小值.22(,)fxyxy2:4,0Dxy七 (12 分)设 具有一阶连续偏导数，满足 ，求 所满(,fuv(,)(,)uvffu2()(,)xyef足的一阶微分方程并求解.第 10 页 共 11 页答案参见我的新浪博客：http:/ C 卷一、填空（每小题 3 分，共 15 分）1设 ，则uxyz()_.divgrau2 。 () () ,()xafabFtfdxabFx在 ， 上 连 续 ， ，
15、，3设 是以 为周期的周期函数，在一个周期上的表达式为 ，则x2 7f的傅立叶系数 。()f74已知二阶常系数线性齐次微分方程的通解为 ，则该微分方程的最12xYce简形式为 。5已知 为圆周 ，则 = .L21xyLdsA二、计算下列各题（共 16 分）1 2206coslim(in)xnatd12cos4x3 4350sxarctnxd三、计算下列各题（每小题 5 分，共 20 分）1计算 其中 。2max(,)yDed(,)01,Dxyy2曲面 是锥面 介于 之间的部分，其面密度为 ，2zz和 =z计算曲面的质量3计算 ，其中 为从点 沿(sin)(cos)xxLeymdeyd L(2,
16、0)a的上半圆到点 的曲线弧。2a0,4计算积分 ，其中 为曲面 被平面 截下的有限22yzxy2zxy1z部分的下侧。四、解下列各题（共 19 分）1判断下列级数的敛散性（9 分）第 11 页 共 11 页答案参见我的新浪博客：http:/ ； 1()2)nn12!()n1(3)lnn2解下列各题（10 分）（1）求幂级数 的收敛半径。21()nnx（2）将函数 展开成 的幂级数。234)fx五、解下列微分方程（每小题 5 分，共 15 分）1求 的通解。2(1)0ydy2求 的通解23xe3已知： ，试确定函数 ，使曲线积分()y(x)与路径无关。xLyedx六、（7 分）在阿拉斯加海湾附
17、近生活着一种大马哈鱼，其净增长率为 0.003 。从某时刻（t=0 ）开始，有一群鲨鱼来到这些海域栖身并开始捕捉这里的大马哈鱼。鲨鱼吞食大马哈鱼的速度与当时大马哈鱼总数的平方成正比，比例系数为0.001。而且，由于一个不受欢迎的成员进入到它们的领域，每分钟有 0.002 条大马哈鱼离开阿拉斯加海域。(1)建立数学模型以分析该海域大马哈鱼总数随时间的变化。(2)设 t=0 时有一百万条大马哈鱼。观察群体总数在 时会发生什么情况。t七、 （8 分）如果某地区 AIDS 病人数的净增长率为 r，已知该地区在 1988 年有这种病人 161 个。问：到 2000 年该地区这种病人的总数有多少？若该地区每年为每个 AIDS 病人所提供的费用是 m 元。问：从 19882000 这 12 年间，该地区为这种病人所提供的总费用有多少？。
