1、常微分方程小论文 常微分方程在实际问题中的应用41226001 陈林在许多实际问题中，往往不能找出自变量与因变量之间所需要的确切的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式就是所谓的微分方程。而微分、差分方程模型的建立通常采用微元分析法或前提假设法，微元分析法是在微小的时间间隔内, 考查函数改变量的关系, 再让时间间隔无限小(微分)或取时间间隔为一个单位(差分)得到方程；最后给出考查初期所处状态, 得到含初始条件的微分 (差分) 方程模型。微元分析必须建立在正确的科学定律或经济原理之上，才能正确反映问题变化的本质。如果问题的定律或原理不十分清楚
2、，仅知道某些增减关系，这时只能通过对问题作出一定的假设，根据假设建立方程就是前提，因此假设法结果要进行检验。常微分方程建立模型可以解决许多经济上、物理上的问题，如下例：一、湖水污染问题某湖湖水容量为 V=1012 m3，上游下游各有一年流量为 Q=1011m3 的河水流进流出该湖。20 年前，上游建了某工厂,生产中使用某有害物质。近来发现湖水中这种有害物质浓度已达 0.03 毫克/m3，河水污染浓度达到了 0.05 毫克/m3。环保部门提出该工厂整改， 并拟处罚款。该厂辩称 : 过去排放废水从未使河水污染超过环保要求的 0.001，只是最近疏忽，才使河水污染, 请求从轻发落。试建立数学模型对湖
3、水污染问题作出分析。分析湖水的污染由河水的污染引起，并且，任意时刻湖水污染程度都与上一个时刻的污染程度及新引起污染有关，有动态特征，建立动态数学模型。 符号：V 湖水容量；Q 河水流量；t 考察问题的时刻。 模型假设：1. 河水是湖水的唯一水源； 2. 湖水容量不变； 3. 河水进入湖中立刻与湖水充分混合； 4. 不考虑湖水河水的自净化作用； 5. 污染物全部溶解在河水、湖水中； 6. 不考虑雨水、蒸发等作用对湖水的影响； 7. 污染物在河水、湖水中分布均匀。接着建立模型：二、经济增长分析国民收入通常分为消费和储蓄两部分，储蓄用于投资，可以增加生产，生产增加后消费、储蓄增加，又可以反过来促进生
4、产。试建立数学模型分析这种关系。问题分析：产出转化储蓄，储蓄化为投资，投资增加产出，任一时刻产出都与前一时刻产出状态有关，因此是一个动态问题。关键是储蓄投资产出关系。符号说明：记国民收入为 Y(t) (产出), 消费为 C(t), 储蓄为 I(t), k 为边际资本产出比 (即单位边际产出所需资本) ；s 为边际储蓄倾向 (单位产出产生的储蓄)；1s 为边际消费倾向(单位产出用于消费的量) ；基本假设：1. 产出增长率与资本投入成正比； 2. 储蓄全部用于投资； 3. 消费、储蓄比例不变；4. 产出增长速度与储蓄成正比。建立模型：这是一个持续增长的生产函数，要求增加的产出全部被需求吸收（包括消
5、费需求和投资需求） 。上述模型是一个简单模型。只考虑了自发投资，即消费剩余,而实际上消费增加也会刺激投资进而刺激生产。假设引致投资与消费增长率成正比，则得到新的经济增长模型。由 此 可 见 ， 数 学 模 型 是 经 济 学 分 析 的 一 个 重 要 的 工 具 ， 从 某 种 意 义 上 说 也 是唯 一 的 工 具 。 是 经 济 学 问 题 就 一 定 会 涉 及 到 定 量 和 变 量 ， 而 想 要 处 理 这 些 量 就 一 定需 要 数 学 工 具 ， 否 则 没 有 其 他 办 法 。 人 脑 的 分 析 虽 然 在 经 济 决 策 中 占 了 一 定 的 分 量 ，但 那 是 一 连 串 经 济 处 理 流 程 中 的 下 游 加 工 。 人 脑 的 分 析 必 须 是 建 立 在 大 量 可 供 最 终数 据 上 的 。 而 这 些 数 据 的 得 出 是 一 定 离 不 开 数 学 工 具 的 。 而 在 现 实 的 经 济 活 动 中 ，定 量 相 比 较 变 量 来 说 ， 是 非 常 ， 所 以 这 就 更 说 明 一 定 要 借 助 数 学 工 具 来 处 理 这 些 变量 ， 才 能 帮 助 我 们 更 能 解 决 现 实 中 的 经 济 问 题 。
