1、数学物理方法（Methods of Mathematical Physics）数学物理方法是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在高等数学课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。课程内容： 复变函数（18 学时） ，付氏变换（20 学时） ，数理方程（26 学时）第一篇 复变函数（38 学时）绪 论第一章 复变函数基本知识 4 学时第二章 复变函数微分 4 学时第三章 复变函数积分 4 学时第四章 幂级数 4 学时第五章 留数定理及应用简介 2 学时第六章 付里叶级数第七章 付里叶变换第八章 拉普拉斯变换第二篇 数学物理方程 （26 学时
2、）第九章 数理方程的预备知识第十章 偏微分方程常见形式第十一章 偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理（数学）物理物理学中的数学（应用）数学Mathematical Physics方 程 1x222111cybxatdt)(taxt常微分方程 022 xdtxCtAxcos偏微分方程 数学物理方程0222 zyxx,2 zyxUzyxmhthi ,2 2222 tzyx,复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，运算规则 ， ，2 121负 数 0，-1，-2，整 数 ，-2，-1，0，1，2， 5.213.0有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数41.2无理数 无限不循环
3、小数实 数 有理数、无理数i1虚 数 yi复 数 实数、虚数、实数虚数 yixy,2. 负数的运算符号12xi1i虚数单位，作为运算符号。i3. 作为方程的解 02 cbxax（ ）ac242 042acb（ ）acbibx 2c4. 数学运算的需要 数系的完备性、自洽性5. 物理学的需要 平面矢量、二维数组第一章 复变函数基本知识 4 学时复数表示代数式 iyxz三角式 sincosi指数式 iez几何意义运算规则复变函数 zfwiyxivuwiezirwyxu,v,yx,vu,常用初等复变函数指数函数三角函数双曲函数对数函数根式函数反三角函数幂函数一般指数函数第二章 复变函数微分 4 学时
4、复变函数的极限 Azfz0lim复变函数的连续性 00limzfzfz0, ,lim00 yxvyxvuuyxyx复变函数的导数 00limzffdzwz解析函数在 点， 及其某一邻域内的每一点可导。0z在 区域，处处可导。D连续、可导、解析三者关系在 点， 如可导，则连续。0z0limlim000 zdzwzfzf zz0lim00 zfzfz在 点， 如解析，则可导。0即在 点，连续、可导、解析三个条件依次变强。z而在 区域，可导与解析等价。D柯西-黎曼方程 xvyuyx可导、解析、柯西-黎曼方程三者关系可导的必要条件是 ， ， ， 存在且柯西-黎曼方程xuyxvy成立。可导的充分必要条件
5、是 ， ， ， 连续且柯西-黎曼xuyxvy方程成立。在 区域，解析的充分必要条件是 ， ， ， 连续Dxuyxvy且柯西-黎曼方程成立。条件 ， ， ， 连续xuyxvy等价于全微分 ， 存在dyuxdudyvxv或称， 处处可微yxu,yxv,调和函数022yx共轭调和函数022yux22yvxvxvyuyx解析函数、调和函数、共轭调和函数三者关系在 区域，如 解析，Dzf则 ， 调和，yxu,yxv,从而 与 共轭、 与 共轭。vu构造解析函数调和函数 + 柯西-黎曼方程 解析函数常用初等复变函数具有解析性第三章 复变函数积分 4 学时复变函数的积分iyxzivufxyC: cvdxuy
6、icvdyudzcfiezirf :C cdericdredzczf ii 复变函数可积条件充分条件 沿曲线 连续 zf C必要条件 沿曲线 有界f柯西积分定理 如 在单连通区域 内解析， zf D为 内任一周线，则CD0dzzfc推 论 解析函数积分与路径无关 dzczfdzczf 21如 在单连通区域 的边界 （分段光滑）上连续，则zf D0dzzf对多连通区域的边界 ，亦有10dzzf可表示为 dzfdzfdzf 210对 内任一点 ，有D0z柯西积分公式 dzzfizzf 001推 论设 为简单闭曲线， 为 的外部区域 ， 有限。CDCf如 在 内，则0z1110 00 00011 0
7、CCCCfzf dzif fzzdzizifdzfzizfzfziz AAA如 不在 内，则0D 11100 00011 0CCCCfzdzifzfzdzi zifzdfzifz fzi AAA此时 无意义。0fz第四章 幂级数 4 学时41 复级数复级数 1kkz复级数的收敛 1kkzz复级数的绝对收敛 1kkzz复级数收敛的必要条件 0limkk复级数收敛的充分条件 收 敛1kkz复级数收敛的充分必要条件 1 对任意小 ，有 ；当 ， NNnpnkkz12 、 收 敛1kkx1ky复级数绝对收敛的必要条件 收 敛1kkz复级数绝对收敛的充分必要条件 、 收 1kkx1kky敛42 复函数级
8、数复函数级数 zfkk1复函数级数的收敛 在 点 0zzfzfkk1对任意小 ，有 （与 点有关） ；当 ，N0 Nnnkkzfzf1复函数级数的一致收敛 在 区域D对任意小 ，有 （与 点无关） ；当 ，N0zNnnkkff1复函数级数一致收敛的充分必要条件对任意小 ，有 （与 点无关） ；当 ， N0z Nnpnkkf1复函数级数基本性质-如 ， 且 收敛kkMzf1kkM则 在 区域绝对且一致收敛zfkk1D-在 区域，D如 连续， 且 一致收敛zfk zfkk1则 连续f-沿 曲线，C如 连续， 且 一致收敛zfk zfkk1则 dzcfdzcf kk 1-在 区域，D如 解析， 且
9、一致收敛zfk zfkk1则 解析f zfzfkkn n1常用级数1lnk1k1kka1!k收 敛 发 散2ln1kpk1p1p收 敛 发 散1kp收 敛 1sinkp 0p收 敛 1coskpk43 复幂级数 0kkcz在 收 敛Rz在 绝对一致收敛r收敛半径 1limkcRkkcRk1lim,00RR级数收敛判别法收 敛kzck1lim不 定1发 散收 敛kkzck 1lim1不 定发 散144 幂级数展开对 ， 如 非奇点， 在 zf0z Rz0Taylor 级数00 kkkfzcz0!kkfzc对 ，如 孤立奇点， 在 zf0z Rzr0Laurent 级数kkk zczf 0 dzf
10、ic kk 1021闭合曲线 ： 0 zrR对 ， 如 非奇点zf0z时，由柯西积分公式0kdzzfizf 0021 dzzfikzf kk 10021!21 010 kzfdzfic kkk 时，由解析函数性质002110dzfic kk45 复函数的零点与奇点 zf复函数的零点 23 zzsinz1 ze1 ze复函数的奇点 2311 zzzsinz1 ze1 ze1gzfz奇点分类无穷远点性质 zf1gzfz46 幂级数求和 zfzckkk 00第五章 留数定理及应用简介 2 学时留数定义解 析， zf Rz00孤立奇点，0C： Rrz0kzczf kk 010czfRes Cdzzfi
11、2-解 析， zf zR孤立奇点，C： rzRkzczf kk1cfRes Cdzzfi2留数定理周 线包围区域 D奇 点kz dzzfizfResnk k21101 fReszfResnk k留数计算留数理论应用第六章 付里叶级数61 付里叶（ Fourier）级数（复数形式）kzczf kk： D11Rzr令 iez，120则 ikecgkk如 gg*而 是区间 上的正交完备函数族ike 20故 dikegck 201*kkcc*00从而ikecgkk kikckikcc kkkk snossnos *110 kcicc kkkkkk sinos *1*10 bkaakkkk sincos
12、110 令 gg2可将 解析开拓到区间 kkkiBAckkki*kkkk Aca2*kkkk Bib*dga2001 dikeikegak 201dkgcos120 dikeikegibk 20dkgsin12062 付里叶级数（实数形式） kbkaag kkkk sincos110 dga200dkgak cos120dkgbk sin120令 xl20lx20 lxlzfgxF xlkbxlkaaxF kkkk sincos110 dxFlall210dxlkxlallk cos1dxlkxFlbllk sin1付里叶级数收敛充分条件 Dirichlet 定理lxl连 续 有限个极值点 F kx不连续 有限个间断点 k200kkk xFxFx xxFlF2则 可展为x xlkbxlkaaxF kkkk sincos110 付里叶级数收敛充分条件（严格）lxl连 续 绝对可积FxxFl2例 题 xxFsin例 题 22xxtgxF2例 题 lxl2 211 1sinsinsin 0 11 10Fxxxx xkxk xkklxk
