1、数值分析课程设计姓名：刘善梅学号：11207210142系：数理系班级：11 信息专升本专业：信息与计算机科学时间：2012 年 1 月 7 号、 题目 复化 Simplson 数值积分公式和复化梯形数值积分公式的比较、 摘要 在 matlab 的环境下熟悉的运用计算机的编程语言并结合复化梯形公式和复化辛普森公式的理论基础对函数积分，在运行完程序后对结果做出各方面的分析和比较。、 设计目的 用 熟悉的计算机语言（这里特指 MATLAB）编程上机完成复化梯形公式和复化辛普森公式积分法积分。、 问题描述 （1）利用复化 Simpson 公式计算积分 ，dx)ln(10其中 ln(x)表示自然对数。
2、 （2）通过理论分析，得到值；选取 10 个步长dx)ln(10h=0.2,0.1,0.05,0.025,0.02,0.0125,0.01,0.005,0.0025,0.001.对每一个步长，分别用复化梯形中点公式和复化 Simpson 公式计算上述定积分，并将计算结果和理论分析所得的值做比较（给出计算所得值和理论所得的值差）。 （3）对比复化梯形公式和复化 Simpson 公式的优劣，可以先对运用复化梯形公式选取相应步长进行计算，再用dx)ln(10复化 Simpson 公式进行计算。将计算结果和理论分析的值进行差值比较，通过计算机编程实现可视化的优劣对比结果。五、复化梯形公式和复化辛普森公
3、式的理论基础复化梯形公式：将区间【a,b】化为 n 等份，分点 ，-1kxa（ ） h，k=1,n,n+1,在每个子区间 （k=1.n）采用bahn 1,k梯形公式 ，把1 11()()()()2knnxba kknkhIfdfdfxfRf 称为复化梯形公11 2()()()2n nkk kkhhTfxffaffb 式，其余项为 2nbRff,复化辛普森公式：将区间a,b划分为 n 等份，且 n=2m,在每个子区间上采用辛普森公式，若记 ，则得2kxh= + 记21()()kmxbaIfdfd212211()4()6mkkkkffxf ()nRf= =nS212211()4()3kkkkhff
4、fx称为复化辛普森求积公式，其余项2211()()()(mmkkkfafxffb为 六、复化梯形公式和复化4()80nbRfhf,)aSimpson 程序（matalb）复化梯形公式：主函数（以 tixing_main.m 保存）：%复合中点计算函数积分主函数disp(步长为 0.2 数值积分为) s_1=tixing(0.2)disp(步长为 0.1 数值积分为) s_2=tixing(0.1)disp(步长为 0.05 数值积分为) s_3=tixing(0.05)disp(步长为 0.025 数值积分为) s_4=tixing(0.025)disp(步长为 0.02 数值积分为) s_5
5、=tixing(0.02)disp(步长为 0.0125 数值积分为) s_6=tixing(0.0125)disp(步长为 0.01 数值积分为) s_7=tixing(0.01)disp(步长为 0.005 数值积分为) s_8=tixing(0.005)disp(步长为 0.0025 数值积分为) s_9=tixing(0.0025)disp(步长为 0.001 数值积分为) s_10=tixing(0.001)%采用符号法计算出积分的严格结果disp( 真实结果为：) fenxi_s=int(sqrt(x)*log(x),0,1)s=vpa(fenxi_s,12) %取前 12 位有效
6、数字%误 差情况TOL=s_1-s;s_2-s;s_3-s;s_4-s;s_5-s;s_6-s;s_7-s;s_8-s;s_9-s;s_10-s;方法函数（以 tixing.m 保存）% 复合中的计算法计算积分function s=tixing(h) % a，b 为积分区间 % h 为区间步长a=0; b=1; n=(b-a)/h; s=0;%循 环 for k=0:(n-1) s=s+fun_tixing(a+h/2+k*h);end s=h*s;函数文件（以 fun_tixing.m 保存）：%计 算函数 function f=fun_tixing(x) f=sqrt(x)*log(x);
7、复化 Simpon 公式 主函数（以 xps_main.m 保存）disp(步长为 0.2 数值积分为) s_1=xps(0.2)disp(步长为 0.1 数值积分为) s_2=xps(0.1)disp(步长为 0.05 数值积分为) s_3=xps(0.05)disp(步长为 0.025 数值积分为) s_4=xps(0.025)disp(步长为 0.02 数值积分为) s_5=xps(0.02)disp(步长为 0.0125 数值积分为) s_6=xps(0.0125)disp(步长为 0.01 数值积分为) s_7=xps(0.01)disp(步长为 0.005 数值积分为) s_8=x
8、ps(0.005)disp(步长为 0.0025 数值积分为) s_9=xps(0.0025)disp(步长为 0.001 数值积分为) s_10=xps(0.001)%采用符号法计算出积分的严格结果disp(真实结果为：)fenxi_s=int(sqrt(x)*log(x),0,1)%取前 12 位有效数字s=vpa(fenxi_s,12)%误 差情况TOL=s_1-s;s_2-s;s_3-s;s_4-s;s_5-s;s_6-s;s_7-s;s_8-s;s_9-s;s_10-s;方法函数（以 xps.m 保存）：function s=xps(h)% a，b 为积分区间% h 为区 间步长a=
9、0;b=1;n=(b-a)/h;s=4*fun_xps(a+h/2)+fun_xps(a+1)*h);%循 环for k=1:(n-1)s=s+4*fun_xps(a+h/2+k*h)+fun_xps(a+(k+1)*h)+fun_xps(a+k*h);ends=(h/6)*s;函数文件（以 fun_xps.m 保存）：%计 算函数function f=fun_xps(x) f=sqrt(x)*log(x);七、 实验结果复化梯形公式：步长为 0.2 数值积分为 s_1 = -0.4552步长为 0.1 数值积分为 s_2 =-0.4494步长为 0.05 数值积分为 s_3 =-0.4466
10、步长为 0.025 数值积分为 s_4 =-0.4454步长为 0.02 数值积分为 s_5 =-0.4451步长为 0.0125 数值积分为 s_6 =-0.4448步长为 0.01 数值积分为 s_7 =-0.4447步长为 0.005 数值积分为 s_8 =-0.4446步长为 0.0025 数值积分为 s_9 =-0.4445步长为 0.001 数值积分为 s_10 =-0.4445真实结果为： fenxi_s =-4/9s =-.444444444444TOL = -.1077213652518227176530535871279e-1-.4970426694930582805670
11、61046895e-2-.218601770558979085452028812142e-2-.92891520798687759425411059055e-3-.70113981405950125919707716093e-3-.38470720121302786582168664609e-3-.28836912308538325506196997594e-3-.11644401170862488898455922026e-3-.4633689080157681844957551220e-4-.1346247868288823996158498630e-4复化 Simpon 公式：步长为 0
12、.2 数值积分为 s_1 = -0.4298步长为 0.1 数值积分为 s_2 = -0.4386步长为 0.05 数值积分为 s_3 = -0.4422步长为 0.025 数值积分为 s_4 = -0.4436步长为 0.02 数值积分为 s_5 = -0.4438步长为 0.0125 数值积分为 s_6 = -0.4441步长为 0.01 数值积分为 s_7 = -0.4442步长为 0.005 数值积分为 s_8 = -0.4443步长为 0.0025 数值积分为 s_9 = -0.4444步长为 0.001 数值积分为 s_10 = -0.4444真实结果为： fenxi_s = -4
13、/9 s = -0.444444444444TOL = 0.0146637141714797383494910294754470.00581359537687200747291304051000970.00227785700075352728666321436290510.00088398797953950472339234092911120.000650646143294155957393243988606810.000340341723847417368831614475910290.000249933625488610003829038214151480.0000953989923420
14、908413347236998180990.0000362155711434411197173662000370340.0000099935864512315207845889741822276八、结果分析我们选取 10 个不同的步长，从结果中可以看出步长越细积分精度越高。分别用复合中点公式和复合 Simpson 公式计算上述定积分，并将计算结果和理论分析所得的值做差值比较。我们不难发现复合Simpson 公式比复合中点公式的误差要小。可以看出复合 Simpson 公式比复合中点公式能更好的逼近被积函数 f(x)。九、总结通过这次课程设计，提高了我们对理论知识的理解并且掌握了使用计算机软件的基本技能。同时各科相关的课程都有了全面的复习，独立思考的能力也有了提高。这次的课程设计中不仅检验了所学习的知识，也培养了我们如何去把握一件事情，如何去做一件事情，又如何完成一件事情。十、参考文献1 张 平文，李铁军. 数值分析. 北京：北京大学出版社，2007.2 徐瑞，黄兆 东，等. MATLAB2007 科学与工程分析. 北京：科学出版社，2007.3 宋叶志，贾东永. MATLAB数值分析与应 用. 北京：机械工业出版社，2009.
