1、几个精彩的数论问题从同事那里借来了一本单墫教授主编的初等数论奥数书，看到很多精彩的问题，在这里做个笔记，与大家一同分享。不少问题和答案都有过重新叙述，个别问题有所改动。问题：找出所有使得 2 n - 1 能被 7 整除的正整数 n 。答案：由于 2 n 的二进制表达为 100000 （n 个 0），因此 2 n - 1 的二进制表达为 11111 （n 个 1）。而 7 的二进制表达是 111 ，要想让它整除 n 个 1 ，显然 n 必须是也只能是 3 的倍数。问题：是否存在 100 个数，使得它们的和等于它们的最小公倍数？答案：是的。考虑 3, 2 3, 2 3 2 , 2 33, , 2
2、398, 399 ，它们的和为：3 + 2 3 + 2 32 + 2 33 + + 2 398 + 399= 3 (1 + 2) + 2 32 + 2 33 + + 2 398 + 399= 32 + 2 32 + 2 33 + + 2 398 + 399= 32 (1 + 2) + 2 33 + + 2 398 + 399= 33 + 2 33 + + 2 398 + 399= . .= 399 + 399= 2 399而这 100 个数的最小公倍数正是 2 3 99 。问题：能否找出 100 个不同的正整数，使得其中任意 2 k 100 个数的算术平均数都恰为整数。答案：能。这个问题非常唬
3、人，它的答案异常简单： 1 100!, 2 100!, 3 100!, , 100 100! 显然满足要求。问题：求证，存在任意长的连续正整数，使得其中任何一个数都不是质数的幂（当然更不能是质数）。答案。有一个经典的问题是，求证存在任意长的连续正整数，它里面不包含任何质数。换句话说，相邻质数的间隔可以达到任意大。构造的方法堪称经典。显然 n! + 2 是 2 的倍数（因为我们可以提出一个 2 来）， n! + 3 是 3 的倍数，等等。因此， n! + 2, n! + 3, n! + 4, , n! + n 就是 n - 1 个连续的正整数，其中任意一个数都不是质数。由于 n 可以任意大，因此
4、这个数列可以任意长。现在，我们要证明的是一个更强的结论。我们可以把刚才的构造方案简单地修改一下。只需要考虑 (n!) 2 + 2, (n!)2 + 3, (n!)2 + 4, , (n!)2 + n ，则其中每一个数都不是质数的幂。比如说 (n!) 2 + 5 ，显然它是 5 的倍数，因为我们可以提出一个 5 来；然而提出一个 5 之后将会得到 5 (1 2 22 32 42 5 62 n2 + 1) ，括号里的数显然不再是 5 的倍数，它除以 5 余 1 。利用中国剩余定理，我们还能给出另一种非常巧妙的构造方案，它能找出 n 个不含质数幂的连续正整数数列，其中 n 可以任意大。我们只需要保证
5、，每个数都含有至少两个不同的质因数即可。取 2n 个不同的质数 p 1, p2, , pn, q1, q2, , qn ，显然 p 1 q1, p2 q2, , pn qn 是两两互质的 n 个数。由中国剩余定理，我们能找到一个正整数 M ，使得 M 除以 p 1 q1 余 1 ，并且 M 除以 p 2 q2 余 2 ，并且 M 除以 p 3 q3 余 3 ，一直到 M 除以 pn qn 余 n 。于是， M - 1, M - 2, M - 3, , M - n 就是 n 个连续的正整数，其中每一个都含有两个不同的质因数。问题：求证，对于任意大的 n ，我们都能够找出 n 个两两互质的数，使得
6、任意 2 k n 个数之和都不是质数答案：如果只要求任意多个数之和都不是质数，这很好办：让所有数都是某个数的倍数即可。但是，如果这些数必须两两互质，同样的要求还能办到吗？可以的。考虑 n! + 1, 2 (n!) + 1, 3 (n!) + 1, , n (n!) + 1 这 n 个数，显然任意 k 个数之和都是 k 的倍数，因而不是质数。下面说明这 n 个数两两互质。假设 i (n!) + 1 和 j (n!) + 1 有公共的质因数 p ，其中 1 i 1 ，后两个数列里恰好有一个数是 n 位数。这是为什么？答案：这是 Beatty-Rayleigh 定理的一个非常漂亮的直接推论。 10 k 的二进制表达恰好有 log 210k + 1 位，即 k log 210 + 1 位。10 k 的五进制表达恰好有 log 510k + 1 位，即 k log 510 + 1 位。我们只需要证明，数列 1 log 210, 2 log210, 3 log210, 和 1 log 510, 2 log510, 3 log510, 既无重复又无遗漏地包含了所有正整数。注意到 log 210 和 log 510 是两个倒数和为 1 的无理数，用一下 Beatty-Rayleigh 定理就出来了。如果你喜欢这些问题，这里还有另一个类似的小合集：http:/
