1、大连理工大学网络教育学院第 1 页 共 9 页工程力学（二）辅导资料八主 题：第三章 结构力学知识回顾（第 3 节）学习时间：2013 年 11 月 18 日11 月 24 日内 容：本周我们学习结构在荷载作用下的位移计算，希望通过下面的学习使同学们掌握图乘法计算梁和刚架的位移，理解功的互等定理、位移互等定理和反力互等定理。基本要求与重点：1. 了解位移和功的概念；2. 掌握利用图乘法计算梁、刚架的位移；3. 理解结构位移计算的一般公式以及各种不同结构的计算公式；4. 理解各种弯矩图的叠加并能根据叠加进行图乘；5. 理解功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理。一、概述结构在荷载作用下，会产生
2、应力和应变，以致 结构原有的形状会发生变化（简称变形），其上各点的位置将会移动，杆件的横截面也将发生转动。 这些移动和转动统称为位移。 位移：线位移（水平位移，竖向位移）、角位移（ 转角）图 1 位移示意图结构在其他因素（例如温度改变、支座位移、材料收缩和制造误差等）影响下，大连理工大学网络教育学院第 2 页 共 9 页虽不一定都发生应力和应变，但却会使结构改变原来的位置而产生位移。图 2 温度及支座位移示意图二、外力在弹性体位移上作的功（一）外力的实功力在本身所引起的位移上作的功称为实功（如图 a 所示），外力的 实功等于图下方的面积（如图 b 所示）F（a） （b）（二）外力的虚功（a（
3、（b）所谓虚功是指力在与它无关系的位移上做的功，也就是说，在计算虚功中的力与位移是无关的。（三）广义位移和广义力1.广义位移以上线位移、角位移以及相对位移等统称为广义位移。大连理工大学网络教育学院第 3 页 共 9 页2.广义力广义力与广义位移相对应，包括集中力、集中力偶、一对等值反向力（力偶）（四）虚功的计算一个力系作的总虚功 W=PP-广义 力；-广义位移（1）作虚功的力系为一个集中力 PWF（2）作虚功的力系为一个集中力偶 M（3）作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶 ()ABABW（4）作虚功的力系为两个等值反向的集中力 ()PABPABPFF三、荷载作用下的位移计算公式从虚功方程入手
4、，讨论杆系结构位移计算的一般公式。杆系结构虚功方程为：大连理工大学网络教育学院第 4 页 共 9 页0()BsNsQsAPMkdFd设待求的实际广义位移为 ，与 对应的广义力为 P。设仅在广义力 P=1 作用下，任意横截面上与之对应的轴力、剪力和弯矩分别为 、 和 。NFQM又设与内力 、 和 对应的微段实际变形分别为 、 和 。NQFud杆系结构虚功方程为： 123PKRRNuCFFM杆系结构虚功方程改写为： 0NsssiRdkdc仅在荷载作用时的位移计算一般公式 NQ0PsPspsFrMk对于由线弹性直杆组成的结构，有： QN01, , PP PkEAGEIP dPPFMsAI上述公式只适
5、用于线弹性结构。 内力的正负号规定如下：轴力 以拉力为正；N,PF剪力 使微段顺时针转动者为正；Q弯矩 只规定乘积的正负号。使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取为正。,PM一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。1、对梁和刚架：大连理工大学网络教育学院第 5 页 共 9 页dPPMsEI2、 对桁架： NNdPPPFsFlA3、对组合结构： NdPPPlMsEI四、图乘法下面介绍梁和刚架在荷载作用下计算位移的图乘法。1.图乘法的推证 1dd1(tan)tandd1Pkp PPPccMssEIIxxMIIxyE图乘法求位移公式为：ckpyEI2.公式应用注意事项：（1）图乘法的应用条件：等截面直杆，
6、EI 为常数；两个 M 图中应有一个是直线； 应取自直线图中。cy（2）若 与 在杆件的同侧， 取正值；反之，取负值。c cy大连理工大学网络教育学院第 6 页 共 9 页（3）表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。（4）图乘时注意应用图乘技巧复杂图形，可分解为简单图形图乘，如： 直线形乘直线形，非标准抛物线乘直线形， 阶梯形截面杆。（5）绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。五、线弹性体系的互等定理1.功的互等定理在任一线性变形体系中，第一状态外力在第二状态位移上所做的功 等于12W第二状态外力在第一状态位移上所做的功 ，即21W1PF2.位移互等定理在任一线性变形体系
7、中，由荷载 引起的与荷载 相应的位移影响系数1PF2PF等于由荷载 引起的与荷载 相应的位移影响系数 。212PF13.反力互等定理在任一线性变形体系中，由位移 引起的与位移 相应的反力影响系数1c2c等于由位移 引起的与位移 相应的反力影响系数 。21k2c 1k大连理工大学网络教育学院第 7 页 共 9 页附：相关习题1.图（a）所示简 支梁受集中荷 载 作用，试求梁两端截面 、 的相对转角PFAB。AAB（a ）解 由图（a）中可见，相对转角 。因此，虚设力系时，在截面 、ABA处施加一对反向单位力偶， 图和 图分别如图（b）和图（c ）所示。BMPAB1AM1B BPFabll（b）
8、（c）内力表达式如下： 01PFxalMaxll虚设单位荷载作用下， 10xl相对转角 为012alPPPaMFbxdsxdEIIlEIl求得结果为正值，表明相对转角 的方向与所设的一对单位力偶方向相同。2.已知静定刚架在外力作用下的弯矩图如下图所示，各杆刚度均为 EI，用图大连理工大学网络教育学院第 8 页 共 9 页乘法求 CD 中点 E 的竖向位移大小为多少？ PLPL PLELDABLC解题思路：静定结构，在外力作用下进行位移计算时图乘法公式为 ckpyEI对于静定刚架，位移计算考虑的是弯矩的图形相乘。故应该先做出所求位移在单位力作用下的弯矩图。然后利用图形相乘法得出位移的结果。解：先绘制 E 点在单位力作用下的弯矩图。ELDABLC1L / 4ELDABLC已知弯矩图 PLPL PLE LDABLC大连理工大学网络教育学院第 9 页 共 9 页两弯矩图图乘：（AC,BD 段在左边图形中的弯矩图为零，图乘结果也就为零了，因此只需对 CD 上的图 形相乘。 ） 31(2)48ckpyLPLEI EI
