1、南京理工大学紫霞湖畔 BBS 2001 级高等数学 II（B 卷）所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效一 （每题分，共分）曲面 在点（，）处的切面方程为 。12z3y2x设函数 ，则 。)(u),(du设 ， 为连续函数，则二重积分 化为在极坐标下的二次:D2fD2d)yx(f积分为 。设 C 是由轴、轴与直线围成的区域的正向边界，则 Cxy。 的麦克劳林级数为 ，收敛区间为 。)x2ln()f已知 是由 所确定的隐函数，则 。y,z0ezxz常微分方程 的特解形式为 。x2sin5已知幂级数 在处条件收敛，则幂级数 的收敛半径为 0nxa 0nn4a。二 （分）设 二阶偏导数连续，
2、，求 。)v,u(f )y2x,sie(fzxz2三 （共分）计算下列各题 （分）设 D 为由曲线 围成的平面区域，计算二重积分 。2yx;2Ddy （分）设 为圆锥面 ，计算第一类曲面积分 。)1z0(,z S)1x( （分）设 为 上测，计算曲面积分 。22z2四 （分）求函数 在条件 下的极值。zyxu9xy2五 （分）将定义在 上的函数 展开成傅里叶正弦级数。),0(1)(f六 （分）判别下列级数的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还是条件收敛。 ； 1nn2!)( 1)ln()n南京理工大学紫霞湖畔 BBS 七 （分）求解常微分方程初值问题 1;200xxyy2001 级高等数学 II（B
3、 卷）解答一 ； ； )1(6)2(8)1( zyx dzydx2ln；cos20dfd ； ； 1 2,(;2)1(lnnxze1 ； )sico(*bxaxey 8二 ,sin21fz211212 coscossinco fyefyefyex xxxx 三原式 1504362)(12421 dyxdy原式 )cos(201设 下测，4:21yxz 4:;0: 22yxDyxz原式 Ddxy)1(138cos2020 zd四 )9(xyzyxF由 得 ，极值为902xyz0,3z18五 ndan)1(si20南京理工大学紫霞湖畔 BBS xnn 0si)1(21六 ，级数是绝对收敛的。1|l
4、im1ean 是发散的。因1)ln(,)l(0所以 是条件收敛的。0)l(im),l()1ln( n1)ln()n七令 ，则方程化为 ，利用条件 ，yp,22 xcepyxp 010cyx得因此 ，解为 。,10ycx得由 2001 级高等数学 II 试题(A 卷)所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效一 （每题 3 分，共 24 分）填空题1已知 ，则 。2sinyzxudu2函数 在点 处沿 轴负方向的方向导数为 。ey)1,(x3交换二次积分 的次序得 。22 0210 ),(xx dyfyf4常微分方程 的通解为 。y5幂级数 的收敛区间为 。12nx6已知级数 ， ，则 。81
5、na512n 1)(nna7设定义在 上的函数 的傅里叶余弦级数的和函数为 ,则 = ， ,0xf)( )(xS)2 。)45(S8 ，其中 是曲线 介于 到 一段。Cdsyxz2Ctzytxsin2co0t南京理工大学紫霞湖畔 BBS 二 （6 分）已知 二阶偏导数连续， ，求 。),(vuf ),(yxfzxz2三 （共 19 分）计算下列各题1 （6 分） ，其中 。Ddxy|sin| 20;:yxD2 （7 分） ，其中 是由曲面 和平面 所围成的区域。zxy24z0z3 （6 分） ，其中 为从点 沿抛物线 到原点Cxydsin)sin( C)1,(A2xy，再沿直线 到点 。)0,
6、(Oxy)1,(B四 （7 分）求曲线 在点 处的切线方程。09322z)1,(五 （7 分）将函数 展开成 的幂级数，并指出收敛区间。)(2xxf x六 （8 分）求常微分方程 的通解。ey3七 （5 分）判别级数 的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还是条件收敛。11)()nne八 （4 分）设 为球面 ， 是点 的矢径方向，函数 在球体22zyxr),(zyx),(zyxu二阶偏导数连续，且满足 ，证明22zyx 1zyxu34dSru南京理工大学紫霞湖畔 BBS 2001 级高等数学 II（A 卷）解答一1. ; 2. yzdzxydxy2)cos()cos(sin242e3. ; 4. ;
7、 5. ; 6. ; 102,(yfd12e1,7. ; 8. 432285二 2112112121 )()(; fyxffxfxyfzfyxzxy 三1原式 4)sin(sin(00 xdydd2原式 3220402rz3 。原式1:1到从xyL 2)1(sin1011 yDLC dxdxdxy 65四由 得0142zyx 5;4;23;2 )1,2()1,( zyzxyx51南京理工大学紫霞湖畔 BBS 五 21|;)1(21)(0xxxf nn六特征方程 ，特征值 ，32r;1rxxDeCY2的特解 ； 的特解 代入方程得y1yxey3BAy)(2，通解为,21BAxxDeC)1(2七令
8、 ， 原级)(,0)(;1)( ffexf x 1nnef 0)lim(1ne数收敛，又因 ，原级数不是绝对收敛，条件收敛)(limn八由于 的方向即为球面的外法向 ，因此左式rn 3412 zyxdnSgradu高等数学试题(B)：所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效一、填空题：（每空 3 分共 30 分）1、 曲线 在（0，0，1）处切线的方程为tztytx3cos,sin,2_。2、 已知 ,则 _。)i(euxydu3、 在点 M 处沿点（5，1，2）到点（9，4，14）的方向的方向导数为z,_。4、 幂级数 的收敛半径为_。112nnx5、 把 展开成麦克劳林（Maclaur
9、in）级数为_。36、 设 是周期为 的周期函数，它在区间 上定义为)(xf,0(,则 的傅立叶级数在 处收敛于_。)2(,10,)(xxf (xf南京理工大学紫霞湖畔 BBS 7、 微分方程 的通解为_。2xy8、更换 的积分次序为_。210),(ydfd9、L 为逆时针方向的圆周: ,则 _。4)3(22yxLxdy10、 斯托克斯(Stokes)公式指出了下列两类积分：_ _之间关系。格林(Green)公式指出了下列两类积分：_之间关系。二、(8 分)已知 ，f 具有二阶连续偏导数，求 。 ),2(xyfw yxw2三、(10 分)求函数 在区域 D： 上的最大值。 21z 542x四、
10、(10 分)计算 ，其中 D 由 所围。Ddyx)(22 1,0y五、(10 分)计算积分 其中dxzxz)()()(的下侧。02hyxz：六、 (10 分)计算积分 ，其中 是上半球面 。zdS22yxaz七、(10 分)求 的通解。xeyy2103八、 (6 分) 下列计算是否正确，若正确，请给出理由，若不正确，请改正错误，并给出正确计算结果。计算曲线积分 ，其中 L 为从 A（-1，0）到 C（0，1） ，再到LyxdI24B（1，0）的曲线，AC 为直线： ，CB 为直线： ，计算过程为：因为1xy, , ，所以积分与路径无关，从而24yxP24yxQQyxP22)4(= =0(其中
11、为直线段： )。LdI2ABd2AB1(0x南京理工大学紫霞湖畔 BBS 九、(6 分)设 连续，且 ， 由不等式 所确定，令)(tf0)(f22,0tyxhz，求 。dxyzfztF22 20)(limtFt南京理工大学紫霞湖畔 BBS 2003 高等数学(下)(B) 答案:一.1. 2.( 3.012zyx dyxedxyyeyx )12cos()12sin( 3984. 5. 6. 7. 8.13,3)(01nn 2C2201),(xdyf9. 10. 空间曲线上的第二型曲线积分与空间曲面上的第二型曲面221),(xdyfd8积分，平面上第二型曲线积分和二重积分(或曲线积分和曲面积分,
12、曲线积分和二重积分)二. , = xfyw21 2121xyfffy2121)(fff三. 设 ,得驻点: , , , ,)254() yxyxxF)43()23()2计算: , ,另 ,所以 zmax=106),23()4,(z 0),()3(z0)(z4106四. I= 1023102 245)15()( dxxdyxdx五. 设 的上侧,则 =21hz： 1 )(dxyzyz(高斯公式), 而 = =0, 所0dv1 )()()( dxydxzdyxyD)(以, I=0六. =dxyzyxaI xD222 Daya3222 七. xxxeCey252171南京理工大学紫霞湖畔 BBS 八
13、. 不正确，因为 ,要求 ，所以这样做是错误的。xQyxP22)4( 042y设 是从 A 到 C ，再到 B 的半椭圆周： ，则l),10 ttsin1,co= = 。LyxdI24lyxd24210t九. = zfztFth)()(002dhfht023)(.3)(limli 2020tttt 一.1. 2.( 3.1zyx dyxedxyyeyx )12cos()1sin( 3984. 5. 6. 7. 8.2123,3)2(01nn 2C2201),(xdyf9. 10. 空间曲线上的第二型曲线积分与空间曲面上的第二型曲面21),(xdyfd8积分，平面上第二型曲线积分和二重积分(或曲
14、线积分和曲面积分, 曲线积分和二重积分)二. , xfyw21y2121)(xyfff三. 设 ,得驻点: , , , ,)54()( 222 yxF)43()23()2另 ,计算得最大值 .0),(z 106),3(),(z四. I= 10231022 245)5()( dxxdyxdx五. 设 的上侧,则 =21hz： 1 )(dxyzyz(高斯公式), 而 =0, I=00dv1 )()()( dxydxzdy南京理工大学紫霞湖畔 BBS 六. 七.dxyzyxaI xD2221 Dad3xxxeCey25217八. 不正确，因为 ,要求 ，所以这样做是错误的。xQyxP22)4( 04
15、2y设 是从 A 到 C ，再到 B 的半椭圆周： ，则l),10 ttsin1,co= = 。LyxdI24lyxd24210t九. = zfztFth)()(002dhfht 3)(02.3)(limli 2020tttt 所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效十、判断题：（对的划“” ，错的划“” ，每题 1 分共 14 分）1、 二元函数 f 在 P 点可微，则 f 在 P 点连续。2、 二元函数 f 在 P 点的偏导数存在，则 f 在 P 点可微。3、 ， 在 上可积，则等式,|),(dycbxayD)(ygxD成立。cafdgf )(4、 若 存在，则 和 一定相等。),(l
16、im0yxyx,lim0yxyx),(li0yxfy5、 ，其中 为两个向量。baba,6、 方向向量 的方向余弦为 ， 在 的偏导数存在，则l cos),(yxf0P),(y。cos000 pppyfxflf7、 三个向量的混合积的绝对值就是以这三个向量为邻边的平行六面体的体积。8、 两个向量的向量积就是以这两个向量为邻边的平行四边形的面积。南京理工大学紫霞湖畔 BBS 9、 是函数 的极值点，则 一定是函数 的驻点。0P),(yxf0P),(yxf10、 级数 收敛，其中 ，则 成立。1nana1limlan11、 微分方程 是二阶微分方程。02)(xyxy12、 是以 为周期的连续的奇函
17、数，则它的傅立叶级数展开式是余弦级数。)(f13、 级数 收敛，则级数 一定收敛。1na12na14、 幂级数 的收敛域为 。1nx),二、计算题（1） （每小题 4 分共 8 分）1 ，求： 3),(2,5baa 2)3(ba2. 设 是周期为 的周期函数，它在区间 上定义为xf),求 的傅立叶级数的和函数 。)0(,12)(xf )(f )(xS三、计算题（2） （每小题 4 分共 8 分）1求 。)2()sinlm40yxyx2. 求过点 M(1，2，1)且平行于直线 的直线方程。0251zyx四 （6 分）已知 , 具有二阶连续偏导数，求)(xyefzf yxz2五. （6 分）把二重
18、积分 化为两种次序（先 后 、先 后 ）的二次积分，其中Dd,由 、 和 所围。Dxyx20y六 （8 分）计算 ，其中 为从（0，0）到（2，0）的顺时针方向的上半圆弧：L3L。)(2yx七 （8 分）计算 ，其中 为曲面 被平面 所截下zdxydz22 2yxz1z南京理工大学紫霞湖畔 BBS 的下面部分，且它的方向向下（注：坐标系的 轴正向是向上的） 。z八 （8 分） 求微分方程 的通解。xy3sin9九 （8 分）求经过点 的所有平面中，哪一个平面与坐标平面所围成的立体(在第一卦限）)1,2的体积为最小，并求其最小值。十 （6 分）设正项数列 单调减少，且级数 发散，试问：级数 是否
19、na1)(nnanna)1(收敛？并说明理由。一、1-7. 8-13. 14.二、 （1） 76 （2） 三、 （1） 。 （2）)2(,)1(,2)(kxkxfxs 51251zyx四、 ，21fyefxzx 2212)(fxyefefyzxyxy五、 、xdfdfd010 ),(),( ydf0,六、设 L1为： 方向为从右向左y= ， ，I= =2/022 )cos(61 CsLD ddx 41501L1L45七、 = vxyzxyzy )(2221 2012)(dzd= ， 。3 Dddx 221 123I八、特征方程为 ，齐次通解为 。设特解形式为092 xcysin3o21，解得：
20、 。通解为)3sinco(*xBAxyx6*xcysino213s6九、设平面方程为 ，过点 ，故有 。1czbya)3,2(32cba问题为求函数 在条件 下的条件极值。为简化计算，令V61c南京理工大学紫霞湖畔 BBS （或 ）abcFln),( )132(cabcF),( )132(c解得： 。平面方程为 ，由实际问题知最小体积 V=3。,136136zyx十、 （反证法） ， 。级数 收敛，从而0liman 10an nna)(1收敛nn)1(1所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效十一、 判断题：（对的划“” ，错的划“” ，每题 2 分共 16 分）1、 二元函数 f 在 P
21、 点的偏导数连续，则 f 在 P 点可微。2、 有界闭区域 D 上的连续函数 在 D 上的二重积分一定存在。),(yxf3、 的偏导数存在， 是函数 的极值点，则 一定是函数 的驻),(yxf 0, 0P),(yxf点。4、 是以 为周期的连续的偶函数，则它的傅立叶级数展开式是余弦级数。)(f25、 为基本单位向量，则 也是单位向量。 kji, kji6、 若 且 ，则 。0ACB7、 微分方程 是二阶常系数线性齐次方程。032xy8、 微分方程 的一个特解形式为 。ey xeBAxy2)(二、计算题（每小题 5 分共 10 分）1极限 是否存在？若存在，求极限值，若不存在，说明理由。220)
22、(limyxyx2求原点到直线 的距离。131z三判别下列正项级数的敛散性（每小题 5 分共 10 分）：南京理工大学紫霞湖畔 BBS （1） （2） 1n132)(n四、求下列微分方程的通解（每小题 5 分共 10 分）：(1) ; (2) ;022dy)x(d)y(x 0)(xy五、 （10 分）已知 , 具有二阶连续偏导数，求2fzf z2六. （10 分）计算二重积分 ，其中 由 、 和 所围。Ddyx)(D2xyx30y七 （10 分）计算 ，其中 为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：Lyds。)(22x八 （10 分）计算 ，其中 为曲面 被平面 所截下的下面部zxyy2yxz1
23、z分，且它的方向向上（注：坐标系的 轴正向是向上的） 。z九 （7 分）将函数 展开成傅里叶级数。 0,0)(xxf十、 （7 分）设 u(x, y, z)， v(x, y, z)在空间有界闭区域上有二阶连续偏导数，证明： 。dxyzvzydslvudvzx )uxvu( 其中 取 表面的外侧， 为外法向量。(6 分)l一、1-4. 5-8. 二、1不存在。2. 10三、1、2 全不收敛四、1. 。2.cyxy22 )23sincos(211 xxex五、 ，1fxz1224fz六、 0238039)(ydxd南京理工大学紫霞湖畔 BBS 七、 2sin)co1(0tdxydsL八、 2013
24、21 dzvzxyy。Dzdxyd1 12I九、,00 21)(xfa 1)(coscos1 2 nn nxdnd.xfbn 0i1i)(, )sin)(cos(4)( 112 xnxfnn ),2(Zk十、应用高斯公式证明（证明略） 。所有试题的答案都要写在答题纸上一 填空（每小题 4 分，共 28 分）1. 曲线 在 点的切线方程为 cos,in,txtytze(1,0)_。2. 旋转面 是由 yoz 面上曲线_绕_轴旋转而成.191622z3设函数 ，则 。z)xy(u)1,2(du4. 求 在点（3，4）处的梯度为_.ln25常微分方程 的特解形式为 。xsine5x6设 ， 为连续函
25、数，则二重积分 化为在极x2yx:D2f D2d)yx(f坐标下的二次积分为 。南京理工大学紫霞湖畔 BBS 7. 幂级数 的收敛域为 _。1(2)3nnx二、计算题（每小题 6 分共 12 分）1. 设 是周期为 的周期函数，它在区间 上定义为)(xf2),求 的傅立叶级数的和函数 。)0(,12)(xf )(f (xS2. 求过点 M(1，2，1)且平行于直线 的直线方程。0251zyx三 （10 分）设 是具有二阶连续偏导的函数， ，求(,)fuv(,)xzfy。2,zxy四 （10 分）求函数 在条件 下的极值。22zyxu9xy2五(10 分)设 为 上侧，计算曲面积分)0(z。dx
26、yx2六 （10 分）计算 ，其中 为从（ 0，0）到（2，0）的顺时针方向Ldy32L的上半圆弧： 。)0(2xx七 （10 分）判别下列级数的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还是条件收敛。1 ； 21nn!)( 1)1ln()(n八 （10 分）求微分方程 的通解xy3si9答案一 填空（每小题 4 分，共 28 分）南京理工大学紫霞湖畔 BBS 1 ； 2 ， ；3. 10xyz1962yzzdzydx2ln24. ； 5. ji2586 )sico(*baxe6 ； 7. cos022)(dfd1,5)二、计算题（每小题 6 分共 12 分）（1） （2）)1(,2)1(,)()kxkxf
27、xs 51251zyx三 （10 分）解: 12zyf2112221223()()xxffffffxyyy四 （10 分）解：设 )9(2xyzxF则由 得 ，极值为902xyz0,3zy18五 （10 分）解：设 下侧，)4(:21y 4:;20: 22yxDyxz原式 Ddxyxz1138)cos2(020 d六 （10 分）解：设 L1为： 方向为从右向左),10(xy南京理工大学紫霞湖畔 BBS = ，2/0022 )cos(661 CosLD dddxy 415，I= =01L1L45七 （10 分）解: (1) ，级数是绝对收敛的。2|lim1ean(2)因为 是发散的。1)ln(
28、,)l(0又因 0lim,ln1ln所以 是条件收敛的。1)l()n八 （10 分）解: 特征方程为 ，齐次通解为 。092 xcy3sino21设特解形式为 ，解得： 。)3sinco(*xBAxyyo6*通解为 ci3s216所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效一、填空题：(20 分)1曲线 在 处的法平面方徎为_。tzytx2,sin,co42点( )到平面 的距离为_。, 103 设平面过点 .则平面方程为_。),(,(),14 已知 ,则 =_。xyzarctnz25 交换积分 的积分次序为_。10),(ydfd6 设 ： 则 =_ 。22azxSz27 函数 u=ln(x2
29、+y2+z2), 则 div(grad u)= 。南京理工大学紫霞湖畔 BBS 8 设函数 f (x)是以 为周期，f (x)= (- )，f (x)的 Fourier 级数为22x，则 b3= 。)sinco210nxba9 设函数 f (x)是以 为周期的奇函数，它的 Fourier 级数为，则级数 = 。si(10nn0na10 下列四个命题：（1）.若级数 发散，则级数 也发散；（2）.若级数124n105na发散，则级数 也发散；（3）.若级数 收敛，则级数 也收敛；1205na1206na1204n1205na（4）.若级数 收敛，则级数 也收敛。上述正确的命题是_。1205n12
30、06n二. （8 分）求函数 的极值，并指出是极大值，还是极小值。yxyf32),(三. （8 分）求级数 的收敛域和它的和函数。1n四. （8 分）计算 ，其中 是抛物线 上自点（0，0）到（1，1）的一段弧。Ldsy2xy五. （8 分）计算曲面积分 ,其中 是由锥面 与dyzxzdI 222yxz半球面 所围立体的表面外侧。2yxz六 （10 分）求下列方程的通解。1. ; 2. 2 xey七. （8 分）两个物体 A、B 的形状如图（一） ，体积相等，物体 A 是由抛物面（ ）2yxz和平面（ ）所围。物体 B 是柱体，它的母线平行于 轴，底面是由 所围的平1z z1,2y面区域，求柱
31、体 B 的高。南京理工大学紫霞湖畔 BBS 八. （5 分）设 有二阶连续导数， 为光滑的简单闭曲线 的外法向量（如图二） ， 为),(yxunLD围成的区域，有人利用切向量和外法向量的夹角的关系，以及格林公式，证明了如下结论：L。若你认为是正确的，请给出证明过程；若你认为是错误的，请dyxdsnDL)(2推理出正确的结论。九. （5 分）证明不等式： 。)1(4102exe xy tnO L南京理工大学紫霞湖畔 BBS 答案：一、1. . 2. 1。 3. .0242zyx 023zyx4. . 5. . 6. . 7. .2)(y102),(xdyf 43a228. . 9. 0. 10.
32、(3)3二、 ,驻点为 , , , .13,22yxfyxf )30(1P)(201(3P)4.由极值存在的充分条件知：yxfCffBfA 6, 2222 为极小值点， 为极大值点, 和 不取极值。)3,0(1P)3,0(2P)0,1(3P),(4三、 , 收敛域为（-1， 1） ，因为 .两边求导得 .R0nx12)(nx所以， , .21)(xn ),(四、 。125|)41402302 dx五、由高斯公式知： .2sinco4/0202 drrdzxdyI六、1.令 ,化简为一阶线性方程: ,解得: ,即 .py xp1xC12xy1.213Cx也可直接得出： ,即 ， , , y1)(
33、x1xy xCy12. 213xy2特征方程： ， ,所以齐次方程的通解为： ，设非齐0i、1 xcysino21次的特解形式为： .代入解得： .所以通解为：xeBAy)(*21B、Axcysino212南京理工大学紫霞湖畔 BBS 七、 , .2012dzdvVA DxB hdyhdxyV1234由 ，得 .B83h八、是不正确的（2 分） ，正确结果应为 。设从 x 轴正向到曲线dyuxdsnuDL)(2的切向量 （和曲线同向）方向和曲线的外法线方向 的转角分别为 。则总是有s 、, 而 ,（1 分）2 si,co,sin,co00 LLL dsyuxdyux、dsnu )coin()i
34、(= 。 （2 分）L 、GrendyxD)(2注：主要要清楚夹角和转角的区别，如果用和 x 轴的夹角可能会得 ，从而得出错误2结果，而在单位向量 这种表示中的 ，应是转角。此题若回答错误，但也推sin,co0s出该错误结果，可给 2 分;此题若回答正确，但推理错误或没有推理，也可给 2 分。九、 = =101010 22)( dyexdxe 2212DyxDyxdede012de.其中 , .4,:1D,0:2所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效一、填空题：(18 分)11 曲线 在相应于 点处的法平面方徎为 _。2,3,4tztytx1t12 点( )到平面 的距离为_。1, 04
35、6x13 过点( 且与平面 平行的平面方程为_。01257zy14 已知 ,则 , =_。)(sin2yxz_zyx南京理工大学紫霞湖畔 BBS 15 交换积分 的积分次序为_。10),(xdyf16 设 ： 则 =_ 。12zz dSz17 设向量场 , 则 div = 。kxyjyixA)()()( 22A18 设函数 f (x)是以 为周期，f (x)= (- )，f (x)的 Fourier 级数为，则 b2= 。sinco(210nba19 设函数 f (x)是以 为周期的偶函数，它的 Fourier 级数为，则级数 = 。si(10nnx0n二. （ 7 分）求函数 的极值，并指出
36、是极大值，还是1),(22yxyxf极小值。三. （8 分）求级数 的收敛域和它的和函数。0)1(nn四. （7 分）计算 ，其中 是抛物线 上自点（1，1）到（2，4）的一段Ldsxxy弧。五. （ 8 分）计算曲面积分 ,其中 是由柱dxydzdzxI )()()( 面 ，平面 及 所围立体的表面外侧。12yx0z3六 （10 分）求下列方程的通解。1. ; 2. xe xey234七. （8 分）一均匀物体 是由抛物面 及平面 所围成2xz1z1）求 的体积; 2）求 的质心。八. （7 分）设 , 表示不超过0,|),(2yyxD2yx的最大整数，计算二重积分 。2yxDdx12九.
37、（7 分）设 ，证明：2|,| nnnuwuv1）若级数 绝对收敛，则级数 收敛;1n 1nv南京理工大学紫霞湖畔 BBS 2）若级数 条件收敛，则级数 发散。1nu1nw一、1 2。 3。 4。054zy2zyxdx2210),(xdyf5 6.0 7. 8. 9. 402sin271co02sidrd 221zyx)(ln2cy110 .二、 ，设 ，令,2zyx),( 2xyzF，得驻点： ，可知在,FFzyx )0,1(,10, 距离为最小。)1,0(,三、 ， ，nb2)(20dxfa, ，20 1cos)(2nxfan nxnncos1)(21)0(四、 = 。Lyd348)(12
38、02dy五、令 ， =sincoryxLyx2401d六、特征方程： ，对应齐次通解： ，特解形式为i,012 xcysino21，代入解得： ，所以，方程通解：)sico(*xBAxy 0,2BA。cos2n21七、设圆锥面方程为： ，锥顶为坐标原点，高为 ，由对称性知 ，2yxazh0yx， ，2402azddvha 2302ahdzdvahhz43八、 cos)(cos)(cos)(1|),cos( 000 zyxrnr 南京理工大学紫霞湖畔 BBS =SdrnI2),cos( dSzyxrS cos)(cos)(cos)(10003 （高斯公式）)(1)()(1 030303 xydx
39、zrdzyyzxS九、由题意知 ，所以,ff，)10(,)21)(21)0()( 2 xfxxxf，所以绝对收敛。|21| nMfn2005 级高等数学（II ）试题(工科)A 卷一 选择题（每题 3 分，共 15 分）1 已知 ，且 ，则 （ ） 。2,ba2babA. 2 B. C. D. 12 下列哪一个条件成立时能够推出 在点 处可微，且全微分 ？（ ） 。),(yxf),(0y0dfA在点 两个偏导数 ；）（ 0,yx0yxB. 在点 的全增量 ；),(f）（ , 2xfC 在点 的全增量 ；),(yxf）（ 0, 2)sin(yfD 在点 的全增量 ；),(f）（ 0,y 221s
40、i)(yxxf 3设 是连续函数，则 （ ） 。,yxf xadyf0),A Badxf0),(ayxf,(C Dya x)04若级数 收敛，且 ，则 （ ） 。1nb1limnba1na南京理工大学紫霞湖畔 BBS A收敛 B。发散 C。收敛且其和与 的和相等 D。不一定收敛1nb5已知微分方程 的两个不相同的特解 和 ，则该方程的通解可以表0)(yxp)(xy2示为（ ） 。A B。 C。 D。21cy21c)(21c)(12yc二 填空题（每题 3 分，共 15 分）1 点（1，1，1）到平面 的距离（ ） 。0zyx2 函数 当 时的全微分（ ） 。)ln(2z2,13 设 L 为从点 A（1， ）沿曲线 到点 B（2，2）的弧段，则曲线积分xy（ ） 。L2dyx4 的收敛半径是（ ） 。112nn5 设 ， （ ）的傅立叶级数为 ，则2)(xfx10 )sinco(2nxba（ ） 。3b三（6 分） 求通过点 P（2， 1，1） ，Q（1，2，3）且垂直于平面 的平0653zyx面。四 （8 分）设 ，其中 f 具有二阶导数，求 。)(3xyfzyxz2五 (10 分) 求函数 的极值。
