1、264第 11 章有限长冲激响应数字滤波器的设计11.1 本章要点1、线性相位 FIR 数字滤波器的条件和特点（1）线性相位条件对于长度为 的 ，其频率响应函数为：N)(nh(11-1)10)()(NnnjjeheH(11-2)(jj式(11-2) 中， 称为幅频特性， 称为相位特性。)(H)(（ 为常数）称为第一类线性相位， 称为第二类线性相 0)(位。满足第一类线性相位的条件是： 是实序列且对 偶对称，即)(nh2/)1(Nn幅度函数： (11-3)102cos)()(NnhH相位函数： (11-4) 2满足第二类线性相位的条件是： 是实序列且对 奇对称，即)(h/)1(nNn幅度函数：
2、(11-5)102si)()(nhH相位函数： (11-6) )1（2）线性相位 FIR 数字滤波器的幅频特性情况 1. ， 为奇数, 幅度函数 关于 偶对称。可以)1()nNhn)(2,0实现所有滤波特性（低通、高通、带通、带阻） 。情况 2. ， 为偶数，幅度函数 关于 奇对称。当)()N)(H265时， 。可以实现低通、带通特性，不能实现高通和带阻特性。0)(H情况 3. ， 为奇数，幅度函数 在 处为零，且对1)(nNhn)(H2,0呈奇对称。此种情况只能实现带通特性。2,0情况 4. ， 为偶数，幅度函数 在 处为零，且对)()(,奇对称，对 偶对称。只能实现高通、带通特性，不能实现
3、低通和,带阻特性。（3）线性相位 FIR 数字滤波器零点分布特点第一类和第二类线性相位的系统函数可表示为(11-7)()(1)(zHzN如果 是 的零点，其倒数 也必然是其零点。同时，由于 是实序列，iz)(H1i )(nh的零点必定共轭对称，所以 和 也是其零点。)( *iz)(i2、FIR 数字滤波器网络结构FIR 数字滤波器可以用差分方程来描述，也可以用系统函数来描述。差分方程和系统函数的一般形式为：(11-8)10)()(Nmnfhny(11-9)10)()(nnzzHFIR 数字滤波器的实现结构有四种类型：直接型、级联型、线性相位型和频率采样型。（1）直接型结构根据式(11-8) 可
4、以直接画出 FIR 数字滤波器的结构图，如图 11-1 所示。很明显，这是输入 的延时链的横向结构，所以直接型结构也称为横向滤波器结构。又由于式(11-8)(nf是卷积和公式，直接型结构又称为卷积型结构。 f ny1z11z0hNh2h图 11-1 FIR 数字滤波器的直接型网络结构（2）级联型结构式(11-9) 可以分解为实系数二阶因子乘积的形式，即266(11-10)()()( 2121010 zznhzHkkNkN表示对 取整。分解后系统对应的结构图如图 11-2 所示。2Nnf ny1z 1z1z020N210222N图 11-2 FIR 数字滤波器的级联型网络结构（3）线性相位型结构
5、第一类线性相位 为偶数和奇数两种情况的结构图如图 11-3 所示。第二类线性相位N结构图如图 11-4 所示。 nfy1h012Nhz11z11N = 偶数nfy1h021Nh2z11z11N = 奇数图 11-3 第一类线性相位网络结构nfy1h012Nhz11z1N = 偶数nfy1h021z11z1N = 奇数2h图 11-4 第二类线性相位网络结构为偶数时，N267(11-11)12/0)1()()(NnnNnzhzH为奇数时，N(11-12)2/)1(12/)(0)1( NNnnNnzhzz性相位型结构比直接型结构节约近一半的乘法器。FIR 数字滤波器最大的优点是容易设计成线性相位特
6、性。在数字信号传输及图像处理中，要求系统具有线性相位特性。（4）频率采样型结构用频域采样序列 表示 的内插公式为：)(kH)(z(11-13)1012)(NkkjzeH令(11-14)Nz1)(11-15)112,2 )(zWkzekHNNjk则(11-16)()()(10,2zHk由式(11-16) 得到频率采样型结构如图 11-5 所示，它由两个网络级联组成：一个为梳状滤波网络 ，另一个为 个一阶网络 的并联结构。)(1zHN)(,2zknf ny0H1NHzNz10W1图 11-5 FIR 数字滤波器的频率采样结构3、窗函数法设计 FIR 数字滤波器（1）窗函数法设计步骤1）给定理想的频
7、率响应函数 。)(jdeH2）求出理想的单位冲激响应：268(11-17)deHnhnjdd)(21)(如果 很复杂或者不能按式(11-17)计算，则需要用求和代替积分。一般采用)(jdeHFFT 在计算机上实现。对 从 到 采样 点，令采样频率为)(jde0M1,2,2kMk则有(11-18)knMjjkdeHnh210)(频域的采样造成时域的周期延拓，延拓周期为 ，则有如下关系rdMnh)()(如果 选的较大，即 ，可以保证 有效逼近 。MN(nhd3）根据对过渡带宽度和阻带衰减的要求，选择窗函数的形状，并估计窗口长度 。原则N是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数。4）
8、求所设计的 FIR 数字滤波器的单位冲激响应 ：)(nh)(whnd1,0N如果要求线性相位，则要求 和 均对 对称。2/)(5）求所设计的滤波器的频率响应： 10)()(NnnjjeheH检验是否满足设计要求，如不满足，则需重新设计。（2）滤波器加窗后的频率特性与理想低通频率特性的比较对 加矩形窗处理后， 和 的差别有以下几点：)(nhd )()(d1）通带和阻带内产生了起伏振荡的波纹，其振荡幅度取决于最大旁瓣的相对幅度。2）在理想频率特性不连续点 附近形成过渡带，它主要是由窗函数幅度谱的主瓣引c起的，过渡带的宽度近似等于矩形窗幅度谱的主瓣宽度 。N4（3）六种常用窗函数的基本技术指标参数2
9、69表 11-1 归纳了六种窗函数的基本参数，可供设计时参考。由表可以看出，矩形窗具有最窄的主瓣，旁瓣峰值最大。汉宁窗和哈明窗的主瓣稍宽，但有较小的旁瓣，是常用的窗函数。布莱克曼窗主瓣最宽，但旁瓣峰值最小。表 11-1 六种窗函数的基本参数窗函数 旁瓣峰值幅度/dB 过渡带宽 阻带最小衰减/dB矩形窗 13 4/N 21三角形窗 25 8/N 25汉宁窗 31 8/N 44哈明窗 41 8/N 53布莱克曼窗 57 12/N 74凯泽窗(=7.865) 57 10/N 804、频率采样法设计 FIR 数字滤波器（1）频率采样设计法的理论基础设待设计的滤波器的频率响应用 表示，对它在 到 之间等
10、间隔采样)(jdeH02点，得到 ，N)(kHd(11-19)1,)()2NkeNjdd 再对 点 进行 IDFT，得到 ， )(kdnh(11-20)1,20,)(120 nekHnhNjNkd 式(11-20) 中， 作为所设计的滤波器的单位冲激响应，其系统函数 为 )( )(zH(11-21)10)()(Nnnzhz（2）频率采样法的设计步骤设理想低通为希望设计的滤波器，设计第一类线性相位 FIR 数字滤波器，截止频率为，采样点数为 ，设计步骤如下：cN1）计算 ；2Intkcc2）用下面的公式计算 和)(kH为奇数时，N270(11-22)1,20,1)(,0,)NkNkkHcc 为偶
11、数时，N(11-23)1,20,1)( ,0)(NkNkkHccc3）对 进行 IDFT，得到 ；)(kHnh4）对 进行 FT，计算频率响应 ，判断是否满足要求，若不满足则增加过渡采nh)(je样点数重新计算。5、切比雪夫逼近法设计 FIR 数字滤波器切比雪夫逼近法设计的滤波器呈现等波纹频率特性，所以称为等波纹逼近法。由于误差在整个频带均匀分布，对于同样阶数的滤波器，这种逼近法的最大误差最小，可以得到最优良的滤波特性。因此切比雪夫逼近法在 FIR 数字滤波器设计中得到广泛应用，有现成的设计程序。在建立基本概念的基础上，只需要正确调用程序，设置合适的参数即可得到滤波器系数。11.2 精选例题例
12、 1 已知 FIR 滤波器的单位冲激响应为 )4(12.0)3(1.0)2(7.0)1(3.)( nnnnnh 试画出其级联型结构。解：根据 得10)()(NnnzzH)4.01.()3.02.1( 27213zz其级联结构如例 1 解图所示。 nx ny1z1z1z1z110 . 20 . 30 . 10 . 4例 1 解图例 2 设 FIR 数字滤波器的单位冲激响应为271)4(2)3()1()2( nnnh（1） 该滤波器是否具有线性相位特性？若是，试画出线性相位型结构。（2） 试画出频率采样型结构，采样点数为 。为了简单，结构中可以使用复数乘法5N器。要求写出乘法器系数的计算公式。解：
13、（1） 满足 ， 为奇，所以具有线性相位，且为第一类。)(nh)1()nh滤波器的线性相位结构如例 2 解图(a)所示。（2）滤波器的频率采样型结构如例 2 解图(b)所示。滤波器乘法器系数计算公式为 4,3210,2)()( 58565405 keeenhkHjkjkjknj nx ny21z1z1z1z nx ny5z0 . 2 0H 1H1z 2H1z- 15W 3H1z- 25W 4H1z- 35W1z 5W(a) (b)例 2 解图例 3 已知线性相位 FIR 滤波器的部分零点为 。jzjz321,.0,（1）确定该滤波器的其它零点；（2）设 ，求该滤波器的系统函数 。1)0(h)(
14、H解：（1）根据 FIR 滤波器的零点分布特点可知（出现复数必共轭成对）jzjz*35*24,.每个零点的倒数亦为零点，所以 3510495382716 ,2,1,1,.0 zjzjzjzjzz 实际有 8 个零点，分别为 。2,5.0,jj（2）系统函数 为 )(zH)1()(8kkzA由 得 ，所以1)0(hA27287654321 5.2.1.35.01.5.6.2)( zzzzzH例 4 设计第一类线性相位 FIR 高通数字滤波器， 截止频率 ，阻带dBradc143最小衰减 ，过渡带宽度 。用窗函数法设计。dBs06解：根据设计要求， 必须取奇数（情况 1 可以设计任何滤波特性） 。
15、设计步骤如下：N（1）确定逼近理想高通频响函数 )(jdeHcjjd 0,（2）求 )(nhd )(sin)(sin)(12)(1)( dedeHcnjnjjdd cc其中 。/)1(N（3） 选择窗函数类型，估算窗函数长度 ：根据阻带最小衰减 ，查表选择NdBs50哈明窗。用哈明窗设计的滤波器过渡带宽度为 ，本题要求过渡带宽度/8，所以应满足 。但 必须取奇数，所以取16/12,/16/N。29N（4） 加窗计算 )()(nwhnd哈明窗表达式为 )(12cos46.05.)( nRNNHm将 代入，得3,6421,9cN )(128cos46.05.)64(sin)(sin)() nRnh
16、 （5）检验设计结果 )()(hFTeHj调用 Matlab 函数 fft。计算 的 1024 点 DFT，绘出幅频特性图，可知，满足设计要求。)(nh273例 5 用矩形窗设计线性相位低通滤波器，逼近滤波器频响函数 为)(jdeHccjjdeH0)(（1）求理想低通的单位冲激响应 ；nhd（2）求矩形窗设计法的 表达式，确定 与 之间的关系；)(N（3） 取奇数或偶数对滤波特性有什么影响？N解：（1） )(sin21)(21)( dedeHnh cnjnjdd c（2）为了满足线性相位条件，要求 ， 为矩形窗函数长度。加矩形窗函数得N到 其 它021,)(sin )()(si)()( NnR
17、Rhc NcNd （3） 取奇数时，幅频特性函数 关于 三点偶对称，可实现各类幅频特N)(H,0性； 取偶数时，幅频特性函数 关于 奇对称，即 ，所以不能实现0)(H高通和带阻滤波特性。例 6 试用频率采样法设计一个第一类 FIR 线性相位数字低通滤波器。已知 ，5.c，计算 以及 。51N)(kH、 )(je解：依题意，有 12ccNInt所以 kH510)(38,4, 12,0)() 将 和 代入式 计算 ，)(kH 1,20,)()(20 NneNnhkNjk )(nh274由式 计算 。10)()(NnnzhzH)(zH而 jezje 125 2sin512sin51sin)(kjj
18、kkH 11.3 习题精解1.令 ，3211 864.04.6.0)( zzzzH2 998试分别画出其直接型网络结构。解： 直接型结构分别如题 1 解图(a)和(b)所示。)(21z、 nx ny1z1z1z- 0 . 6- 0 . 4 1 40 . 8 6 4 nx ny1z1z1z- 0 . 9 80 . 9- 0 . 8 9 8( a )( b )题 1 解图2.用直接型和级联型网络实现系统函数 。)21)(34.1zzzH解： 3121 606)(34.() zzH系统函数的直接型结构如题 2 解图(a)，级联型结构如题 2 解图(b)。 nx ny1z1z1z0 . 60 . 26( a ) nx ny1z1z1z- 1 . 432( b )275题 2 解图3.已知 FIR 滤波器的单位冲激响应为 )4()1()(nnh试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数 ，要求画出频率采样网络结构，写出5N滤波器参数的计算公式。解：已知频率采样结构的公式为 101)()()kkNNzWHzH式中， ，5N 4,3210,1)()()()(5852401kennhDFTkjkj knNNkn它的频率采样结构如题 3 解图所示。 nx ny5z0 . 2 0H 1H1z 2H1z 3H1z- 25W 4H1z- 35W1z 5W- 15W05W题 3 解图
