1、5.2 平面向量的数量积及平面向量的应用,高考文数 (北京市专用),考点一 数量积的定义及长度、角度问题 1.(2015北京,6,5分,044)设a,b是非零向量.“ab=|a|b|”是“ab”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,A组 自主命题北京卷题组,五年高考,答案 A 设a与b的夹角为.因为ab=|a|b|cos =|a|b|,所以cos =1,即a与b的夹角为0,故a b;而当ab时,a与b的夹角为0或180,所以ab=|a|b|cos =|a|b|,所以“ab=|a|b|”是“a b”的充分而不必要条件,故选A.,2.(
2、2018北京,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a(ma-b),则m= .,答案 -1,解析 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算. a=(1,0),b=(-1,m),a2=1,ab=-1, 由a(ma-b)得a(ma-b)=0,即ma2-ab=0, 即m-(-1)=0,m=-1.,3.(2016北京,9,5分,0.76)已知向量a=(1, ),b=( ,1),则a与b夹角的大小为 .,答案,解析 cos= = = , a与b夹角的大小为 .,考点二 数量积的综合应用 1.(2017北京,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则 的最大
3、值为.,答案 6,解析 解法一: 表示 在 方向上的投影与| |的乘积,当P在B点时, 有最大 值,此时 =23=6.解法二:设P(x,y),则 =(2,0)(x+2,y)=2x+4,由题意知-1x1,x=1时, 取最大值6, 的最大值为6.,2.(2012北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则 的值为 ; 的最大值为 .,答案 1;1,解析 如图所示:以A点为原点,AB边所在直线为x轴,AD边所在直线为y轴建立直角坐标系,则正方形各顶点坐 标分别为A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(a,0),0a1. =(a,-1)(0,-1)=a
4、0+(-1)(-1)=1. =(a,-1)(1,0)=a+(-1)0=a1,故 的最大值为1.,考点一 数量积的定义及长度、角度问题 1.(2018课标全国,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)= ( ) A.4 B.3 C.2 D.0,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,答案 B 本题考查数量积的定义和运算. a(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.故选B.,解题关键 掌握数量积的运算是求解关键.,2.(2015课标,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2,答案 C 因为2
5、a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)a=(1,0)(1,-1)=11+0(-1)= 1.故选C.,3.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形, =(1,-2), = (2,1),则 = ( ) A.5 B.4 C.3 D.2,答案 A 四边形ABCD是平行四边形, = + =(3,-1), =23+1(-1)=5. 选A.,4.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若bc,则实数k的值等于 ( ) A.- B.- C. D.,答案 A c=a+kb=(1+k
6、,2+k).由bc,得bc=0,即1+k+2+k=0,解得k=- .故选A.,5.(2015重庆,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a(2a+b),则a与b的夹角为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 因为a(2a+b),所以a(2a+b)=0, 得到ab=-2|a|2,设a与b的夹角为,则cos = = =- ,又0,所以= ,故选C.,6.(2014课标,4,5分)设向量a,b满足|a+b|= ,|a-b|= ,则ab= ( ) A.1 B.2 C.3 D.5,答案 A |a+b|= ,a2+2ab+b2=10. 又|a-b|= , a2-2ab+b2=6. -,得
7、4ab=4,即ab=1,故选A.,7.(2014山东,7,5分)已知向量a=(1, ),b=(3,m).若向量a,b的夹角为 ,则实数m= ( ) A.2 B. C.0 D.-,答案 B a=(1, ),b=(3,m), |a|=2,|b|= ,ab=3+ m, 又a,b的夹角为 , =cos ,即 = , +m= ,解得m= .,8.(2014湖南,10,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0, ),C(3,0),动点D满足| |=1, 则| + + |的取值范围是 ( ) A.4,6 B. -1, +1 C.2 ,2 D. -1, +1,答案 D 由| |=1知,点D是
8、以C为圆心,1为半径的圆上的动点,设D(x,y),则(x-3)2+y2=1.| + |=|(x-1,y+ )|表示点D到点P(1,- )的距离,又| |= = ,因此 -1 | | +1,故选D.,评析 本题综合考查平面向量及其几何意义、点与圆的位置关系,同时考查数形结合的数学 思想方法.,9.(2015陕西,8,5分)对任意平面向量a,b,下列关系式中 的是 ( ) A.|ab|a|b| B.|a-b|a|-|b| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2,答案 B 设向量a,b的夹角为,因为ab=|a|b|cos ,所以|ab|=|a|b|cos |a|b|,A
9、成立;由向量 的运算律易知C,D成立.故选B.,10.(2016山东,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a(ta+b),则实数t的值为 .,答案 -5,解析 因为a(ta+b),所以a(ta+b)=0,即ta2+ab=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|= ,ab=16 +(-1)(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5.,方法总结 正确利用两向量垂直的充要条件是构造关于t的方程的前提.两非零向量a=(x1,y1) 与b=(x2,y2)垂直的充要条件为x1x2+y1y2=0.,评析 本题主要考查向量的数量积运算,向量的模以及两向量垂直的充
10、要条件等基础知识,考 查学生的运算求解能力以及方程思想的应用.,11.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1e2= .若平面向量b满足be1=be2=1,则|b|= .,答案,解析 令e1与e2的夹角为,e1e2=|e1|e2|cos =cos = ,又0180,=60.因为b(e1-e2)=0, 所以b与e1、e2的夹角均为30,从而|b|= = .,12.(2015天津,13,5分)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.点E和F分别 在线段BC和DC上,且 = , = ,则 的值为 .,答案,解析 解法一:由题意可知CD=1,AD=
11、BC=1,又因为 = , =2 ,所以 = ,在 ADF中, = + = + ,在梯形ABCD中, = + + =- + + =- +,在ABE中, = + = + = + = + ,所以 = = + + = 22+ 21 + 12= .解法二:以AB所在直线为x轴,A为原点建立如图所示的坐标系,由于AB=2,BC=1,ABC=60,所以CD=1,等腰梯形ABCD的高为 ,所以A(0,0),B(2,0),D,C ,所以 = , =(1,0),又因为 = , = ,所以E ,F,因此 = = + = + = .,评析 本题考查数量积的运算,向量共线的表示等基础知识,考查学生的运算求解能力和数形
12、结合思想的应用.,13.(2015湖北,11,5分)已知向量 ,| |=3,则 = .,答案 9,解析 = + , = ( + )= + =32+0=9.,14.(2014重庆,12,5分)已知向量a与b的夹角为60,且a=(-2,-6),|b|= ,则ab= .,13.(2015湖北,11,5分)已知向量 ,| |=3,则 = .,答案 9,解析 = + , = ( + )= + =32+0=9.,14.(2014重庆,12,5分)已知向量a与b的夹角为60,且a=(-2,-6),|b|= ,则ab= .,答案 10,解析 由a=(-2,-6),得|a|= =2 , ab=|a|b|cos=
13、2 cos 60=10.,考点二 数量积的综合应用 1.(2018天津,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,MON=120, =2 , =2 , 则 的值为 ( )A.-15 B.-9 C.-6 D.0,答案 C 本题考查向量的运算. 解法一:连接OA. = - =3 -3 =3( - )-3( - )=3( - ), =3( - ) =3( -| |2)=3(21cos 120-12)=3(-2)=-6.故选C. 解法二:在ABC中,不妨设A=90,取特殊情况ONAC,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分 别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,因为MON=120,ON
14、=2,OM=1,所以O ,C,M ,B . 故 = =- - =-6.故选C.,2.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为 ,向量b满足 b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是 ( ) A. -1 B. +1 C.2 D.2-,答案 A 本题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离. 设 =a, =b, =e,以O为原点, 的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0).不妨 设A点在第一象限,a与e的夹角为 ,点A在从原点出发,倾斜角为 ,且在第一象限内的射 线上.设B(x,y),由b2-4eb+3=0,得x
15、2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运动.而 = a-b,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2,0)到射线y= x(x0)的距 离减去圆的半径,|a-b|min= -1.选A.,一题多解 将b2-4eb+3=0转化为b2-4eb+3e2=0, 即(b-e)(b-3e)=0,(b-e)(b-3e). 设 =e, =a, =b, =3e, =2e,则 , 点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动,如图.|a-b|=| |,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心M到射线OA的距离 减去圆的半径. | |=2
16、,AOM= ,|a-b|min=2sin -1= -1.,3.(2016天津,7,5分)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE=2EF,则 的值为 ( ) A.- B. C. D.,答案 B 建立如图所示的平面直角坐标系.则B ,C ,A ,所以 =(1,0). 易知DE= AC,FEC=ACE=60,则EF= AC= ,所以点F的坐标为 , 所以 = , 所以 = (1,0)= .故选B.,疑难突破 利用公式ab=|a|b|cos求解十分困难,可以考虑建立适当的平面直角坐标系, 利用坐标运算求解.确定点F的坐标是解题的关键.,评析
17、 本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积,考查运算求解能力和数形结合思想.,4.(2014安徽,10,5分)设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排 列而成.若x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为 ( ) A. B. C. D.0,答案 B aa=|a|2,bb=|b|2=4|a|2,设a与b的夹角为,则ab=|a|b|cos =2|a|2cos . 若xiyi(i=1,2,3,4)中2个a均与a相乘,则x1y1+x2y2+x3y3+x4y4=a2+a2+b2+b2=1
18、0|a|2;若xiyi(i=1,2,3,4)中 仅有一个a与a相乘,则x1y1+x2y2+x3y3+x4y4=a2+b2+2ab=5|a|2+4|a|2cos ;若xiyi(i=1,2,3,4)中的a均 不与a相乘,则x1y1+x2y2+x3y3+x4y4=4ab=8|a|2cos .由5|a|24|a|2cos 得5|a|2+4|a|2cos 8|a|2cos , 即x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为8|a|2cos ,依题意得8|a|2cos =4|a|2,从而cos = ,又0,故= ,选B.,评析 本题考查平面向量的数量积,同时考查分析问题、解决问题的能力.
19、解题时能分析出所 有情况是解题的关键.,5.(2017课标全国,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m= .,答案 7,解析 解法一:a=(-1,2),b=(m,1), a+b=(m-1,3),(a+b)a, (a+b)a=-(m-1)+6=0,解得m=7. 解法二:由已知可得(a+b)a=aa+ba=1+4-m+2=0,解得m=7. 解法三:如图,设a= ,b= ,a+b= ,由于向量a+b与a垂直,可知COB为直角三角形,故|a|2+|a +b|2=|b|2,即1+4+(m-1)2+32=m2+1,解得m=7.,6.(2017课标全国,13,5分)
20、已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m= .,答案 2,解析 ab,ab=0,又a=(-2,3),b=(3,m),-6+3m=0,解得m=2.,7.(2017天津,14,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若 =2 , = - (R),且 =-4,则的值为 .,答案,解析 本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积运算. 由 =2 得 = + , 所以 = ( - )= - + - , 又 =32cos 60=3, =9, =4, 所以 =-3+ -2= -5=-4,解得= .,思路分析 根据 =2 得 = + ,利用 =-4以及向量的数量积建立关于的 方程,从而求得
21、的值.,一题多解 以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2,A= 60,所以B(3,0),C(1, ),又 =2 ,所以D ,所以 = ,而 = - =(1,)-(3,0)=(-3, ),因此 = (-3)+ = -5=-4,解得= .,8.(2015安徽,15,5分)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足 =2a, =2a+b,则下 列结论中正确的是 .(写出所有正确结论的编号) a为单位向量; b为单位向量; ab; b ; (4a+b) .,答案 ,解析 =2a,| |=2,2|a|=2,|a|=1,故正确. 由 = - =2a+b-2a
22、=b,知正确, 又|b|=| |=2,故不正确. 由ab= = 22 =-1,知不正确. 由(4a+b) =(2 + ) =2 + =222 +4=0,知正确.综上,结论正确的是 .,9.(2014天津,13,5分)已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3 BE,DC=DF.若 =1,则的值为 .,答案 2,解析 如图, = + = + , = + = + = + ,所以 = = + 2+ 2= 22cos 120+ + =1,解得= 2.,10.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(
23、x,y)在ABC三边 围成的区域(含边界)上,且 =m +n (m,nR). (1)若m=n= ,求| |; (2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.,解析 (1)m=n= , =(1,2), =(2,1), = (1,2)+ (2,1)=(2,2), | |= =2 . (2) =m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n), 两式相减,得m-n=y-x. 令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.,评析 本题考查向量的坐标运算、向量的模及简单的线性规划等基础知识,考查灵活运用知 识处理问题及运算求解的能力.第(2)问中,将求
24、m-n的最大值转化为简单的线性规划问题是解 题的关键.,考点 数量积的综合应用 1.(2017浙江,10,5分)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于 点O.记I1= ,I2= ,I3= ,则 ( )A.I1I2I3 B.I1I3I2 C.I3I1I2 D.I2I1I3,C组 教师专用题组,答案 C 解法一:因为AB=BC,ABBC,BCO=45.过B作BEAC于E,则EBC=45.因为 AD45,又BCO=45, BOC为锐角. 从而AOB为钝角,所以DOC为钝角.故I10. 又OA1), =-2 (21), 从而I3= =12 =12I1,
25、又121,I10,I3I10,I3I1I2.故选C.解法二:如图,建立直角坐标系,则B(0,0),A(0,2),C(2,0).,2.(2016课标,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且ab,则x= .,答案 -,解析 因为ab,所以x+2(x+1)=0,解得x=- .,易错警示 混淆两向量平行与垂直的条件是造成失分的主要原因.,3.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量 , , 的模分别为1,1, , 与 的夹角 为,且tan =7, 与 的夹角为45.若 =m +n (m,nR),则m+n= .,答案 3,解析 本题考查平面向量基本定理及其应用,平面向量的
26、夹角及其应用等知识. 解法一:tan =7,0, cos = ,sin = , 与 的夹角为, = , =m +n ,| |=| |=1,| |= , = , 又 与 的夹角为45, = = , 又cosAOB=cos(45+)=cos cos 45-sin sin 45 = - =- ,考点一 数量积的定义及长度、角度问题 1.(2018北京顺义二模,7)向量a,b在正方形网格中的位置如图所示,则ab等于 ( )A. B.1 C.-1 D.-2,三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,答案 D 由题图可知,a=(-1,1),b=(-1,-3), 则ab=1-3=-2,故选D.,2
27、.(2018北京石景山一模,5)已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120,若(a+mb)a,则 实数m的值为 ( ) A.1 B. C.2 D.3,答案 D 因为|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120, 所以ab=|a|b|cos 120=32 =-3, 因为(a+mb)a, 所以(a+mb)a=a2+mab=32-3m=0,解得m=3,故选D.,3.(2017北京西城期末,6)设a,b是非零向量,且ab.则“|a|=|b|”是“(a+b)(a-b)”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 C 若(a
28、+b)(a-b),则(a+b)(a-b)=0,即|a|2=|b|2,即|a|=|b|; 反之,若|a|=|b|,则(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2=0,即(a+b)(a-b).故“|a|=|b|”是“(a+b)(a-b)”的充要 条件. 故选C.,4.(2016北京朝阳一模,3)已知非零平面向量a,b,“|a+b|=|a-b|”是“ab”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 C a,b是非零向量,若|a+b|=|a-b|, 则(a+b)2=(a-b)2. |a|2+2ab+|b|2=|a|2-2ab+|b|2. 4ab
29、=0.ab=0. ab,故充分性成立. 反之,a,b是非零向量,若ab,则可构造矩形ABCD.如图. 设 =b, =a. 则a+b= ,a-b= . |a+b|=| |,|a-b|=| |.,又| |=| |, |a+b|=|a-b|.故必要性成立. 综上,“|a+b|=|a-b|”是“ab”的充分必要条件.,5.(2018北京西城期末,11)向量a,b在正方形网格中的位置如图所示.如果小正方形网格的边长 为1,那么ab= .,答案 4,解析 由题图可知,|a|=2,|b|= ,cos= ,所以ab=|a|b|cos=2 =4,故答案 为4.,6.(2017北京朝阳二模,11)已知平面向量a,
30、b满足(a+b)(2a-b)=-4,且|a|=2,|b|=4,则a与b的夹角等 于 .,答案,解析 (a+b)(2a-b)=2|a|2+ab-|b|2=-4, 则ab=-4-2|a|2+|b|2=4. 设a与b的夹角为,0,. cos = = . = .,7.(2017北京东城期末,11)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=5,b=7,c=8,则 等于.,答案 44,解析 由a=5,b=7,c=8, 得cos A= = = . =bccos A=78 =44.,8.(2016北京朝阳二模,10)已知向量a=(1,2),向量b=(2,m),若a+b与a垂直,则实数m的值为 .,答
31、案 -,解析 a=(1,2),b=(2,m), a+b=(3,2+m). a+b与a垂直,(a+b)a=0. 3+2(2+m)=0. m=- .,9.(2016北京丰台一模,11)在ABC中,AB=4,AC=3,CAB=90,则 = .,答案 16,解析 在ABC中,AB=4,AC=3,CAB=90, BC=5,cosABC= . =| | |cosABC=45 =16.,考点二 数量积的综合应用 1.(2018北京海淀期末,7)在ABC中,AB=AC=1,D是AC的中点,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 A =( + ) = + . 设BC=x,BCD=,则 =- co
32、s , 在ABC中,由余弦定理得cos = = , 则 = . 易知x(0,2),代入上式得到结果为 .故选A.,点睛方法 本题考查向量基本定理的应用;向量数量积运算.解决向量的小题常用方法有:数形 结合法,向量的三角形法则,平行四边形法则等;建系将向量坐标化;向量基底化,选基底时一般 选择已知大小和方向的向量为基底.,2.(2018北京朝阳二模,6)如图,角,均以Ox为始边,终边与单位圆O分别交于点A,B,则 =( )A.sin(-) B.sin(+) C.cos(-) D.cos(+),答案 C =| | |cos =11cos(-)=cos(-)=cos(-).故选C.,3.(2017北
33、京东城二模,2)已知向量a=(1,2),b=(x,4),且ab,那么x的值为 ( ) A.-2 B.-4 C.-8 D.-16,答案 C a=(1,2),b=(x,4)且ab, x+8=0,x=-8.,4.(2017北京朝阳期中,6)已知三角形ABC外接圆的半径为1(O为圆心),且 + =0,| |=2| |,则 等于 ( ) A.- B.- C. D.,答案 A 三角形ABC外接圆的半径为1(O为圆心),且 + =0, O为BC的中点,BC为圆O的直径,故ABC是直角三角形,BAC为直角,OA=OC=1. 又| |=2| |,| |= , | |=2,| |= , cos C= = = .
34、=- =- 2 =- . 故选A.,5.(2016北京石景山一模,4)如图所示,已知正方形ABCD的边长为1,点E从D点出发,按字母顺序 DABC沿线段DA,AB,BC运动到C点,在此过程中, 的最大值是 ( )A.0 B. C.1 D.-1,答案 A 建系,如图. 则B(0,0),C(1,0),D(1,1),A(0,1). 设E(x,y)(0x1,0y1). =(x-1,y-1), =(0,1), =y-1(0y1). 当y=1时, 有最大值,为0.,考点一 数量积的定义及长度、角度问题 1.(2017北京海淀期中,6)设a,b是两个向量,则“|a+b|a-b|”是“ab0”的 ( ) A.
35、充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,B组 20162018年高考模拟综合题组,答案 C |a+b|a-b|等价于|a+b|2|a-b|2, 即|a|2+|b|2+2ab|a|2+|b|2-2ab, 则4ab0,则ab0, 反之,也成立,故选C.,思路分析 将|a+b|a-b|等价转化为|a+b|2|a-b|2,进一步化简,结合数量积的定义判断即可.,2.(2016北京西城一模,5)在平面直角坐标系xOy中,向量 =(-1,2), =(2,m),若O,A,B三点能构 成三角形,则 ( ) A.m=-4 B.m-4 C.m1 D.mR,答案 B =(
36、-1,2), =(2,m), 若O,A,B三点能构成三角形, 则 与 不能共线,即 . m-4.故选B.,解后反思 “O,A,B三点能构成三角形”等价于“O,A,B三点不共线”,进而转化成“ 与不能共线”是解题关键.,3.(2018北京海淀二模,10)已知平面向量a,b的夹角为 ,且满足|a|=2,|b|=1,则ab= ,|a+2 b|= .,答案 1;2,解析 ab=|a|b|cos=21 =1. |a+2b|= = = =2 .,4.(2017北京东城一模,13)已知ABC中,A=120,且AB=AC=2,那么BC= , = .,答案 2 ;-6,解析 ABC中,A=120,且AB=AC=
37、2, 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=22+22-222cos 120=12. BC=2 . =( - )(- )=- + =-22+22cos 120=-6.,思路分析 利用余弦定理求出BC,根据向量数量积求出 的值.,5.(2016北京西城二模,10)设平面向量a,b满足|a|=|b|=2,a(a+b)=7,则向量a,b夹角的余弦值为 .,答案,解析 |a|=|b|=2,且a(a+b)=7, aa+ab=7. |a|2+|a|b|cos=7. 4+4cos=7. cos= .,考点二 数量积的综合应用 1.(2016北京朝阳期中,7)在ABC中,已知 =4,| |
38、=3,M,N分别是BC边上的三等分点,则 的值是 ( ) A.5 B. C.6 D.8,答案 C 解法一:如图,设BC的中点为O,连接AO.由 =4,| |=3, 可得( + )( + )=( + )( - )= - = - =4, = . =( + )( + )=( + )( - )= - = - =6. 故选C. 解法二:| |=3,| - |2=9. + -2 =9,又 =4, + =17.,又 = + = + ( - )= + ,= + = + ( - )= + , = = ( + )+ = + =6.,2.(2018北京丰台一模,14)已知C是平面ABD上一点,ABAD,CB=CD=
39、1. (1)若 =3 ,则 = ; (2)若 = + ,则| |的最大值为 .,答案 (1)- (2)2,解析 (1)因为 =3 ,所以C为线段AB的三等分点, 因为CB=CD=1,所以AB= ,AC= ,如图所示,则 = ( - )= - =0- cos 0=- . (2)因为 = + , 所以| |=| + |= = = =| |,如图所示,当点C是线段BD的中点时,BD取得最大值, 此时BD=BC+CD=2,所以| |的最大值为2.,点睛方法 本题考查了平面向量的线性运算法则和向量的数量积的运算,对于平面向量的计 算问题,往往有两种形式:一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公
40、式,涉及几 何图形的问题,建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的作用,利用向量夹角公式、模公 式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长度问题及垂直问题转化为向量的数量 积来解决.,3.(2017北京海淀二模,13)已知O为原点,点P为直线2x+y-2=0上的任意一点,非零向量a=(m,n).若 a恒为定值,则 = .,答案 2,解析 设点P(t,2-2t),则 =(t,2-2t),所以 a=tm+(2-2t)n. 设 a=,则=tm+(2-2t)n,(m-2n)t+2n=, 当m-2n=0时, a恒为定值,此时 =2.,思路分析 设P(t,2-2t), a=,则=(m-2n)t+2n, 根据为定值,可得m-2n=0,得解.,方法点拨 本题重在理解“定值”,是定值则不是变量,故与变量t无关,从而可得t的系数为0.,
