1、盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组1数列通项与求和一求数列通项公式1定义法（等差数列通项公式； 等比数列通项公式。 ）例等差数列 是递增数列，前 n 项和为 ，且 成等比数列， 求数列 的通项nanS931,a25aSn公式答案： 35n2公式法：已知 （即 ）求 ，用作差法：nS12()naf na1,()2nnaS例设正整数数列 前 n 项和为 ，满足 ，求nS214nn答案： 21na3作商法：已知 求 ，用作商法： 。12()naf na(1),2)nfan如数列 中， 对所有的 都有 ，则 ；n,122321n 53答案： 64累加法：若 求 ： 1a
2、(2)n。1()nafna122()()()nnaa例已知数列，且 a1=2，a n+1=an+n，求 an答案：24n5累乘法：已知 求 ，用累乘法：1()nfana121naa ()n例已知数列 满足 ， ，求 。n321n1答案： 236已知递推关系求 ，用构造法（构造等差等比数列） 。na（1）形如 只需构造数列 ，消去 带来的差异其中 有多种不同形式fpn1 nbf nf 为常数，即递推公式为 （其中 p， q 均为常数， ） 。f pan1 )01(pq盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组2解法：转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。)(
3、1taptnn pqt1例 已知数列 中， ， ，求 n1321nna答案： 123na 为一次多项式，即递推公式为f srpann1例设数列 ： ，求 na)2(,3,411 n na答案： 63 为 的二次式，则可设 ；)(f CBAabn2（2）递推公式为 （其中 p，q 均为常数， ） 。 （或 ，nnpa1 )01)(qp1nnaprq其中 p，q， r 均为常数）解法：该类型复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得：1nqnn1引入辅助数列 （其中 ） ，得： 再应用类型（1）的方法解决。nbnqaqbpnn1例已知数列 中， ， ，求 。na6511)2(3nn na答
4、案： 3()2()（3）递推公式为 （其中 p，q 均为常数） 。nnap1解法：先把原递推公式转化为 其中 s，t 满足 ，再应用前面类型)(112nnatsqtp（2）的方法求解。例 已知数列 中， ， ， ，求 。na12annn321a答案： 73()4n7 形如 或 的递推数列都可以用倒数法求通项。1nkab11nnk-=例 ,31n盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组3答案： 132na8.利用平方法、开平方法构造等差数列例 1数列 的各项均为正数，且满足 ， ，求 。n 121nnaa2na答案： 2(1)a例 2已知 ，求：2()fxx（1） ；（
5、2）设 ，求 。1()f 11,()nnafaNna答案：（1） （2）12()(0)fxx1n9 型rnnap1该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项。两边取对数得 )lg(l1rnnapl设 原等式变为 即变为基本型。nbl prbnlg1例已知 ，求其通项公式。3,2211naa答案： ()nn练习：1.已知 且 ，求1a112nnan答案： ()n2.已知 且 ，求131nn答案： 52na3.已知数列 中， ，前 项和 与 的关系是 ，试求通项公式 。31nnSannaS)12(na盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中
6、部数学学科组4解：当 n=1 时,有：S 1=a1=2a1+(-1) a1=1；当 n=2 时,有：S 2=a1+a2=2a2+(-1)2 a2=0； 当 n=3 时,有：S 3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3 a3=2；综上可知 a1=1,a2=0,a3=2；由已知得： 111()2()nnnnS化简得： ()上式可化为： 112()33nnnaa故数列 (1)是以 为首项, 公比为 2 的等比数列.故 2nn 12()(1)3nnnA数列 a的通项公式为： 3na.4.设数列 满足 ， 求数列 的通项；n2113n*Nna解：由 an1得 an1则 1232n1nn a)()()()
7、(a 1)n(2)1( 1)( 所以数列 a的通项公式为 2na5. 已知二次函数 ()yfx的图像经过坐标原点，其导函数为 ()62fx，数列 na的前 n 项和为 nS，点 (,)nSN均在函数 ()f的图像上求数列 na的通项公式；解：因为 )2(a)1n(a32a1n 所以 n1321n 所以 式式得 n1naa则 )2()(an1n盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组5则 )2n(1an所以 232n1naa 22!4)( 由 )n(a)1(a3a21n ，取 n=2 得 212a，则 1a，又知 1，则2，代入得 2!5n6. 已知数列 a满足 n13
8、a， a1，求数列 an的通项公式。已知 ，求通项 annn3,11答案： 1()27. 已知数列 an满足 3a12an1n， ，求数列 an的通项公式。答案： 38.已知 且 ，求111nnSn答案： (3)na9.已知数列 n满足 3a12a3n1n， ，求数列 an的通项公式。答案： (2)a10.已知数列 n满足 ， 7a1，求数列 an的通项公式。41n答案：143(7)nna11.已知数列a n的首项 a1= ，a n+1= ，n=1，2，求a n的通项公式；5n3+1答案： 32na盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组612.设数列 满足 且 ，求
9、na101nnana答案： 2n13.已知等比数列 ， ，等差数列 （ ）中， 为 中连续的三项，求nb1n0d2514,anbnb答案： 13n14.已知各项为正数的数列 满足 ，求na22311()nn答案： 21na15.已知 ，且 ，求13nnSn答案： 2,na16.已知 且 ，求11nnan答案：2na17已知 ，求通项 annn3,11答案：2na18.已知 是首项为 1，公差为 的等差数列，且 。b4312nnaab（1）求证： 也是等差数列；n（2）若 ，123456478910.,cacaca如此构成数列 ，求数列 的通项公式。nn答案： 3()cN二数列求和1 公式法：等
10、差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1 的关系，必要时需分类讨论 ；常用公式：， ，123()2n 22()2nn 3332(1)12n盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组7例已知 ，求 的前 n 项和.3log1l23x nxx32答案： nnS2分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和 例 2 求数列的前 n 项和： ，231,7,412naa答案：123naS3倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序
11、相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和公式的推导方n法） 例 3求 的值 89sini3sin2i1sin 222 答案： 4.5S4错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 和公式的推导方法） n例 4 求和： 132)2(7531n xxS例 5求数列 前 n 项的和,624,答案： 1nn5裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有： ； ；1()1nn1()()knk ， ；2(kk 211()()kk ； ；11()2()(2)
12、nnn()!()!n盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组8 2122(1) (1)1n nnn例 6求数列 的前 n 项和,32,1答案： nS例 7在数列a n中， ，又 ，求数列b n的前 n 项的和11nan 12nnab答案： 81nS6通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。例 8 求 之和1个n答案：1098nS三能力综合1数列a n的通项公式为 an= ，已知前 m 项和 Sm=9，则 m 为( ) 1+A 99 B98 C10 D9 2数列 1，1+2，l+2+2 2，1+2+2 2+2n-1 前 n 项和等于( ) A
13、2 n+1-n B2 n C2 n-n D2 n+1-n-23数列 的首项为 3， 为等差数列且 ，若 ，则 （ nab1()baN310,b8a）A0 B3 C8 D114设数列 满足 且 。na101nna（1）求 的通项公式；（2）设 ，记 ，证明：n 1nb1nkSb1nS盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组95如果 f(x+y)=f(x)f(y)，且 f(1)=-2，则 等于 (1)3(5)(207)2468fff答案：-5026设数列a n的前 n 项和为 Sn=2n2，b n为等比数列，且 a1=b1，b 2（a 2-a1）=b 1(l)求数列a n
14、和b n的通项公式；(2)设 cn= ，求数列c n的前 n 项和 Tnab答案：（1） （2）14,nnb(65)49nn7求满足下列条件的数列 的通项公式。a（1）已知 满足 ，求 ；na112,4n na（2）已知 满足 ，且 ，求 。3n3答案：（1） （2）4na2na8求下面各数列的前 n 项和。（1） ； （2）1,3579 11,32456盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组109设函数 的定义域为 N+，且满足 ， ，求 。()fn()()fmnffnm(1)f()fn10设正值数列 的前 n 项和为 ，满足ans2)1(na（1）求 ， ，12
15、3（2）求出数列 的通项公式(写出推导过程)na（3）设 求数列 的前 n 项和n1bbT答案：（1） ；（2） ；（ 3）23,5a1na21nT11已知数列a n：a 1，a 2，a 3，a n，构造一个新数列：a 1，(a 2 a1)， （a 3-a2） ， （a n-an-1），此数列是首项为 1，公比为 的等比数列(l)求数列a n的通项； (2)求数到a n的前 n 项和 Sn盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组1112已知数列a n的首项 a1= ， ，n=1，2， 231nna(1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的前 n 项和 Snnna
16、13 （2012 大连一模）已知各项均为正数的数列 满足 111, 0nnaa。n（1）求证：数列 1na是等差数列，并求数列 n的通项公式；（2）求数列 2n前 n 项和 nS。答案：（1） （2）1()nS14 （2012 东三省第一次联考）数列 na前 n 项和 nS，且 3(1)2na，数列 nb满足盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组1213(2)4nbn，且 13b。（1）求数列 a与 的通项公式；（2）设数列 nc满足 2log(1)nnab，其前 n 项和为 nT，求nT。答案：（1） ；（2）3,41nnab1(52)35nnT15 （2012 东三省第三次联考）数列 满足 ，且na*1(,2)nnaN1a（1）求数列 的通项公式；（2）令 ，当数列 为递增数列时，求正实数 的取值范nanbnb围。答案：（1） （2）21()nn
