1、代数方程、部分一阶常微分方程和一阶拟线性偏微分方程的增解与遗解问题田 云（西北师范大学 数学与信息科学学院, 甘肃 兰州 730070）摘 要：讨论代数方程、部分一阶常微分方程和一阶拟线性偏微分方程的增解与遗解问题.关键词: 方程; 增解; 遗解中图分类号:O175.1Extraneous solution and of algebraic equations，parts of the first order differential equations and the first order quasi-linear partial differential equationsTIAN Yu
2、n(College of Mathematics and Information Science, Northwest Normal University, Lanzhou 730070, Gansu, China)Abstract: Extraneous solution and problems have been discussed for algebraic equations, parts of the first order differential equations and the first order quasi-linear partial differential eq
3、uations Key words: Equation; extraneous solution; Decreasing root在解代数方程、部分一阶常微分方程和一阶拟线性偏微分方程时，由于方程要进行某些非恒等变形，导致未知函数（变量）的取值范围扩大或缩小，从而产生增解和遗解的问题. 在本文中，通过归纳总结并举例的形式，讨论这些方程的增解与遗解现象，并对其原因进行了分析探讨.一、 代数方程的增解与遗解的问题当一个代数方程确定以后, 未知量的取值范围也就确定了. 在方程变形中若新方程的未知量取值范围扩大了就可能引起增解, 反之引起遗解. 方程两边同乘以含有未知量的因式时, 会使原方程产生增解;
4、 方程两边同除以含有未知量的因式时,会使原方程产生遗解. 为此, 当方程两边不得不乘以或除以一个含有未知量的因式时, 就必须验根 . 使所乘因式为零的未知量可能为增解, 使所除因式为零的未知量可能为遗解.熟知代数方程包括整式方程，分式方程和无理方程6，下面分别对这几类方程讨论其增解或遗解现象，并分析导致这些现象的原因.1 整式方程整式方程分为三类，一元一次方程、一元二次方程和高次方程.我们知道一元一次方程、一元二次方程不存在增解与遗解，而解高次方程的一般指导思想是转化思想，即通过因式分解或换元，把高次方程转化为一元一次或一元二次方程求解. 因此，高此方程也不存在增解与遗解. 进而整式方程不存在
5、增解与遗解.2 分式方程解分式方程的一般方法是去分母, 在分式方程两边同时乘以各分式的最简公分母(即两边乘以含未知量的因式) 约去分母 , 使分式方程转化为整式方程 . 因为当最简公分母等于零时, 这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的量 , 所得方程与原方程同解), 这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解. 因此,解分式方程时, 必须将整式方程得到的解代入原方程进行检验. 为了简便, 可把解得的根直接代入最简公分母中检验, 如果最简公分母不等于零 , 它就是原方程的根 ; 如果最简公分母等于 , 它就是原方程的增解, 必须舍去.【例 1】 解方程 962196
6、22 xx.解 原方程等价于 )3()3()(2xx.方程两边同乘以最简公分母 ，得 )(2)(，整理, 得 0152x，解得 51x, 32.检验，把 1代入最简公分母，即当 1时，0 )35()(2)3()；而当 32x时最简公分母 22x为 0, 所以， 5x是原方程的根，而是增解.结论：分式方程只存在遗解问题，而无增解问题.3 无理方程解无理方程的一般解法是适当移项, 两边同次乘方; 化去根号最后使无理方理转化为有理方程. 因为两边乘方相当于两边同乘以含有未知量的因式, 故可能使未知量取值范围扩大, 故有产生增解的可能, 所以解无理方程要验根.【例 2】 解方程 8)8(2)1( xx
7、x.解 原方程可变形为 06)()( ，即 882xx，用十字相乘法, 得 02)(3)( ，此方程可化为两个简单方程 8x, （1.1） 02, （1.2）由方程（1.1）可得 361x，由方程（ 1.2）可得 12x.检验, 把 1代入原方程, 左边=0, 右边= 3867, 左边 右边；把2x代入原方程式, 左边= 294, 右边=2, 左边=右边. 所以， x=1 是原方程的根, 36是增解. 有些无理方程还可用某些特殊方法, 如当经过整理的方程满足 dcba的形式时, 即可使用合分比定理推出 dcba成立, 从而得到一个较为简单的无理方程求解, 故可能使未知量取值范围缩小, 就可能有
8、遗解产生.【例 3 】 解方程 245252xx.解 由合分比定理, 得 , 故 45，解得 3x.在原方程中 x可以等于 2, 但使用合分比定理后所得方程中 2x, 因此方程可能会遗解, 要检验. 当 2x时, 原方程左边 1, 右边 , 左边 右边, 因此 2x也是原方程的根.形如 )()(22agf0 的方程的一般解法是, 两边同时开方. 因为两边开方相当于两边同除以含有未知量的因式, 故可能使未知量取值范围缩小, 故有可能产生遗解, 所以解此类方程必须验根.【例 4】 解方程 22)54(9)3(xx.解 原方程两边开方得 ，解得 913x.因为 )54(32xx, 17也是原方程的一
9、个根, 因此原方程的根应该为 913x, 57.结论：无理方程既存在遗解问题，也存在增解问题.由于代数方程的主要问题之一是求方程的根, 与此类似, 常微分方程1的主要问题之一是求方程的解. 在2中，我们知道解常微分方程的最基本最常用的方法是初等积分法, 但是在用初等积分法求常微分方程的解时, 经常要进行乘、除某些因子的变换, 因此可能产生增解或遗解.初等积分法包括变量可分离方程、齐次方程、一阶线性方程和全微分方程的解法. 4 一阶微分方程 0),(),(dyxNyxM (1)当 ,时, 称 0),(),(dyxN为全微分方程, 即可解, 不存在增解与遗解.(2)当 xyNy),(),(时, 若
10、存在连续可微函数 ),(yxu或 时, 使得uxMyu,),(, 则方程0)(, dyxd为全微分方程 , 即可解. 一般而论, 当0)(yxu时, 原方程产生增解; 当 ,u时, 原方程会产生遗解.例 11 解方程 )(223y.解 把方程改写为 02)(3dyxydx, 前一组有积分因子 31y和通积分c2, 因而它有更一般的积分因子)(123yx; 后一组有积分因子 2x和通积分 , 因而有更一般的积分因子)(2x. 为使关系式)(123yx)(12y成立, 可取 xy21)(, y1)(. 于是即得原方程的积分因子 xu2,. 0|)(ln2)(2)(12232 ydxydxydyxd
11、y，积分, 即得 cxy2|ln，此外, 0x和 也是原方程的根，由于原方程两端同乘了积分因子yxu21)(而遗失了.注: 此题求积分因子的方法在3中讲过.例 12 解方程 0122duxy. 解 方程两端同乘以积分因子 )1(),(2yxy，得)(22， 即 0)(2dyxdyx，31)(，两端积分得 cyxy3. 由于积分因子 0),(u使得原方程产生了增解 1,yx.综合上述两种情况，在求解过程中，当 0),(u时，会导致原方程产生增解；当),(yxu时，会导致原方程产生遗解.三 一阶拟线性偏微分方程的增解与遗解问题在2中讲到, 从理论上看, 求解一阶线性或拟线性偏微分方程完全等价于求解
12、一阶常微分方程组.下面我们来看一阶拟线性偏微分方程（限于两个自变量） xzyP),( ),(),(zyxRzyQ(6)的求解方法以及它的遗解问题. 为此,我们试求(6)的隐函数形式的解 0V, 根据隐函数求微商的法则 , 如果 z是0),(zyxV所确定的 yx,的隐函数 , 则有: zvx, zvy, 但 又是(6)的解, 故以上列两式代入(6), 就得到 )(zV所应满足的, 以 为自变量的一阶线性偏微分方程: xvzyP),( 0),(),(zvyxRvzyQ)6(.设 21),(,),(czyxGczyxF是方程 ),(),(),( zyxdzyxzyxd的两个独立的首次积分.则 ,F
13、V是 6的通解, 从而0),(),(z所确定的 的函数 z是(6) 的解. 可以证明: 当 P、 Q、R有一阶连续微商且它们不同时等于零时, (6)的一切解都可由),(),(yxGF给出,证明参考4.但是如果 P、 Q、 R不满足这个条件,则除了 0z外, 方程(6) 还可能有其他的解. 因为可能出现: ),(z满足(6), 而 )(zyxV仅在条件 ),(yxz之下才满足(6), 而不是关于yx恒等地满足（6）. 如:例 13 解方程 2)1(yxz.解 对应的线性齐次方程是 02)1( zvyxzz，而相应的常微分方程组是 1dyzd,首先, 由 21dzy可得首次积分 ,21c其次, 由
14、 yxzdy积分, 可得22cyxzy.因此, 原方程的通解是由 0)2,(yxzyz所确定的隐函数 , 但是现在原方程还有一个特解 x, 它不能由0)(zz得到, 这是由于 z的偏微商在时不连续之故. yxV仅在条件 yx之下才满足方程02)1( zvyxv, 故不能算做它的解.关于齐次方程)(xgd和一阶线性偏微分方程的增解问题，本文还没有涉及研究到，希望老师多给予意见，我将在以后的研究中进一步完善.参考文献:1 Coddington, E,A. and Levinson, N., Theory of ordinary differential equations M. MC Graw-Hill, 1955.2东北师范大学数学系. 常微分方程M. 北京: 高等教育出版社, 1982.3叶彦谦. 常微分方程讲议M. 北京: 人民教育出版社,1982.4B.B. 史捷班诺夫著,卜元震译. 微分方程教程M. 北京 : 高等教育出版社，1955.5周登杰，可分离变量微分方程的增解和遗解问题J. 兰州大学学报（自然科学版），2000.增刊：181183.
