1、2014-2015学年江西省赣州市龙南县实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1若复数z满足（34i）z=|43i|，则z的虚部为( )A4BC4D2命题“a，b是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是( )Aa+b不是偶数，则a，b都不是偶数Ba+b不是偶数，则a，b不都是偶数Ca+b不是偶数，则a，b都是偶数Da，b都不是偶数，则a+b不是偶数3如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是( )A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底
2、面四边形必存在外接圆D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上4已知a、b是异面直线，P是空间一定点，下列命题中正确的个数为( )过P点总可以作一条直线与a、b都垂直过P点总可以作一条直线与a、b都垂直相交过P点总可以作一条直线与a、b之一垂直与另一条平行过P点总可以作一个平面与a、b同时垂直过P点总可以作一个平面与a、b之一垂直与另一条平行A0B1C2D35已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是( )A无论k，P1，P2如何，总是无解B无论k，P1，P2如何，总有唯一解C存在k，P1，P2，使之恰有两解D存在k，P1，
3、P2，使之有无穷多解6已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支一的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是( )A（0，+）B（1，2CD（1，37已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F1F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是( )A（0，）BCD8若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x）上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切线”下列方程：x2y2=1；y=x2|x|；y=3sinx+4
4、cosx；|x|+1=对应的曲线中存在“自公切线”的有( )ABCD9已知A（1，0），曲线C：y=eax恒过点B，若P是曲线C上的动点，且的最小值为2，则a= ( )A2B1C2D110已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，yR，等式f（y3）+f（）=0恒成立，则的取值范围是( )ABCD二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11定积分（2x+ex）dx_12函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式f（lnx）f（1）的解集为_13对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：22=1+3 32=1+3+5 42=1
5、+3+5+723=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19根据上述分解规律，若m2=1+3+5+11，p3分解中最小正整数是21，则m+p=_14如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC，在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是_15若实数x，y满足x2+y2=4，则的取值范围是_三、解答题（共6小题，满分75分）16设命题p：函数f（x）=x3ax1在区间上单调递减；命题q：函数y=ln（x2+ax+1）的值域是R如果命题p或q为真命题，p且q为假
6、命题，求a的取值范围17已知圆C：x2+y22x4y+m=0（1）求m的取值范围（2）当m=4时，若圆C与直线x+ay4=0交于M，N两点，且，求a的值18如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB=，CE=EF=1（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE；（）求二面角ABED的大小19已知函数f（x）=ex（x3+mx22x+2）（）假设m=2，求f（x）的极大值与极小值；（）是否存在实数m，使f（x）在上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由20（13分）已知椭圆C：=1（ab0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1（）
7、求椭圆C的标准方程；（）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（tR，t2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q（）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（）在（）的条件下，当最小时，求点T的坐标21（14分）已知函数f（x）=exax1（a为常数），曲线y=f（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为1（）求a的值及函数f（x）的单调区间；（）证明：当x0时，exx2+1；（）证明：当nN*时，2014-2015学年江西省赣州市龙南县实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1若复数z满足（34i）z=|43i|，则z的
8、虚部为( )A4BC4D考点：复数求模专题：数系的扩充和复数分析：求出复数的模，然后利用复数的乘除运算法则化简求解即可解答：解：复数z满足（34i）z=|43i|，z=，则z的虚部为：故选：D点评：本题考查复数的乘除运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题2命题“a，b是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是( )Aa+b不是偶数，则a，b都不是偶数Ba+b不是偶数，则a，b不都是偶数Ca+b不是偶数，则a，b都是偶数Da，b都不是偶数，则a+b不是偶数考点：四种命题间的逆否关系专题：规律型分析：根据命题的逆否命题和命题之间的关系确定结论即可解答：解：否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定，则
9、命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为：若a+b不是偶数，则a，b不都是偶数故选：B点评：本题主要考查四种命题之间的关系，比较基础3如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是( )A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上考点：棱锥的结构特征专题：探究型分析：做该题，需要空间模拟一个四棱锥，将4个选项一一对应于四棱锥，就可以排除选项，得到答案解答：解：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面
10、的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立故选B点评：本题考查学生的空间想象能力，对棱锥的结构认识，是基础题4已知a、b是异面直线，P是空间一定点，下列命题中正确的个数为( )过P点总可以作一条直线与a、b都垂直过P点总可以作一条直线与a、b都垂直相交过P点总可以作一条直线与a、b之一垂直与另一条平行过P点总可以作一个平面与a、b同时垂直过P点总可以作一个平面与a、b之一垂直与另一条平行A0B1C2D3考点：命题的真假判断与应用专题：综合题；简易逻辑分析：根据异面直线的定义，对各选项进行判断，即可得出
11、结论解答：解：若此点与直线a确定一平面，所有与平面垂直的直线都分别与a、b垂直，故正确；若此点与直线a确定一平面恰好与直线b平行，过P点不可以作一条直线与a、b都垂直相交，故错误；异面直线所成角不是90时，过P点不可以作一条直线与a、b之一垂直与另一条平行，故错误；过P点作一个平面与a、b同时垂直，则a，b平行，故错误；异面直线所成角不是90时，过P点不可以作一个平面与a、b之一垂直与另一条平行，故错误故选：B点评：本题考查的知识点是平面的基本性质及推论，熟练掌握空间直线与直线，直线与平面位置关系的定义和几何特征是解答本题的关键5已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k
12、为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是( )A无论k，P1，P2如何，总是无解B无论k，P1，P2如何，总有唯一解C存在k，P1，P2，使之恰有两解D存在k，P1，P2，使之有无穷多解考点：一次函数的性质与图象专题：函数的性质及应用；直线与圆分析：判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可解答：解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，k=，即a1a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，a2b1a1b2=ka1a2ka1a2+a2a1=a2a
13、1，b2b1得：（a1b2a2b1）x=b2b1，即（a1a2）x=b2b1方程组有唯一解故选：B点评：本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用6已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支一的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是( )A（0，+）B（1，2CD（1，3考点：双曲线的简单性质专题：计算题分析：由定义知：|PF1|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，=，当且仅当，即|PF2|=2a时取得等号再利用三线段长的关系，可求得双曲线的离心率的取值范围解答：解：双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支一的任意一点|
14、PF1|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，=，当且仅当，即|PF2|=2a时取得等号|PF1|=2a+|PF2|=4a|PF1|PF2|=2a2c，|PF1|+|PF2|=6a2c，e（1，3故选D点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用7已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F1F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是( )A（0，）BCD考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质专题：计算题分析：设椭圆与双曲线的半
15、焦距为c，PF1=r1，PF2=r2利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e1e2的取值范围，即可得答案解答：解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2由题意知r1=10，r2=2c，且r1r2，2r2r1，2c10，2c+2c10，c5，=；=，故选C点评：本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、双曲线的简单性质、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题8若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x）上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0或
16、y=f（x）的“自公切线”下列方程：x2y2=1；y=x2|x|；y=3sinx+4cosx；|x|+1=对应的曲线中存在“自公切线”的有( )ABCD考点：命题的真假判断与应用专题：新定义分析：化简函数的解析式，结合函数的图象的特征，判断此函数是否有自公切线解答：解：、x2y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；、y=x2|x|=，在 x= 和 x= 处的切线都是y=，故有自公切线、y=3sinx+4cosx=5sin（x+），cos=，sin=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线、由于|x|+1=，即 x2+2|x|+y23=0，结合图象可得，此曲线没有自公
17、切线故答案为 C点评：本题考查函数的自公切线的定义，函数图象的特征，准确判断一个函数是否有自公切线，是解题的难点9已知A（1，0），曲线C：y=eax恒过点B，若P是曲线C上的动点，且的最小值为2，则a=( )A2B1C2D1考点：指数函数的图像与性质；平面向量数量积的运算专题：函数的性质及应用；平面向量及应用分析：由题意可得B（0，1），取得最小时，P，B重合，可得曲线C：y=eax在点B（0，1）处的切线与与垂直，即y|x=0=1，由此求得a的值解答：解：因为 e0=1所以B（0，1）考察的几何意义，因为，所以取得最小时，在上的投影长应是，所以P，B重合这说明曲线C：y=eax在点B（0，
18、1）处的切线与垂直，所以y|x=0=1，即 ae0=1，a=1，故选：D点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，函数在某一点的导数的几何意义，属于基础题10已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，yR，等式f（y3）+f（）=0恒成立，则的取值范围是( )ABCD考点：函数单调性的性质专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用；直线与圆分析：由平移规律，可得y=f（x）的图象关于原点对称，则f（x）为奇函数，即有f（x）=f（x），结合函数的单调性等式可化为y3=，平方即可得到y为以（2，3）为圆心，1为半径的下半圆，再由直线的斜率公式，=
19、可看作是半圆上的点与原点的连线的斜率，通过图象观察，过O的直线OA，OB的斜率即为最值，求出它们即可解答：解：函数y=f（x）的图象可由y=f（x1）的图象向左平移1个单位得到，由于y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，则y=f（x）的图象关于原点对称，则f（x）为奇函数，即有f（x）=f（x），则等式f（y3）+f（）=0恒成立即为f（y3）=f（）=f（），又f（x）是定义在R上的增函数，则有y3=，两边平方可得，（x2）2+（y3）2=1，即有y=3为以（2，3）为圆心，1为半径的下半圆，则=可看作是半圆上的点与原点的连线的斜率，如图，kOA=3，取得最大，过O作切线OB，设OB：y
20、=kx，则由d=r得，=1，解得，k=2，由于切点在下半圆，则取k=2，即为最小值则的取值范围是故选C点评：本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查直线的斜率和直线和圆的位置关系，考查数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11定积分（2x+ex）dxe考点：定积分专题：导数的综合应用分析：直接利用定积分运算法则求解即可解答：解：（2x+ex）dx=（x2+ex）=1+e1=e故答案为：e点评：本题考查定积分的运算法则的应用，考查计算能力12函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式f（lnx）f（1）的解集为（，e）考点：其他
21、不等式的解法专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式f（lnx）f（1）即为F|lnx|）f（1），则|lnx|1，运用对数函数的单调性，即可得到解集解答：解：函数f（x）=xsinx+cosx+x2的导数为f（x）=sinx+xcosxsinx+2x=x（2+cosx），则x0时，f（x）0，f（x）递增，且f（x）=xsinx+cos（x）+（x）2=f（x），则为偶函数，即有f（x）=f（|x|），则不等式f（lnx）f（1）即为F|lnx|）f（1），则|lnx|1，即1lnx1，解得，xe故答案为：（，e）点
22、评：本题考查函数的单调性和奇偶性的运用：解不等式，考查导数的运用：判断单调性，考查对数不等式的解法，属于中档题和易错题13对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+723=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19根据上述分解规律，若m2=1+3+5+11，p3分解中最小正整数是21，则m+p=11考点：归纳推理专题：规律型分析：根据m2=1+3+5+11，p3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、p，即可求得m+p的值解答：解：m2=1+3+5+11=36，m=623=3+5，33=7+9+11，43=13
23、+15+17+19，53=21+23+25+27+29，p3的分解中最小的数是21，p3=53，p=5m+p=6+5=11故答案为：11点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、p的值是解题的关键14如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC，在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是（，1）考点：平面与平面垂直的性质；棱锥的结构特征专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何分析：此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时与随着F点到C点时，分别
24、求出此两个位置的t值即可得到所求的答案解答：解：此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，可得t=1，随着F点到C点时，当C与F无限接近，不妨令二者重合，此时有CD=2因CBAB，CBDK，CB平面ADB，即有CBBD，对于CD=2，BC=1，在直角三角形CBD中，得BD=，又AD=1，AB=2，再由勾股定理可得BDA是直角，因此有ADBD 再由DKAB，可得三角形ADB和三角形AKD相似，可得t=，因此t的取值的范围是（，1）故答案为（，1）点评：考查空间图形的想象能力，及根据相关的定理对图形中的位置关系进行精准判断的能力15若实数x，y满足x2+y2=4，则的取值范围是考点
25、：利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用；三角函数的求值分析：实数x，y满足x2+y2=4，可设x=2cos，y=2sin，上单调递减；命题q：函数y=ln（x2+ax+1）的值域是R如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围考点：命题的真假判断与应用专题：综合题分析：由p为真命题，能够推导出a3再由q为真命题，能够推导出a2或a2由题意P和q有且只有一个是真命题，所以p真q假a，p假q真a2或2a3由此能够得到a的取值范围解答：解：p为真命题f（x）=3x2a0在上恒成立a3x2在上恒成立a3q为真命题=a240恒成立a2或a2由题意P和q有且只有一个是真命题p真q假a，p
26、假q真a2或2a3综上所述：a（，2上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由考点：利用导数研究函数的极值专题：导数的综合应用分析：（）将m=2带入f（x），求f（x），根据极值的定义去判断极值点，并求出极值（）先假设存在m，根据函数导数与函数单调性的关系，若f（x）在上单调递增，则f（x）在上满足：f（x）0，所以要求出f（x），并变成f（x）=xexxex0，只要x2+（m+3）x+2m20是在上单调递增，只要满足f（2）0，且f（1）0，这样就能求m的范围了解答：解：（）f（x）=ex（x32x22x+2）；f（x）=xex（x2）（x+3）；x（，3）时，f（x）0；
27、x（3，0）时，f（x）0，x=3时，f（x）取到极小值f（3）=37e3；x（0，2）时，f（x）0，x=0时，f（x）取到极大值f（0）=2；x（2，+）时，f（x）0，x=2时，f（x）取到极小值f（2）=2e2（）f（x）=xex；要使f（x）在上单调递增，则：f（x）0，xex0；只要x2+（m+3）x+2m20；解得m4，m的取值范围是（，4点评：考查极值的定义以及求解极值的过程，和导数与函数单调性的关系解决本题的一个关键是：当得出在上x2+（m+3）x+2m20时，只要20（13分）已知椭圆C：=1（ab0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1（）求椭圆C的标准方程；（）设F为
28、椭圆C的右焦点，T为直线x=t（tR，t2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q（）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（）在（）的条件下，当最小时，求点T的坐标考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由已知可得，由此能求出椭圆C的标准方程（）（）设直线PQ的方程为x=my+2将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得（m2+3）y2+4my2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出t=3（）T点的坐标为（3，m），|PQ|=由此能求出当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，1）解答：解：（）由已知可
29、得，解得a2=6，b2=2所以椭圆C的标准方程是（）（）由（）可得，F点的坐标为（2，0）由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为x=my+2将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得（m2+3）y2+4my2=0，其判别式=16m2+8（m2+3）0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，于是设M为PQ的中点，则M点的坐标为因为TFPQ，所以直线FT的斜率为m，其方程为y=m（x2）当x=t时，y=m（t2），所以点T的坐标为（t，m（t2），此时直线OT的斜率为，其方程为将M点的坐标为代入，得解得t=3（）由（）知T点的坐标为（3，m）于是，=所以=当且仅当，即m=1
30、时，等号成立，此时取得最小值故当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，1）点评：本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，查满足条件的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、弦长公式的合理运用21（14分）已知函数f（x）=exax1（a为常数），曲线y=f（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为1（）求a的值及函数f（x）的单调区间；（）证明：当x0时，exx2+1；（）证明：当nN*时，考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；数学归纳法专题：导数的综合应用分析：（）求出函数的f（x）=exa通过f（x）=ex20，即
31、可求解函数f（x）在区间（，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增（）求出f（x）的最小值，化简f（x）1ln4构造g（x）=exx21，通过g（x）0判断g（x）在（0，+）上单调递增，得到g（x）g（0），推出结果（）首先证明：当x0时，恒有令，则h（x）=exx2推出h（x）在（0，+）上单调递增，得到x+ln33lnx利用累加法推出解答：解：（）由f（x）=exax1，得f（x）=exa又f（0）=1a=1，所以a=2所以f（x）=ex2x1，f（x）=ex2由f（x）=ex20，得xln2所以函数f（x）在区间（，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增（）证明：由（）
32、知所以f（x）1ln4，即ex2x11ln4，ex2x2ln40令g（x）=exx21，则g（x）=ex2x0所以g（x）在（0，+）上单调递增，所以g（x）=exx21g（0）=0，即exx2+1（）首先证明：当x0时，恒有证明如下：令，则h（x）=exx2由（）知，当x0时，exx2，所以h（x）0，所以h（x）在（0，+）上单调递增，所以h（x）h（0）=10，所以所以，即x+ln33lnx依次取，代入上式，则，以上各式相加，有所以，所以，即（14分）另解：用数学归纳法证明（略）点评：本题考查函数的导数的应用，构造法以及累加法的应用，函数的导数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力是难题- 22 -
