1、阶段性测试题九(立体几何)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2014抚顺二中期中)已知a，b，c是三条不同的直线，是三个不同的平面，下述命题中真命题的是()A若ac，bc，则ab或abB若，则C若a，b，c，ab，ac，则D若a，b，ab，则答案D解析由ac，bc知，a与b可平行可相交，也可异面，故A错；由直棱柱相邻两个侧面与底面都垂直知B错；当l，al，bcl时，可满足C的条件，故C错；ab，a，b，又b，D正确2(20
2、15河南八校联考)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()A.BC4D2答案A解析由三视图知该几何体为三棱锥，底面是等腰三角形，其底长为2，高为1，棱锥高为，顶点在底面射影为等腰直角三角形底边的中点D，直观图如图，BDAC，PD平面ABC，DADBDC1，故球心O在PD上，设OPR，则(R)212R2，R.S球4R2.3(2015银川二中统练)已知H是球O的直径AB上的一点，AHHB12，AH平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为()A. B. C.D.答案B解析如图，由题意平面截球O所得截面圆的面积为r2，r1，由球的性质知，
3、R212(R)2，R2，球O的表面积S4R2.4(2015长春市十一高中阶段测试)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的主视图是边长为4的正方形，则此正三棱柱的左视图的面积为()A16B2C4D8答案D解析依题意知，此正三棱柱底面是边长为4的正三角形，棱柱高为4，其侧视图为矩形，其一边长为2，另一边长为4，故其面积S428，故选D.5(2015江西三县联考)平面与平面平行的条件可以是()A内有无穷多条直线与平行B直线a，aC直线a，直线b，且a，bD内的任何直线都与平行答案D解析当l时，内与l平行的直线都与平行，故A错；当l，al，a，a时，满足B的条件，B错；当l，a，al，b，bl时，有a，b
4、，C错，故选D.6(文)(2015辽宁五校协作体期中)设l为直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若l，l，则B若，l，则lC若l，l，则D若l，l，则答案D解析若l，l，则与可能平行、可能相交，故A不正确；若，l，则l，l，l与相交都有可能，故B不正确；若l，l，则，故C不正确；只有D正确所以选 D.(理)(2015福建宁化一中阶段测试)已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是()A若m，n，则mnB若m，mn，则nC若m，mn，则nD若m，n，则mn答案D解析当m，n时，m与n可能平行，也可能相交或异面，故A错；m，mn时，n，n与相交，n，n都有可能，故B错；m
5、，mn时，可能有n，也可能n，故C错；由线面垂直的定义知D正确7(2014陕西工大附中四模)如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是()答案C解析若俯视图为A，则该几何体是棱长为1的正方体，体积V1；若俯视图为B，则该几何体是底半径为，高为1的圆柱，其体积V()21；若俯视图为D，则该几何体是底半径为1，高为1的圆柱的，其体积V121；若俯视图为C，则该几何体是直三棱柱，底面直角三角形两直角边长为1，棱柱高为1，体积为V(11)1，因此选C.8(2015许昌、平顶山、新乡调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B10C30D2
6、42答案B解析由三视图可知，该几何体为直四棱柱，底面为直角梯形，S底(23)25，棱柱高为2，V5210.9(2015广东揭阳一中期中)下列命题中，错误的是()A一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B平行于同一平面的两个不同平面平行C如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D若直线l不平行平面，则在平面内不存在与l平行的直线答案D解析当直线l在平面内时可知D错误10(2015深圳市五校联考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()A.BC6D7答案A解析由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互
7、相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：VV正方体2V三棱锥2222(111).11(文)(2015湖南长沙市长郡中学月考)一个空间几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该几何体的体积等于()A.B2C3D6答案A解析画出其直观图如图，这是一个四棱锥，底面为直角梯形，ADBC，AD1，BC2，AB2，ABBC，顶点P在底面射影为AB的中点E，高PE，故体积V(ADBC)ABPE.(理)(2015河南信阳六检)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是()A2BC.D3答案D解析由三视图知，该几何体是四棱锥，底面为直角梯形，ABCD，AD2，AB1，CD2，AB
8、AD，侧棱PD底面ABCD，PDx，依题意知(ABCD)ADPD3，PD3，即x3，故选D.12(文)(2014康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知不重合的两条直线l，m和不重合的两个平面，下列命题正确的是()Alm，l，则mBm，l，则lC，l，则lDlm，m，l，则答案D解析l，lm，m时，l，故A错；m，当l且lm时，l，当l与m相交时，l与相交，故B错；，当l，l与和的交线垂直，l时，但l不成立，故C错；lm，l，m或m，又m，故D正确(理)(2015甘肃天水一中段测)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E1，F1分别是线段A1B1，A1C1的中点，则直线BE1与AF
9、1所成角的余弦值是()A.BC.D答案A解析以A为原点，直线AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则B(1,0,0)，E1(，0,1)，F1(，1)，(，1)，(，0,1)cos，故选A.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(2014西宁市二测)已知球O内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为_答案1解析由题意知球的半径为1，其体积为V球，正方体的体积为V正方体238，则这一点不在球内的概率P11.14(2015甘肃天水一中段测)若某几何体的三视图如下，
10、该几何体的体积为2，则俯视图中的x_.答案2解析由三视图可知，该几何体为四棱锥，高为2，底面为直角梯形，面积S(1x)21x，因此VSh(1x)22，解得x2.15(文)(2014成都七中模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M是BC1的中点，P是BB1一动点，则(APMP)2的最小值为_答案解析将平面ABB1A1展开到与平面CBB1C1共面，如下图，易知当A、P、M三点共线时(APMP)2最小AM2AB2BM22ABBMcos13512()221().(理)(2014开滦二中期中)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AC2，BC，D、E分别是AC1和BB1的中点，则
11、直线DE与平面BB1C1C所成的角为_答案解析取AC中点F，则DF綊BE，DEBF，BF与平面BB1C1C所成的角为所求，AB1，BC，AC2，ABBC，又ABBB1，AB平面BCC1B1，作GFAB交BC于G，则GF平面BCC1B1，FBG为直线BF与平面BCC1B1所成的角，由条件知BGBC，GFAB，tanFBG，FBG.16(文)(2014成都市二诊)如图所示的正三角形是一个圆锥的侧视图，则这个圆锥的侧面积为_答案2解析由侧视图知圆锥的母线长l2，底半径r1，侧面积S侧rl2.(理)(2014东北三省三校二模) P为正方体ABCDA1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BPBD1(0,
12、1)下面结论：A1DC1P；若BD1平面PAC，则；若PAC为钝角三角形，则(0，)；若(，1)，则PAC为锐角三角形其中正确的结论为_(写出所有正确结论的序号)答案解析在正方体中，易证A1D平面AD1C1B，又C1P平面AD1C1B，所以A1DC1P，正确；若BD1平面PAC，则点P为平面ACB1与体对角线BD1的交点，利用等体积法可得BPBD1，即，正确；以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在射线分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，又BPBD1，所以P(1，1，)，若PAC为钝角
13、三角形，只能是APC是钝角，所以(，1，)(1，)3220，解得(0，)，所以错误；由可知若(，1)，则PAC为锐角三角形，正确，所以正确的结论序号为.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(2015辽宁五校协作体期中)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，AB，AA12.(1)证明：AA1BD；(2)证明：平面A1BD平面CD1B1；(3)求三棱柱ABDA1B1D1的体积解析(1)证明：底面ABCD是正方形，BDAC，又A1O平面ABCD，BD平面ABCD，A1OBD，又
14、A1OACO，A1O平面A1AC，AC平面A1AC，BD平面A1AC，AA1平面A1AC，AA1BD.(2)A1B1AB，ABCD，A1B1CD，又A1B1CD，四边形A1B1CD是平行四边形，A1DB1C，同理A1BCD1，A1B平面A1BD，A1D平面A1BD，CD1平面CD1B1，B1C平面CD1B，且A1BA1DA1，CD1B1CC，平面A1BD平面CD1B1.(3)A1O平面ABCD，A1O是三棱柱A1B1D1ABD的高在正方形ABCD中，AO1，在RtA1OA中，AA12，AO1，A1O，V三棱柱SABDA1O()2.所以，三棱柱ABDA1B1D1的体积为.18(本小题满分12分)
15、(2015石光中学月考)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD，若E，F分别为PC，BD的中点(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：平面PDC平面PAD；(3)求四棱锥PABCD的体积解析(1)连接EF，AC，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形且点F为对角线BD的中点，对角线AC经过F点，又点E为PC的中点，EF为PAC的中位线，EFPA.又PA平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD.(2)底面ABCD是边长为a的正方形，CDAD，又侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，CD平面PAD.又CD平
16、面PCD，平面PDC平面PAD.(3)过点P作AD的垂线PG，垂足为点G，侧面PAD底面ABCD，PG平面PAD，侧面PAD底面ABCDAD，PG平面ABCD，即PG为四棱锥PABCD的高，又PAPDAD且ADa，PG.V四棱锥PABCDS正方形ABCDPGa2a3.19(本小题满分12分)(文)(2015江西三县联考)如图，四边形ABEF是等腰梯形，ABEF，AFBE2，EF4，AB2，ABCD是矩形AD平面ABEF，其中Q，M分别是AC，EF的中点，P是BM中点(1)求证：PQ平面BCE；(2)求证：AM平面BCM；(3)求点F到平面BCE的距离解析(1)因为ABEM，且ABEM，所以四边
17、形ABEM为平行四边形连接AE，则AE过点P，且P为AE中点，又Q为AC中点，所以PQ是ACE的中位线，于是PQCE.CE平面BCE，PQ平面BCE，PQ平面BCE.(2)AD平面ABEFBC平面ABEFBCAM.在等腰梯形ABEF中，由AFBE2，EF4，AB2，可得BEF45，BMAM2，AB2AM2BM2，AMBM.又BCBMB，AM平面BCM.(3)解法一：点F到平面BCE的距离是M到平面BCE的距离的2倍，EM2BE2BM2，MBBE，MBBC，BCBEB，MB平面BCE，d2MB4.解法二：VCBEFSBEFBCBC，VFBCESBCEdBC.VCBEFVFBCE，d4.(理)(2
18、014湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，BAC90，点D是棱B1C1的中点(1)求证：A1D平面BB1C1C；(2)求证：AB1平面A1DC；(3)求二面角DA1CA的余弦值解析(1)证明：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，所以AA1AC，AA1AB，所以AA1平面ABC，所以AA1平面A1B1C1.因为A1D平面A1B1C1，所以AA1A1D，又因为CC1AA1，所以CC1A1D，又因为A1B1A1C1，D为B1C1中点，所以A1DB1C1.因为CC1B1C1C1，所以A1D平面BB1C1C.(2)证明：连结A
19、C1，交A1C于点O，连结OD，因为ACC1A1为正方形，所以O为AC1中点，又D为B1C1中点，所以OD为AB1C1中位线，所以AB1OD，因为OD平面A1DC，AB1平面A1DC，所以AB1平面A1DC.(3)因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，BAC90，所以AB，AC，AA1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系Axyz.设AB1，则C(0,1,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，D(，1)(，0)，(0,1，1)，设平面A1DC的法向量为n(x，y，z)，则有取x1，得n(1，1，1)又因为AB平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的法向量为(1,0,0)，设二面角D
20、A1CA的平面角为，则n，coscos(n，)，所以，二面角DA1CA的余弦值为.20(本小题满分12分)(文)(2014黄石二中检测)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC2AB2，且BC1A1C.(1)求证：平面ABC1平面A1ACC1；(2)设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使DE平面ABC1；若存在，求三棱锥EABC1的体积解析(1)证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，有A1A平面ABC.A1AAC，又A1AAC，A1CAC1.又BC1A1C，A1C平面ABC1，A1C平面A1ACC1，平面ABC1平面A1CC1.(2)存在，E为BB1的中点取A1
21、A的中点F，连EF，FD，当E为B1B的中点时，EFAB，DFAC1，平面EFD平面ABC1，则有ED平面ABC1.当E为BB1的中点时，VEABC1VC1ABE211.(理)(2014保定市八校联考)如图，在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，DAB90，PA平面ABCD，PAABBC3，梯形上底AD1.(1)求证：BC平面PAB；(2)在PC上是否存在一点E，使得DE平面PAB？若存在，请找出；若不存在，说明理由；(3)求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的正切值解析(1)证明：BCAD且DAB90，BCAB，又PA平面ABCD，BCPA，而PAABA，BC平面PAB.(2)延长BA、CD
22、相交于Q点，假若在PC上存在点E，满足DE平面PAB，则由平面PCQ经过DE与平面PAB相交于PQ知DEPQ，ADBC且AD1，BC3，故E为CP的三等分点，PECE.(3)过A作AHPQ，垂足为H，连DH，由(1)及ADBC知：AD平面PAQ，ADPQ，又AHPQ，PQ平面HAD，PQHD.AHD是平面PCD与平面PBA所成的二面角的平面角易知AQ，PQ，AH，tanAHD，所以平面PCD与平面PAB所成二面角的正切值为.21(本小题满分12分)(文)(2015大连市二十中期中)如图，四边形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC4，AB2，E、F分别在BC、AD上，EFAB.现将四边形
23、ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC.(1)当BE1时，是否在折叠后的AD上存在一点P，使得CP平面ABEF？若存在，指出P点位置，若不存在，说明理由；(2)设BEx，问当x为何值时，三棱锥ACDF的体积有最大值？并求出这个最大值解析(1)存在点P使得满足条件CP平面ABEF，且此时.证明如下：，过点P作MPFD，与AF交于点M，则有，又FD5，故MP3，又因为EC3，MPFDEC，故有MP綊EC，故四边形MPCE为平行四边形，所以PCME，又CP平面ABEF，ME平面ABEF，故有CP平面ABEF成立(2)因为平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDCEF，又AFEF，所
24、以AF平面EFDC.由已知BEx，所以AFx(0x4)，FD6x.故VACDF(DFEF)AF2(6x)x(6xx2)(x3)29(x3)23.所以，当x3时，VACDF有最大值，最大值为3. (理)(2014浙江台州中学期中)如图，在RtABC中，ABBC4，点E在线段AB上，过点E作EFBC交AC于点F，将AEF沿EF折起到PEF的位置(折起后的点A记作点P)，使得PEB60.(1)求证：EFPB.(2)试问：当点E在线段AB上移动时，二面角PFCB的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由解析(1)在RtABC中，EFBC，EFAB，EFEB，EFEP，又EBEPE，E
25、F平面PEB.又PB平面PEB，EFPB.(2)解法一：EF平面PEB，EF平面BCFE，平面PEB平面BCFE，过P作PQBE于点Q，垂足为Q，则PQ平面BCFE，过Q作QHFC，垂足为H.则PHQ即为所求二面角的平面角设PEx，则EQx，PQx，QH(PEEQ)sinx，故tanPHQ，cosPHQ，即二面角PFCB的平面角的余弦值为定值.解法二：在平面PEB内，经P点作PDBE于D，由(1)知EF平面PEB，EFPD.PD平面BCFE.在平面PEB内过点B作直线BHPD，则BH平面BCFE.以B点为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系设PEx(0x4)又ABB
26、C4，BE4x，EFx，在RtPED中，PED60，PDx，DEx，BD4xx4x，C(4,0,0)，F(x,4x,0)，P(0,4x，x)从而(x4,4x,0)，(4,4x，x)设n1(x0，y0，z0)是平面PCF的一个法向量，则n10，n10，取y01，得，n1(1,1，)又平面BCF的一个法向量为n2(0,0,1)设二面角PFCB的平面角为，则cos|cosn1，n2|.因此当点E在线段AB上移动时，二面角PFCB的平面角的余弦值为定值.22(本小题满分14分)(文)(2015江西省南昌市二中月考)已知几何体ABCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正
27、视图为直角梯形，已知几何体ABCED的体积为16.(1)求实数a的值；(2)将直角三角形ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积解析(1)由该几何体的三视图知AC平面BCED，且ECBCAC4，BDa，体积V416，a2.(2)在RtABD中，AB4，BD2，AD6，过B作AD的垂线BH，垂足为H，易得BH，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为BH，所以圆锥底面周长为C2，两个圆锥的母线长分别为4和2，故该旋转体的表面积为S(24).(理)(2014天津南开区二模)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面为正方形，P、O分别是上、下底面的中心，E是AB的中点，ABkAA1.(1
28、)求证：A1E平面PBC；(2)当k时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；(3)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？解析以点O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB2，则得A1(2,0，)、E(1,1,0)、P(0,0，)、B(0,2,0)、C(2，0,0)、A(2,0,0)，(1)由上得(1,1，)、(2，2,0)、(0,2，)，设平面PBC的法向量为n(1，)，则由得n(1，1，k)，n0，又A1E平面PBC，A1E平面PBC.(2)当k时，由()知平面PBC的法向量为n(1，1，1)，(2,0，2)，cos，n，直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.(3)由(1)知PBC的重心G为(，)，则(，)，若O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心，则有解得k，当k时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心- 17 -
