1、从数学角度探讨数制转换作者：广州市化工中专 毛敏莉（mao_）摘要：数制转换的知识在学生学习过程中比较难理解，一直为信息技术基础的教学难点，主要是教材限于篇幅无法深入解析其数学原理。本文尝试以讲座形式，从数学角度深入分析数制转换的原理，使学生理解不同数制的数学联系和掌握数制转换的计算方法。关键词：数学角度、探讨、数制转换在信息技术基础课程里面， “二进制”与“数制转换”知识点由于数学理论性强、学生理解困难，一直成为教学的难点。 “二进制”作为信息技术课程里面比较基础的知识点，很多教材为减轻学生学习负担往往只是蜻蜓点水地举些生活中应用二进制的实例，而接下来对于“数制转换”也只是简单介绍了二进制转
2、十进制的“按权展开多项式之和” 。学生普遍反映难以理解与接受。其实在研究计算机基本原理以及了解电子计算机设计理论等众多背景材料后，可获知由于二进制模型易于在电子线路设计中实现，因而成为科学家在计算机研发中对数据表示与存储采用“二进制”数学模型的重要原因。本人在认真理解知识点的基础上，大量涉猎有关数制转换的信息技术及数学教材，并将生活中的应用、本人的理解和数学思维引入课堂，以深入浅出的专题讲座形式进行师生互动研究。通过对“二进制”数学模型进行探讨，使学生更易于理解与运用包括十进制、二进制、八进制、十六进制等在内的进制数概念，并能达到举一反三的教学效果。【教学目标】 理解二进制及其它进制数的概念，
3、掌握十进制转二进制和二进制转十进制的计算方法。【知识目标】（1） 理解进制数的数学规律（包括十进制、二进制、八进制、十六进制等） ；（2） 理解二进制的概念；（3） 掌握十进制转二进制的计算方法除二取余法；（4） 理解位权概念；（5） 掌握二进制转十进制的计算方法按权展开多项式之和；（6） 通过学习二进制，了解电子计算机设计原理中采用二进制存储表示数据的原因。【情感态度和价值目标】（1） 通过理解进制数的数学规律，认识生活中进制数的使用，体会数学的实用性；（2） 通过认识二进制数的运算特点理解计算机采用二进制的原因，揭开其神秘面纱，使学生感受研发电子计算机的科学家的智慧。【教学模式】 专题讲座
4、型【教学过程】第一部分：引入。在引入部分，首先提出以下问题：（1） 计算机什么采用“二进制”而不用“十进制”？（2） 二进制的概念及其特点是什么？然后从学生非常熟悉的“十进制”数开始归纳出十进制数的运算规律：（1）十进制数有十个基数，分别是 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；（2）十进制的基本运算规则是“逢十进一” 。在“十进制”的理解中，分析十进制数从 0 到 10 的变化规律，重点解析从“9”变化到“10”的过程：（1） 在同一数位（如个位数、十位数等）上从 0 开始，按基数次序变化。（2） “逢十进一”的规律体现为最大基数的后续数字回到基数最小数 0，并进位。即 9 可以理解为“0
5、9” ，其后续数字在个位上回归到最小基数“0” ；而十位上的“0” ，进位后则应变为“1” 。所以“09”后续数字表示为“10” 。第二部分：分析进制数的基本特点。在掌握了十进制数的书写及变化规律后，我们大胆假设：具有基数与“逢几进一”规律的记数形式都可成为进制数。然后让学生归纳在生活中出现的其它进制数：表示数量的“双/对进制” （如袜子几双、眼睛一对等） ；表示数量和时间的十二进制（如“打”单位，一打表示十二个；十二个月表示一年） ；表示重量的十六进制（如古代重量单位使用“半斤八两” ，即一斤为十六两） ；表示时间的六十、二十四、三十进制（如 60秒1 分钟，60 分钟1 小时，24 小时1
6、 天，30 天1 月）等等。第三部分：讲授“二进制”数概念及与十进制的转换方法。第一阶段：二进制概念。在十进制的基础上归纳二进制数运算规律：（1）二进制有两个基数，分别是 0、1；（2）运算规则是“逢二进一” 。然后通过对照十进制的 010 分别写出其二进制数（在竖排十进制 010 旁书写） ，分别为 0、1，接下来的数超过二进制的基数执行“逢二进一” ，应该写为 10，继续写下去为 11，后续数字经过两次进位变成 100，再接下去为101、110、111、1000、1001、1010。 （对照表板书保留作参考）第二阶段：讲授十进制转二进制的“除二取余”法。除二取余法：对十进制整数不断除以二，
7、每次将商后余数记录起来，直到商为 0 才结束，将记录的余数从后往前倒序书写则成为转换后的二进制数。精选例子：对十进制的 100 进行二进制数转换。按除二取余的法则可以有以下演算过程：余数由下往上写则为 1100100，所以（100）10（1100100） 2。其中（100） 10 表示十进制数， （1100100） 2 表示二进制数。然后再精选典型数字进行转换练习：10、110（留有伏笔，与后阶段的按权展开多项式之和对照） 。学生演算结果如下为：（10） 10（1010） 2；（110） 10（1101110） 2。对照分析（10） 10 使用“除二取余”法计算的结果（1010） 2 与早前我
8、们从0 到 10 以二进制数形式书写下来的 1010 结果一样。更加验证了“除二取余”法的准确性。至于怎么推算出使用“除二取余”的方法，引导学生课后查阅相关资料（不深入探讨“除二取余”法，留待学生研究的空间） 。第三阶段：讲授二进制整数转换为十进制数的计算方法“按权展开多项式之和” 。从熟悉的十进制数的按位分解多项式来观察。举例，十进制的 110，它在百位数为 1，十位数为 1，个位数为 0，我们可以将其分解成多项式，即 110100100110 2110 1010 0。让学生观察归纳多项式的规律：在多项式中位数乘以 10 的（n1）次方之和，其中 n 为位数。通过分析多项式再进一步归纳理解：
9、（1）多项式中的 1、1、0 分别对应着 110 的各位数；（2）10 2、10 1、10 0，在数学上称之为位权（简称权） ，其次方数从个位到高位由 0 开始，十位上次方数为 1，百位上次方数为 2，以此类推。（3）位权乘方的底数都为 10，这个“10”与十进制数的基数个数相关。（简单分析，十位数表示有多少个 10，百位数表示有多少十个 10，即1010，同理千位数表示有多少十个 100，即 101010。我们有理由断定位权乘方的底数 10 应与进制数的基数个数相关。 ）接下来可以归纳出 N 进制数转换成十进制整数的计算公式为： 0110 RaRaRaN iiiiniiR 并按照公式演算一下
10、（1101110）212 612 502 412 312 212 102 0643208420（110） 10。第四阶段：附加归纳数制转换的四则运算规律。提示学生归纳数制转换的四则运算规律：所有进制数的四则运算法则相同。也就是说我们熟悉的十进制的四则运算法则可以随意运用到其它进制数计算中。举例说明，在转换 （110） 10 为二进制数结果为（1101110） 2，容易发现若将（110） 10 按加法分解为（100） 10（10） 10，分别计算其二进制数，再将这2 个二进制数按“逢二进一”规则求和，结果相同。演算式为：（110） 10（100） 10（10） 10（1100100） 2（101
11、0） 2（1101110）2。同理尝试演算试验乘法法则 （100） 10 （10） 10（10） 10（1010）2（1010） 2（1100100） 2，再用竖式乘法计算求和，。由此验证“不同进制数的各种运算法则相同”的推断。就拿十进制转二进制的“除二取余”法，如果要进行十进制转十进制，应该使用“除十取余”法。举例用竖式除法计算（110） 10：即（110） 10（110） 10。第四部分：举一反三，简略介绍八进制和十六进制。有了前面二进制的知识后，对于八进制和十六进制的概念就比较容易理解了：（1）八进制基数为：0、1、2、3、4、5、6、7逢八进一十进制转八进制按“除八取余”法；八进制转十
12、进制按 N8 权展开公式计算。（2）十六进制基数为：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、 B、C、D 、E 、F 。其中A 表示 10，B 表示 11，C 表示 12，D 表示 13，E 表示 14，F 表示 15。逢十六进一十进制转十六进制按“除十六取余”法；十六进制转十进制按 N16 权展开公式计算。（3）所有进制数的四则运算法则相同。做课后习题巩固。第五部分：总结进制数的使用其实是非常普遍的，只是平时我们主要习惯使用十进制数进行记数与运算，通过对进制数的探讨与十进制的对照，同学们对数制转换的规则及运算工具都比较了解了，只要掌握它们的规律，就可以轻松计算出结果。现在我们再回过头来解
13、释计算机为什么采用二进制形式进行数据存储和运算。由于二进制数为最小的进制数，基数只有 0 和 1，而且运算规则“逢二进一”很简单，容易用电子电路实现（最早期的电子计算机使用电子管的通电表示“1” ，断电表示“0” ） ，电路简单可靠，所以二进制成为计算机设计时首选的方案。用二进制数 0 和 1 组成的计算机程序我们称为“机器语言（代码） ”。至于在程序设计上（特别是接近机器语言的汇编语言）较多采用十六进制的原因是十六进制数是数字容量较大的数制，可以用比较短的数值表示比较大的数，有利于编程的书写和计算机操作指令代号的编制。所以在计算机的设计上科学家采用“二进制”是非常聪明的一种方法。希望这一节课
14、能令同学们对计算机原理的理解有更感性的认识，对“数”的概念有更深层次的领会。【教学评价】课后，通过学生反馈，他们普遍表示通过专题讲座形式学习数制转换知识，感觉对计算机与对数学有了一种更贴近的感觉。计算机是建立在数理逻辑、电子电路、微电子技术、通信技术、图形学、光学等众多理论知识上的综合性发明。其中很多设计凝聚了许多科学家的聪明才智，对于某些计算机原理性知识，我们只有在深入了解研发人员的设计思路与采用的理论基础才能深刻体会。通过这节课，让我发觉在信息技术基础教学中的难点适当展开深入探讨可能会收到意想不到的效果。参考资料：（1）韩雪涛：咬文嚼字之数学科普版（2）教育部：关于在中小学普及信息技术教育的通知（3）李克东：数字化学习信息技术与课程整合的核心（4）易特在线教程：易特在线教育培训 数字电路在线教学（http:/ 年华南师范大学计算机系本科毕业。现从教于广州市化工中专，任助理讲师，主要从事计算机基础及专业教学。
