1、4.3 三角函数的图象和性质,高考文数 (北京市专用),考点 三角函数的性质及其应用 1.(2016北京,16,13分,0.81)已知函数f(x)=2sin xcos x+cos 2x(0)的最小正周期为. (1)求的值; (2)求f(x)的单调递增区间.,A组 自主命题北京卷题组,五年高考,解析 (1)因为f(x)=2sin xcos x+cos 2x =sin 2x+cos 2x = sin , (3分) 所以f(x)的最小正周期T= = . (4分) 依题意,得 =,解得=1. (6分) (2)由(1)知f(x)= sin . 函数y=sin x的单调递增区间为 (kZ). (8分) 由
2、2k- 2x+ 2k+ (kZ), 得k- xk+ (kZ). (12分) 所以f(x)的单调递增区间为 (kZ). (13分),评析 本题考查了倍角公式、辅助角公式和正弦型函数的单调区间等知识,属中档题.,2.(2014北京,16,13分,0.72)函数f(x)=3sin 的部分图象如图所示. (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值; (2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.,解析 (1)f(x)的最小正周期为,y0是f(x)的最大值,因此y0=3. 由f(x)取最大值时x满足sin =1,得x=k+ (kZ). 由图象知x0是区间(0,+)中从小到大排列的第二个最大值点的横
3、坐标,因此x0= . (2)因为x ,所以2x+ . 因为在区间 上,y=3sin u分别在u=- 和u=0处取得最小值和最大值,所以当2x+ =0,即x =- 时, f(x)取得最大值0;当2x+ =- ,即x=- 时, f(x)取得最小值-3.,思路分析 (1)由周期公式即可求出最小正周期;由解析式和图象可求出x0,y0的值. (2)由x 可得2x+ ,由正弦函数的单调性可求出f(x)的最值.,3.(2011北京,15,13分)已知函数f(x)=4cos xsin x+ -1. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.,解析 (1)因为f(x)=4cos
4、 xsin -1 =4cos x -1 = sin 2x+2cos2x-1 = sin 2x+cos 2x =2sin , 所以f(x)的最小正周期为.,(2)因为- x ,所以- 2x+ . 于是,当2x+ = ,即x= 时, f(x)取得最大值2; 当2x+ =- ,即x=- 时, f(x)取得最小值-1.,评析 本题考查三角恒等变换及三角函数的性质,同时考查运算能力,将f(x)的解析式正确化 简为f(x)=Asin(x+)(0)的形式是解题关键.,4.(2012北京,15,13分)已知函数f(x)= . (1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递减区间.,解析 (1
5、)由sin x0得xk(kZ), 故f(x)的定义域为xR|xk,kZ. 因为f(x)= =2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1 = sin -1, 所以f(x)的最小正周期T= =.,(2)函数y=sin x的单调递减区间为 (kZ). 由2k+ 2x- 2k+ ,xk(kZ), 得k+ xk+ (kZ). 所以f(x)的单调递减区间为 (kZ).,考点定位 本题考查三角恒等变换及三角函数的性质,难度不大,此类型题目平时练习较多,计 算过程要认真.,考点一 三角函数的图象及其变换 1.(2018天津,6,5分)将函数y=sin 的图象向右平移 个单位长度,
6、所得图象对应的函数( ) A.在区间 上单调递增 B.在区间 上单调递减 C.在区间 上单调递增 D.在区间 上单调递减,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,答案 A 本题主要考查三角函数图象的变换及三角函数的性质. 将y=sin 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数为y=sin = sin 2x,当2k- 2x2k+ (kZ),即k- xk+ (kZ)时,y=sin 2x单调递增,令k=0,则x ,所以y=sin 2x在 上单调递增,故选A.,易错警示 在进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行怎样的变换都是对自变量本身而 言的.另外,要注意变换前后两个函数的函数名称是否一致,若不
7、一致,应先利用诱导公式化为 同名函数.,2.(2016课标,6,5分)将函数y=2sin 的图象向右平移 个周期后,所得图象对应的函数 为 ( ) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin,答案 D 该函数的周期为,将其图象向右平移 个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin=2sin ,故选D.,评析 本题主要考查三角函数图象的平移变换,注意“左加右减”仅针对x.,3.(2016四川,4,5分)为了得到函数y=sin 的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点 ( ) A.向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度 C.向上平行移动 个单位长
8、度 D.向下平行移动 个单位长度,答案 A 根据“左加右减”的原则可知,把函数y=sin x的图象上所有的点向左平行移动 个 单位长度可得y=sin 的图象.故选A.,评析 本题考查三角函数图象的平移变换.,4.(2015山东,4,5分)要得到函数y=sin 的图象,只需将函数y=sin 4x的图象 ( ) A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位,答案 B y=sin =sin ,易知只需将y=sin 4x的图象向右平移 个单位,即得y= sin 的图象,故选B.,5.(2014浙江,4,5分)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象,可
9、以将函数y= cos 3x的图象 ( ) A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位,答案 A y=sin 3x+cos 3x= cos = cos , 将y= cos 3x的图象向右平移 个单位即可得到y= cos 的图象,故选A.,6.(2014四川,3,5分)为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点 ( ) A.向左平行移动1个单位长度 B.向右平行移动1个单位长度 C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度,答案 A 根据平移法则“左加右减”可知,将函数y=sin x的图象上所有的点向左平行
10、移动1 个单位长度即可得到函数y=sin(x+1)的图象.,7.(2014安徽,7,5分)若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对 称,则的最小正值是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 由f(x)=sin 2x+cos 2x= sin 知f(x)图象的对称轴方程为x= + (kZ),因 此在y轴左侧且离y轴最近的对称轴方程为x=- .依题意结合图象知,的最小正值为 ,故选 C.,评析 本题考查三角函数的图象和性质.,8.(2014福建,7,5分)将函数y=sin x的图象向左平移 个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法 正确的是 (
11、) A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为 C.y=f(x)的图象关于直线x= 对称 D.y=f(x)的图象关于点 对称,答案 D 将函数y=sin x的图象向左平移 个单位,得到函数y=f(x)的图象,则y=f(x)=sin =cos x.此函数为偶函数,周期为2.由于f =cos =cos =0,所以y=f(x)的图象关于点对称,故选D.,9.(2016课标,14,5分)函数y=sin x- cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移 个单位长度得到.,答案,解析 函数y=sin x- cos x=2sin 的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移 个单
12、 位长度得到.,评析 本题考查了三角函数的图象平移及两角差的正弦公式的逆用,属于中档题.,10.(2016江苏,9,5分)定义在区间0,3上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是 .,答案 7,解析 在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=cos x在区间0,3上的图象(如图).由图象可 知,共有7个交点.解决交点个数问题一般采用“数形结合”的思想方法,因此准确画出相关函数图象是解题的 关键.,11.(2014重庆,13,5分)将函数f(x)=sin(x+) 图象上每一点的横坐标缩短为原 来的一半,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度得到y=sin x的图象,则f
13、 = .,答案,解析 y=sin x y=sin y=sin , 即f(x)=sin ,f =sin =sin = .,12.(2015湖北,18,12分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x+) 在某一个周 期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:,(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式; (2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动 个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点 O最近的对称中心.,解析 (1)根据表中已知数据,解得A=5,=2,=- .数据补全如下表:,且函数表达式为f(x)=5sin . (2)由(1)知f(x)=5si
14、n , 因此,g(x)=5sin =5sin . 令2x+ =k,kZ,解得x= - ,kZ. 则y=g(x)图象的对称中心为 ,kZ,其中离原点O最近的对称中心为 .,考点二 三角函数的性质及其应用 1.(2018课标全国,6,5分)函数f(x)= 的最小正周期为( ) A. B. C. D.2,答案 C 本题考查三角函数的周期. 解法一: f(x)的定义域为 . f(x)= =sin xcos x= sin 2x,f(x)的最小正周期T= =. 解法二: f(x+)= = =f(x),是f(x)的周期. f = ,而tan= = =- ,f =- f(x), 不是f(x)的周期, 也不是f
15、(x)的周期.故选C.,方法总结 函数周期的求法: (1)定义法:若f(x+T)=f(x),T0,则T是f(x)的一个周期. (2)若T是函数y=f(x)的周期,则kT(kZ且k0)也是y=f(x)的周期. (3)若定义域内都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)= (f(x)0)或f(x+a)=- (a是常数且a0, f(x)0), 则f(x)是以2|a|为周期的周期函数. (4)若f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称,则2|a-b|是f(x)的一个周期;若f(x)的图象关于点(a,0),(b, 0)对称,则2|a-b|是f(x)的一个周期;若f(x)关于点(a,0)和直线x=b对称,
16、则4|a-b|是f(x)的一个周期.,2.(2018课标全国,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在0,a是减函数,则a的最大值是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 本题主要考查三角函数的图象及性质. f(x)=cos x-sin x= cos . 因为f(x)在0,a上是减函数,所以 解得0a .故a的最大值是 .故选C.,3.(2017课标全国,3,5分)函数f(x)=sin 的最小正周期为 ( ) A.4 B.2 C. D.,答案 C 本题考查三角函数的性质. 由题意得=2,所以函数f(x)=sin 的最小正周期T= =.故选C.,4.(2017山东,7,5分)函数y=
17、 sin 2x+cos 2x的最小正周期为 ( ) A. B. C. D.2,答案 C 本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的性质. y= sin 2x+cos 2x=2sin , 从而最小正周期T= =.,5.(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(x+),xR,其中0,|.若f =2, f =0,且f(x)的 最小正周期大于2,则 ( ) A.= ,= B.= ,=- C.= ,=- D.= ,=,答案 A 本题考查三角函数的图象和性质. f =2, f =0, f(x)的最小正周期大于2, = - = ,得T=3,则= = , 又f =2sin =2,sin =1. +=2k
18、+ ,kZ,=2k+ ,kZ. |,= ,故选A.,易错警示 根据f(x)的最小正周期T2,可知 T= - = ,得T=3.若不注意已知条件,则可 能有 T= ,得T=,从而造成错误.,思路分析 由三角函数的图象(图略)可知 = - = ,得T=3,= ,然后将 代入y=f (x)中解出的值即可.,6.(2016天津,8,5分)已知函数f(x)=sin2 + sin x- (0),xR.若f(x)在区间(,2)内没有零点, 则的取值范围是 ( ) A. B. C. D. ,答案 D f(x)= + sin x- = (sin x-cos x)= sin ,x(,2),0,x- ,f(x)在区间
19、(,2)内没有零点,有以下两种情况: (2k,2k+),kZ, 则有 kZ, 得 ,kZ, 当k=0时, ; (2k+,2k+2),kZ, 则有 kZ,得 ,kZ, 当k=-1时, ,又0, . 综上, ,故选D.,疑难突破 将函数化简为f(x)= sin ,将x- 看作一个整体,借助函数y=sin x的图象 得出f(x)在(,2)内没有零点时需满足的条件,建立不等式组求解.,评析 本题主要考查三角恒等变换及三角函数的图象和函数的零点,是一道综合性较强的题. 借助图象,建立不等式组求解.,7.(2015四川,5,5分)下列函数中,最小正周期为的奇函数是 ( ) A.y=sin B.y=cos
20、C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x,答案 B y=cos =-sin 2x,y=cos 是最小正周期为的奇函数,故选B.,8.(2015课标,8,5分)函数f(x)=cos(x+)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为 ( )A. ,kZ B. ,kZ C. ,kZ D. ,kZ,答案 D 由题图可知 = - =1,所以T=2,=, 又由题图知f =0,即 += +2k,kZ,得= +2k,kZ,此时f(x)=cos =cos,kZ,由2kx+ 2k+,kZ,得2k- x2k+ ,kZ,所以f(x)的单调递减区间为,kZ,故选D.,9.(2014陕西,2
21、,5分)函数f(x)=cos 的最小正周期是 ( ) A. B. C.2 D.4,答案 B T= = =.故选B.,10.(2014天津,8,5分)已知函数f(x)= sin x+cos x(0),xR.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点 中,若相邻交点距离的最小值为 ,则f(x)的最小正周期为 ( ) A. B. C. D.2,答案 C f(x)= sin x+cos x=2sin ,由2sin =1,得sin = ,设x1,x2分别 为距离最小的相邻交点的横坐标,则x1+ =2k+ (kZ),x2+ =2k+ (kZ),两式相减,得 x2-x1= = ,所以=2,故f(x)=2sin 的
22、最小正周期为,选C.,11.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+) 的图象关于直线x= 对称,则的值是 .,答案 -,解析 本题考查正弦函数的图象和性质. 函数y=sin(2x+)的图象关于直线x= 对称,x= 时,函数取得最大值或最小值,sin=1. +=k+ (kZ),=k- (kZ), 又- ,=- .,12.(2015天津,14,5分)已知函数f(x)=sin x+cos x(0),xR.若函数f(x)在区间(-,)内单调递 增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=对称,则的值为 .,答案,解析 由已知得f(x)= sin ,令2k- x+ 2k+ ,kZ,由0,得 x
23、,kZ, 当k=0时,得f(x)的单调递增区间为 , 所以(-,) , 所以 解得0 , 又y=f(x)的图象关于直线x=对称,所以2+ =k+ , kZ,解得2=k+ ,kZ,又0 ,所以= .,13.(2015陕西,14,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin +k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 .,答案 8,解析 由y=3sin +k可知,ymin=-3+k,所以-3+k=2,即k=5,所以ymax=3+k=8.,14.(2014山东,12,5分)函数y= sin 2x+cos2x的最小正周期为 .,答案 ,解析 y= sin 2x+
24、cos2x= sin 2x+ = sin 2x+ cos 2x+ =sin + ,所以该函 数的最小正周期为.,15.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2 sin xcos x(xR). (1)求f 的值; (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.,解析 本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力. (1)由sin = ,cos =- , f = - -2 ,得f =2. (2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得 f(x)=-cos 2x- sin 2x=-2sin . 所以f(x)的
25、最小正周期是. 由正弦函数的性质得 +2k2x+ +2k,kZ, 解得 +kx +k,kZ. 所以, f(x)的单调递增区间是 (kZ).,考点一 三角函数的图象及其变换 (2013湖北,6,5分)将函数y= cos x+sin x(xR)的图象向左平移m(m0)个单位长度后,所得到 的图象关于y轴对称,则m的最小值是 ( ) A. B. C. D. 答案 B 将函数y= cos x+sin x的图象向左平移m(m0)个单位长度后,得到函数y=2sin的图象关于y轴对称,x=0为其对称轴方程,m+ = +k(kZ), m= +k(kZ).m0, 当k=0时,mmin= .选B.,C组 教师专用
26、题组,考点二 三角函数的性质及其应用 1.(2014辽宁,11,5分)将函数y=3sin 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数( ) A.在区间 上单调递减 B.在区间 上单调递增 C.在区间 上单调递减 D.在区间 上单调递增,答案 B 将y=3sin 的图象向右平移 个单位长度后得到y=3sin =3sin的图象, 当 x 时,- 2x- , y=3sin 在 上单调递增,故选B.,2.(2014四川,17,12分)已知函数f(x)=sin . (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若是第二象限角, f = cos cos 2,求cos -sin 的值.,解析 (1)因为函数y
27、=sin x的单调递增区间为 - +2k, +2k ,kZ,由- +2k3x+ +2k,kZ, 得- + x + ,kZ. 所以函数f(x)的单调递增区间为 - + , + ,kZ.,(2)由已知,有sin = cos (cos2-sin2), 所以sin cos +cos sin = cos cos -sin sin (cos2-sin2), 即sin +cos = (cos -sin )2(sin +cos ). 当sin +cos =0时,由是第二象限角, 知= +2k,kZ.此时cos -sin =- . 当sin +cos 0时,有(cos -sin )2= .,由是第二象限角,知c
28、os -sin 0, 此时cos -sin =- . 综上所述,cos -sin =- 或- . 评析 本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角与和差角公式,简单的三角恒等变换等基础知 识,考查运算求解能力,考查分类与整合、化归与转化等数学思想.,3.(2014福建,18,12分)已知函数f(x)=2cos x(sin x+cos x). (1)求f 的值; (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.,解析 解法一:(1)f =2cos =-2cos =2. (2)因为f(x)=2cos x(sin x+cos x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1 =
29、 sin +1,所以T= =. 由2k- 2x+ 2k+ ,kZ, 得k- xk+ ,kZ. 所以f(x)的单调递增区间为 ,kZ.,考点一 三角函数的图象及其变换 1.(2017北京东城期末,4)如图,已知函数f(x)=sin(x+),xR(其中0,-)的部分图象,那么 f(x)的解析式为 ( )A. f(x)=sin B. f(x)=sin C. f(x)=sin D. f(x)=sin,三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,答案 A 由图象可知T=2 =2, =1(故排除C,D选项). 又图象过(0,1),1=sin , = +2k(kZ). 又-, = ,f(x)=sin
30、 . 故选A.,一题多解 由图象可知T=2,=1,排除C,D. 将(0,1)代入A选项, f(0)=1,符合题意;代入B选项, f(0)=-1,不符合题意.,2.(2017北京朝阳二模,5)将函数f(x)=cos 2x图象上所有的点向右平移 个单位长度后得到函数 g(x)的图象,若g(x)在区间0,a上单调递增,则实数a的最大值为 ( ) A. B. C. D. ,答案 B 根据图象变换知g(x)=cos =cos =sin 2x. 易知g(x)在区间0,+)上的一个单调增区间是 ,于是0a ,故a的最大值为 .,3.(2016北京石景山一模,6)函数f(x)=2sin(x+) 的部分图象如图
31、所示,则,的值 分别是 ( )A.2,- B.2,- C.4,- D.4,-,答案 A 由题中图象知 = - = ,故函数f(x)的最小正周期T=,由T= =知,=2. 又图象过点 ,f =2sin =2, 即sin =1, 解得=- +2k,kZ. | ,=- .故选A.,4.(2016北京朝阳期中,5)要得到函数y=sin 的图象,只需将函数y=sin 2x的图象 ( ) A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位,答案 B y=sin =sin , 要得到y=sin 的图象,只需将函数y=sin 2x的图象向右平移 个单位.,5.(2018北京
32、朝阳一模,13)函数f(x)=Asin(x+) 的部分图象如图所示,则= ;= .,答案 - ;,解析 由题图可知A=2, f(0)=2sin =-1,则sin =- ,又| ,故=- . f =2sin =2,则 - = ,解得= .,6.(2018北京海淀二模,11)将函数f(x)=sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐 标不变,得到函数g(x)=sin(x+)的图象,则= ,= .,答案 ;,解析 变换之后的函数为g(x)=sin ,所以= ,= .,考点二 三角函数的性质及其应用 1.(2016北京海淀期中,5)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,下列结论中错误的是
33、( ) A. f(x)=cos 2x B. f(x)的最小正周期为 C. f(x)的图象关于直线x=0对称 D. f(x)的值域为- , ,答案 D f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,故A正确; f(x)的最小正周期为 =,故B正确; 易知f(x)=cos 2x为偶函数,故C正确; f(x)的值域为-1,1,故D错误.故选D.,2.(2016北京海淀期中,13)已知函数f(x)=sin(x+)(0).若f(x)的图象向左平移 个单位后所得 的图象与f(x)的图象重合,则的最小值为 .,答案 6,解析 将f(x)的图象向左平移 个单位后得到函数y=sin =sin 的图 象. 函数
34、图象向左平移 个单位后所得的图象与原图象重合, 函数图象平移了整数个最小正周期,即 的整数倍, = ,kZ,=6k,kZ. 0,的最小值为6.,3.(2018北京西城期末,15)已知函数f(x)=2sin2x-cos . (1)求f(x)的最小正周期; (2)求证:当x 时, f(x)- .,解析 (1)因为f(x)=2sin2x-cos =1-cos 2x- = sin 2x- cos 2x+1 = sin +1, 所以f(x)的最小正周期T= =.,(2)证明:因为0x ,所以- 2x- . 所以sin , 所以f(x) . 所以f(x)- .,试题分析 (1)根据二倍角的余弦公式、两角和
35、的余弦公式以及两角差的正弦公式化简函数, 得f(x)= sin +1,利用周期公式可得T= =;(2)由0x ,得- 2x- ,求得f (x)的值域,从而可得f(x)- .,4.(2018北京丰台一模,15)已知函数f(x)=2cos x(sin x+cos x)-1. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在0,上的单调递增区间.,解析 (1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x = sin . 所以f(x)的最小正周期T= =. (2)由- +2k2x+ +2k(kZ), 得- +kx +k(kZ). 当x0,时,单调递增区间为 和 .,
36、试题分析 (1)根据二倍角公式、两角和的正弦公式将原式化简,得到f(x)= sin ,根据 周期公式得到T= =;(2)由题意得到- +2k2x+ +2k(kZ),从而得到单调增区间, 再求0,上的单调增区间.,5.(2018北京顺义二模,16)已知函数f(x)=2sin xcos x- cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)若函数y=f(x)的图象与直线y=m没有公共点,求实数m的取值范围.,解析 (1)因为f(x)=2sin xcos x- cos 2x =sin 2x- cos 2x, (2分) =2sin , (5分) 所以f(x)的最小正周期T= =. (7分) (2
37、)由(1)知f(x)=2sin . “函数y=f(x)的图象与直线y=m没有公共点”等价于“方程2sin =m在xR内无解”.(9分) 函数f(x)=2sin 的值域是-2,2, (11分) 实数m的取值范围为(-,-2)(2,+). (13分),考点一 三角函数的图象及其变换 1.(2016北京海淀期末,7)已知函数f(x)= 则下列结论正确的是 ( ) A.x0R, f(-x0)-f(x0) B.xR, f(-x)f(x) C.函数f(x)在 上单调递增 D.函数f(x)的值域是-1,1,B组 20162018年高考模拟综合题组,答案 D 作出函数f(x)的图象,如图.结合图象知: f(x
38、)是奇函数,且在-3,-1上单调递减,在-1,1上单调递增,在1,3上单调递减,值域 为-1,1,故A、C错,D对. 对于B,存在x=0,使f(-0)=f(0),故B错.,思路分析 根据分段函数的表达式,作出图象,根据函数的单调性、值域以及奇偶性进行判断 即可.,2.(2017北京海淀一模,13)已知函数f(x)=sin x(0),若函数y=f(x+a)(a0)的部分图象如图所示, 则= ,a的最小值是 .,答案 2;,解析 由图象知 = - = ,所以T=. =2.f(x)=sin 2x. y=f(x+a)=sin2(x+a), 由题图知 在y=f(x+a)的图象上, sin =1. +2a
39、=2k+ ,kZ. a=k+ ,kZ. a0,a的最小值为 .,思路分析 根据图象求函数的周期,进而可求,得到y=f(x+a)的解析式,再代入图象上的已知 点求a,结合a0,即可求a的最小值.,解后反思 熟练掌握正弦型函数的图象与性质是解题关键.,3.(2018北京东城一模,16)函数f(x)=sin(x+) 的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式; (2)将函数y=f(x)的图象向左平移 个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,令F(x)=f(x)+g(x),求函数 F(x)的单调递增区间.,4.(2018北京西城一模,16)函数f(x)=2cos xcos +m的部分图象如图所示.
40、 (1)求m的值; (2)求x0的值.,解析 (1)依题意,有f =-1, (2分) 所以2cos cos +m=-1, 解得m=- . (4分) (2)因为f(x)=2cos xcos - =2cos x - = sin xcos x+cos2x- = sin 2x+ cos 2x=sin . (10分) 所以f(x)的最小正周期T= =. (11分) 所以x0= + = . (13分),考点二 三角函数的性质及其应用 1.(2018北京东城二模,16)已知函数f(x)=2sin +2 cos . (1)求曲线y=f(x)的对称轴方程; (2)当x 时, f(x)m恒成立,求实数m的最大值.
41、,解析 (1)f(x)=2sin +2 cos = sin + cos =2sin . 因为y=sin x的对称轴方程为x= +k(kZ), 所以 + = +k(kZ),即x= +2k(kZ). 所以曲线y=f(x)的对称轴方程为x= +2k(kZ). (7分) (2)因为0x ,所以 + . 所以当 + =,即x= 时, f(x)的最小值为0. 因为f(x)m恒成立,所以实数m的最大值为0. (13分),2.(2018北京海淀二模,16)已知函数f(x)=2cos xsin x- + . (1)写出y=f(x)的相邻两条对称轴间的距离; (2)若函数f(x)在区间0,上单调递增,求的最大值.
42、,解析 (1)f(x)=2cos x + =sin xcos x- cos2x+ = sin 2x- + = sin 2x- cos 2x=sin . 所以函数f(x)的最小正周期T= =. 所以曲线y=f(x)的相邻两条对称轴间的距离为 ,即 . (6分),3.(2017北京东城一模,15)已知点 在函数f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上. (1)求a的值和f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)在(0,)上的单调减区间.,解析 (1)点 在函数f(x)的图象上, f =2asin cos +cos =1. a=1. f(x)=2sin xcos x+cos 2x
43、=sin 2x+cos 2x= sin . f(x)的最小正周期T=. (2)由 +2k2x+ +2k,kZ, 得 +2k2x +2k,kZ. +kx +k,kZ. 函数f(x)的单调减区间为 (kZ). 函数f(x)在(0,)上的单调减区间为 .,思路分析 (1)将点 代入f(x)解析式中即可求得a,再利用辅助角公式化简f(x)即可求出最 小正周期. (2)将内层函数看作一个整体,利用正弦函数的单调性解出f(x)的单调区间,再根据k的取值,即可 得f(x)在(0,)上的单调减区间.,规范解答 在书写解题过程时注意不要跳步,表示出清晰的逻辑关系.,4.(2017北京朝阳一模,15)已知函数f(
44、x)=sin x(cos x- sin x). (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)在x0,上的单调递增区间.,解析 (1)因为f(x)=sin x(cos x- sin x) =sin xcos x- sin2x = sin 2x+ cos 2x- =sin - , 所以函数f(x)的最小正周期T= =. (2)由2k- 2x+ 2k+ ,kZ,得 2k- 2x2k+ ,kZ, 所以k- xk+ ,kZ. 所以函数f(x)在x0,上的单调递增区间是 和 .,思路分析 (1)根据二倍角公式和辅助角公式化简f(x)即可得最小正周期; (2)求出f(x)的单调递增区间,再根据x
45、0,得出所求.,方法点拨 第(2)问中求得函数f(x)的单调递增区间为 (kZ),k=0时,单调递增 区间为 ;k=1时,单调递增区间为 .将两个区间与0,取交集,可得所求单调递 增区间为 和 .,5.(2016北京西城期末,16)已知函数f(x)=cos x(sin x+ cos x)- ,xR. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若x(0,),求函数f(x)的单调递增区间.,解析 (1)f(x)=cos x(sin x+ cos x)- =sin xcos x+ (2cos2x-1)= sin 2x+ cos 2x =sin , 所以函数f(x)的最小正周期T= =. (2)由2k- 2x+ 2k+ ,kZ, 得k- xk+ ,kZ, 所以函数f(x)的单调递增区间为 ,kZ. 所以当x(0,)时, f(x)的单调递增区间为 , .,方法点拨 对于第(2)问,求出f(x)的单调递增区间为 ,kZ.因为x(0,),故可 取k=0,k=1,得到两个增区间: 和 ,再与(0,)取交集即可得到当x(0,)时f(x) 的单调递增区间.,
