一类多重组合优化问题的数学建模.doc

1、安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 0 页 共 35 页一类多重组合优化问题的数学建模摘 要组合优化问题是运筹学的一个重要分支，随着实践的不断发展和要求，它的古典模型求解方法不再适合于越来越多的新问题，因而有必要引入数学建模中的思想和方法来解决一些特定的复杂的组合优化问题。本文先介绍了优化理论的进展，然后总结了多重组合优化问题常用的优化方法。以此为基础，运用数学建模的思想和方法，对现如今的热点问题太阳能小屋高效发电问题进行详细的分析，运用多重组合优化的方法，建立数学模型，解决了此类组合优化问题。关键词：多重组合优化；数学建模；太阳能小屋；优化模型；安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 1

2、 页 共 35 页AbstractCombinatorial optimization problem is an important branch of operational research. With the continuous development of practice and requirements, its classical model approaches are no longer suitable for a growing number of new problems. Thus it is necessary to introduce the thoughts

3、 and methods of Mathematical modeling to solve some particular and complex combinatorial optimization problems. Firstly, this paper introduces the progress of optimization theory, and then summaries the commonly used optimization methods for multiple combinatorial optimization problems. On this basi

4、s, this paper uses the thoughts and methods of Mathematical modeling to analyze the efficiency power generating of Solar Cabin, which is a hot topic nowadays. It uses multiple combinatorial optimization methods and establishes the mathematical model, solving this type of combinatorial optimization p

5、roblems. Finally, it points out the shortcomings and discusses briefly the potential applications of this mathematical model.Key words: multiple combinations; optimization method; Solar Cabin; the optimization model 安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 2 页 共 35 页目录摘 要 .1Abstract2第一章 绪论 .41.1 课题背景 .41.2 组合优化理论进展 .41.

6、3 本文的设计思想 .5第二章 组合优化理论 .62.1 定义 62.2 数学模型 .62.3 特点 .62.4 组合优化的典型问题 .72.5 组合优化问题的求解方法 .72.5.1 线性规划问题 .72.5.2 整数规划模型 112.5.3 多目标规划模型 12第三章 应用实例 太阳能小屋设计 133.1 问题概述 133.2 问题分析 133.3 模型假设 143.4 符号说明 143.5 铺设方案分析 .153.6 局部最优铺设方案的确定 153.6.1 不同侧面光伏电池的选择 163.6.2 小屋各个面光照强度的计算 183.6.3 光伏电池的铺设方法 213.6.4 变器以及串并联

7、形式的选择 243.7 总发电量、经济效益等参数的计算 .253.7.1 总发电量 263.7.2 总经济效益 263.73 成本及投资年限的计算 .27总结 .28致谢 .29参考文献 .30附录 .31安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 3 页 共 35 页第一章 绪论1.1 课题背景在工程技术、经济管理、科学研究和日常生活等诸多领域中，人们经常遇到各种决策问题,如在一系列客观或主观的限制条件下，寻求使所关注的多个或某个指标达到最大（最小）的决策。例如，结构设计要在满足强度要求条件下选择材料的尺寸，使其总重量最轻；资源分配要在有限资源约束下制定各用户的分配数量，使资源产生的总效益最大；

8、运输方案要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用最低；生产计划要按照产品工艺流程和顾客需求，制定原料、零件、部件等订购、投产的日程和数量，尽量降低成本使利润最高。上述决策问题通常称为优化问题。在给定有限集的所有具备某些条件的子集中，按某种目标找出一个最优子集的一类数学规划，又称组合规划。从最广泛的意义上说，组合规划与整数规划这两者的领域是一致的，都是指在有限个可供选择方案的组成集合中，选择使目标函数达到极值的最优子集。组合最优化发展的初期，研究一些比较实用的基本上属于网络极值方面的问题 ，如广播网的设计 、开关电路设计、航船运输路线的计划、工作指派、货物装

9、箱方案等。自从拟阵概念进入图论领域之后，对拟阵中的一些理论问题的研究成为组合规划研究的新课题，并得到应用。现在应用的主要方面仍是网络上的最优化问题，如最短路问题、最大（小）支撑树问题、最优边无关集问题、最小截集问题、推销员问题等。而多重组合优化，则是在完成一个组合优化的基础上，按照纵向思维，层层推进，继续完成下一步组合优化问题，最终达到圆满解决问题的能力。常见的优化方法有无约束优化问题的解法、约束优化问题的解法、线性规划的解法、非线性规划问题的解法。1.2 组合优化理论进展最优化是个古老的课题，长期以来，人们对最优化问题进行着探讨和研究。早在 17 世纪，英国科学家 Newton 发明微积分的

10、时代，就已经提出极值问题，后来又出现 Lagrange 乘数法。1847 年法国数学家 Cauchy 研究了函数值沿什么方向下降最快的问题，提出最速下降法。1939 年前苏联数学家 JI.B.KaHTOPOBHU 提出了解决下料问题和运输问题这两种线性规划问题的求解方法。人们关于最优化问题的研究工作，随着历史的发展不断深入。但是，任何科学的进步，都受到历史条件的限制，直到 20 世纪三十年代，最优化这个古老课题并未形成独立的有系统的学科。20 世纪 40 年代以来，由于生产和科学技术研究突飞猛进地发展，特别是电子计算机日益广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为一种 迫切需要，而且有了求解的有力工

11、具，因此，最优化理论和算法迅速发展起来，形成一个新的学科。至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 4 页 共 35 页等许多分支。最优化理论和算法在实际应用中发挥越来越大的作用。现如今典型的组合优化问题有：旅行商问题(Traveling Salesman ProblemTSP)、加工调度问题(Scheduling Problem，如 Flow-Shop，Job-Shop)、0-1 背包问题(Knapsack Problem)、装箱问题(Bin Packing Problem)、图着色问题(Graph Coloring

12、 Problem)、聚类问题(Clustering Problem)等。这些问题描述非常简单，并且有很强的工程代表性，但最优化求解很困难，其主要原因是求解这些问题的算法需要极长的运行时间与极大的存储空间，以致根本不可能在现有计算机上实现，即所谓的“组合爆炸” 。正是这些问题的代表性和复杂性激起了人们对组合优化理论与算法的研究兴趣。1.3 本文的设计思想针对上述课题背景中所论述的组合优化问题在求解中遇到的难题，本文在求解中将不会采用现有的方法，因为采用这些方法很难再计算上实现。本文将研究的是一类较为特殊的组合优化问题模型，由于现如今对组合优化问题尚未形成系统而成熟的数学研究理论和方法，因此采用传

13、统的数学优化方法很难或者说根本无法解决本文中的太阳能小屋设计这样一个工程设计问题，因为这个问题所要考虑的优化目标过多，很难精确地用传统的数学优化理论解决。因此，本文另辟蹊径。最优化理论与算法是一个重要的数学分支，又称数学规划，它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。对工程问题进行优化设计，本质上是根据优化设计理论，采用优化设计算法，运用计算机高质量高速度的完成设计任务。为此，首先要把工程设计问题转化为数学模型，即用数学表达式描述设计工程问题；然后，按照数学模型的特点选择优化设计方法及其计算程序，运用计算机求解最优解，即最优设计方案。因此，工程优化设计包括建立数学

14、模型和运用优化设计方法求解这两个方面的重要内容。工程优化设计成败的关键是从工程实际命题中抽象出的正确的数学模型。这也是本文解决实际问题时所用到的最核心的设计思想，即采用数学建模的方法将实际的太阳能小屋设计的问题转化为一个多重组合优化模型，再利用数学建模的一般思路，借助于计算机程序设计，获得太阳能小屋的最佳设计方案。安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 5 页 共 35 页第二章 组合优化理论2.1 定义组合优化是通过对数学方法的研究去寻找离散事件问题的最优编排、分组、次序或筛选等等，其目标是从组合问题的可行解集中求出最优解，通常可描述为：令为所有状态构成的解空间， 为状态 对应的目标函数值，

15、要1,2sn Csisi求寻找最优解 ，使得对于所有的 ，有 。组合优化往往涉*si*mn 及排序、分类、筛选等问题，它是运筹学的一个重要分支。2.2 数学模型设 是有限集， 是 到实数集 的映射，即 是一个定义在 上的函数，求FcFRcF，使得对于任意的 有fycfy上述问题简称为组合优化问题，简记为：求 。minfF一个组合优化问题可以用二元组 表示，其中 表示可行解区域， 中的任何, F一个元素 称为该问题的可行解， 表示目标函数，满足f c的可行解 称为该问题的最优解。*min|cfcfF*f2.3 特点 组合优化问题的特点一是可行解集合 是有限集合，理论上讲，只要将有限F个点的目标值

16、逐一比较，该问题的最优解一定可以得到，但是枚举是以时间为代价的。对于问题规模较小，枚举时间是可以接受的；然而，随着问题规模的增大，中解的个数会迅速增大，实际上要想遍历所有的解，几乎是不可能的。设问题的F规模为 ，如果存在一个多项式 ，使得算法最多执行 个基本步骤便可以得npnpn到解答，则这种算法称为多项式时间算法。多少年来，人们试图寻找解答各种组合问题的多项式算法，这种研究工作在一些问题上已经取得成功，其中包括最短路问题、最小支撑树问题、网络最大流问题、最小费用流以及运输问题等等。本文最后在寻找逆变器时，采用的便是多项式算法，因为此时逆变器的选择方案有限，可以用枚举的方法获得最佳方案选择。一

17、般来说，组合优化问题通常带有大量的局部极值点，往往是不可微的、不连续的、多维的、有约束条件的、高度非线性的 NP 完全(难)问题 非线性的 NP 完全(难)问题； 由于组合优化问题的解空间经常是离散的集合，所以组合最优化无法利用导数信息； 综合上述特点，可以得出，精确地求解组合优化问题的全局最优解的“有效”安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 6 页 共 35 页算法一般是不存在的。因此，才会出现那么多典型的组合优化问题，却没有相应的解决方案和算法。2.4 组合优化的典型问题在实际的的生产、生活中，组合优化问题有很多，也出现了一些经典的组合优化问题模型:覆盖问题、装箱问题、背包问题、指派问题

18、、旅行商问题、影片递送问题、最小生成树问题、作业调度问题。2.5 组合优化问题的求解方法虽然到目前为止，还没有形成对组合优化问题行之有效的解决方法，但对于某些特定的问题，已经有了比较好的解决方法，我们也相信，随着对组合优化理论的不断研究，以及相关科学技术的发展，对组合优化问题的解决方案会越来越多、越来越有效、越来越系统。以下列举几种典型的方法：完全枚举法、准完全枚举法、降序排列法、贪婪法、随机法、松弛法、分割法、分支定界法、邻域搜索法、 多起点邻域搜索法、人工智能法。从概念上来讲，这里所列的一些方法，有些是具有涵盖关系，比如说降序排列法，也应该属于贪婪法的一种。下面，本文先介绍目前已经发展出来

19、的比较优秀的算法，其中一些算法，本文在求解中将会用到。2.5.1 线性规划问题变量确定称为决策变量，是问题中要确定的未知量 ，决策变量为可控的连续变量约束条件决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，通常表达为含决策变量的线性等式或不等式目标函数决策变量的线性函数，按优化目标分别在目标函数前加上 或 。解决线maxin性规划问题常用单纯形法，具体如下：1.单纯形表法单纯形法求解线性规划的思路：一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数，这时有不定的解。但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形，每一个单纯形可以求得一组解，然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小，决定下一步选择的单纯形。这就

20、是迭代，直到目标函数实现最大值或最小值为止。这样问题就得到了最优解。为了确定初始基可行解，要首先找出初始可行基，其方法如下：安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 7 页 共 35 页对于线性规划问题 11max(1)20,2,njnjjzcPbxn从 中一般能直接观察到存在一个初始可行基),21(njP1210(,)01mBP1 对所有约束条件是“ ”形式的不等式，可以利用化为标准型的方法，在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。经过整理，重新对进行编号，则可得到下列方程组),21;,(njmiaxjj 及1,112, 2,1 (*)0,mnmmnjxaaxbxx 2 将(*)* MERGEF

21、ORMAT Error! Reference source not found.式与目标函数组成个变量，m+1 个方程的方程组。1n 02121,1,21,1 nmnmmnm xcxcxczbaaxxx为了便于迭代运算，可将上述方程组写成增广矩阵安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 8 页 共 35 页 0110010 2112,1,212 mnmnmnbbcccaaxxxz若将 Z 看做不参与基变换的基变量，它与 的系数构成一个基，这时x,2可采用行初等变换将 变换为零，使其对应的系数矩阵为单位矩阵。得到m,211, 112122,1, 11000110mnnmmni iizxxbaaaa

22、bccc 可根据增广矩阵设计下列初始单纯形表 jc1c mc1 ncBXb1x x1 nxi1cx11 0 1,ma 1na122b0 0 2,1 2n2 mcxmb0 1 ,1ma mnajz0 0 1,ic 1nic安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 9 页 共 35 页njac xccbCxXmiij ji nj mB m,.21, ;,.;,.;,.1 212121 的 检 验 数 是， 对 应 各 非 基 变 量最 后 一 行 称 为 检 验 数 行 规 则 计 算 后 填 入 ；变 量 后 ， 按列 的 数 字 是 在 确 定 换 入 系 数行 中 填 入 基 变 量 的 价

23、值 端 的 常 数 ；列 中 填 入 约 束 方 程 组 右 的 ；它 们 是 与 基 变 量 相 对 应系 数 ， 这 里 是列 中 填 入 基 变 量 的 价 值 是列 中 填 入 基 变 量 ， 这 里 行第 所 对 应 的 列 向 量用 高 斯 消 去 法 ） ， 把为 主 元 素 进 行 迭 代 （ 即以 步 。为 换 出 变 量 ， 转 入 下 一可 确 定 ）（ 规 则 计 算为 换 入 变 量 ， 按确 定根 据 一 步 。停 止 计 算 。 否 则 转 入 下 则 此 问 题 是 无 界 ，的 系 数 列 向 量对 应中 ， 若 有 某 个，在 步 。止 计 算 。 否 则

24、转 入 下 一则 已 得 到 最 优 解 ， 可 停的 检 验 数 是检 验 各 非 基 变 量变 换 为 laaa xxabxPxnmjjxmklkk klklkikabkkj kkkjiijj i 010P60in,)(5 ,0,104,3211 将 列中的 换为 ，得到新的单纯形表。重复 3-6，直到终止。BXlxk安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 10 页 共 35 页2.5.2 整数规划模型整数规划模型比线性规划增加了某些约束条件，来限制全部或部分决策变量必须取整数值。与线性规划相比决策变量是离散的变量。因此对求最优整数解的问题，有必要另行研究。我们称这样的问题为整数规划。解决

25、整数规划问题常采用以下方法：1 分支界定解法分支界定法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。步骤如下：将要求解的整数规划问题称为问题 A，将它与相应的线性规划问题称为 B。B 没有可行解，这时 A 也没有可行解，则停止。B 有最优解，并符合问题 A 的整数条件，B 的最优解即为 A 的最优解，则停止。B 有最优解，但不符合问题 A 的整数条件，记它的目标函数值为 。0z用观察法找问题 A 的一个整数可行解，一般可取 试探，求得其0,1,jxn目标函数值，并记作 。以 表示问题 A 的最优目标函数值；这时有z*进行迭代。第一步：分支，在 B 的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 ，其值jx为 ，

26、以 表示小于 的最大整数。构造两个约束条件jbjjb1jx和将这两个约束条件，分别加入问题 B，求两个后继规划问题 。不考虑整12B和数条件求解这两个后继问题。定界，以每个后继问题为一分支标明求解的结果，与其他问题的解的结果中，找出最优目标函数值最大值作为新的上界 。从已符合整数条件的各分支中，找出z目标函数值为最大者作出新的下界 ，若无可行解， 。0z第二步：比较与剪支，各分支的最优目标函数中若有小于 者，则减掉这支，z不再考虑。若大于 ，且不符合整数条件，则重复第一步骤。一直到最后得到z.,21,* njxz 为 止 ， 得 最 优 整 数 解2 割平面法割平面法首先不考虑变量是整数这一条

27、件，但增加线性约束条件（割平面）使得由原可行域中切割掉一部分，这部分只包含非整数解，但没有割掉任何整数可行解。这个方法就是指出怎样找到适当的割平面，使切割后最终得到这样的可行域，它的一个有整数坐标的极点恰好是问题的最优解。解法的关键就是怎样构造一个这安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 11 页 共 35 页样的“割平面” 。步骤如下：令 是相应线性规划最优解中为分数值的一个基变量，由单纯形表的最终表ix得到 )1.(.ikiibxa其中 （Q 是指构成基变量号码的集合） ， （K 指构成非基变量号码的ik集合） 将 都分解成整数部分 N 与非负真分数 之和，即ikba和 f,01ii ik

28、ikkbfaf其 中其 中而 N 表示不超过 b 的最大整数。如： 5.01-,45.0323f，则若 ，则若代入(1) 得 kiikiii xNx现在提出变量（包括松弛变量）为整数的条件(当然还有非负的条件)，这时，上式由左边看必须是整数，但由右边看，因为 ，所以不能为正，即01ifiikfx这就是一个切割方程。2.5.3 多目标规划模型在多指标的最优化问题背景下所建立起来的数学规划问题即为多目标规划问题。（多目标决策） 在实际问题中，可能会同时考虑几个方面都达到最优，比如企业可能会要求产量最高，成本最低，质量最好，利润最大，环境达标等。多目标规划能更好地兼顾统筹处理多种目标的关系，求得更切

29、合实际要求的解。多目标规划可以按照实际情况分主次，轻重缓急来考虑问题。也可直接用数学方法求非劣解。分层序列法将目标按重要性的次序分成最重要的目标、次重要的目标，如，然后按顺序将一个多目标规划问题转化为一系列单目标优化问)(,)(,21xffxp题来求解。步骤：主要目标 的最优集合为 ，再在集合 内求次重要目标 的最优解，1f1R1)(2xf设此时的最优解集合为 ，如此继续进行，直到求出最后一个目标函数的最优解。2第一步 )(min110xffRx第二步 i221ffx安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 12 页 共 35 页第 p 步 )()min1ppRxxff最后求出的 为最优解。 同

30、样的组合优化问题，采用不同的近似求解方法，所得到的解、以及解的精度是不一样的。同样一个算法，用于不同的问题，其性能与效率也不尽相同。某些算法，只要稍微做些改变，就有可能导致解的精度或搜索效率的大幅度提高。因此，对于什么样的问题，应该采用什么样的方法，怎样使用这种方法才更有效果，在这方面人们已经进行了很多的研究。第三章 应用实例太阳能小屋设计3.1 问题概述在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成 220V 交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸

31、多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。附件 1-7 提供了相关信息。请参考附件提供的数据，对下列问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池 35 年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按 0.5 元 /kWh 计算）及投资的回收年限。问题 1：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件 2）的部分外

32、表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。在求解该问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。应注意分组连接方式及逆变器的选配。安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 13 页 共 35 页3.2 问题分析解决这一问题不仅仅是组合优化理论的应用，太阳能小屋的推广使用对于解决全球的能源危机和环境污染都有十

33、分重要的意义。而太阳能小屋的设计建设具有系统性，在小屋的设计建设过程中，如何利用有限的面积使得光伏发电系统具有高效率低成本，至关重要的是其表面光伏电池的优化铺设和电池组件的联接方式。如果能行之有效的解决此类问题，对于今后类似的有关设计类的问题，都可以采用类似的方法。本题显然是一个组合优化问题，解决的关键是如何处理几个最优的目标，这也是难以处理的地方，采用传统的优化方法很难解决。问题要求采用贴附安装方式对小屋的外表面进行光伏电池的优化铺设。应对不同型号的太阳能板进行分析，计算出不同的光照条件下单位面积的电池板在单位时间内创造的收益和成本，进而可以估算出未来 35 年内各太阳能板的预期收益。然后比

34、较不同光照条件下不同型号的光伏电池的收益，分析出屋顶的不同侧面应优先选择的电池类型。在不同侧面的电池铺设上，可以利用贪心算法来寻找最大覆盖方案，从而获得较大的总发电量。然后，对不同侧面电池组件的串并联方式进行优化设计，尽量减少逆变器成本。最后，求出最终方案下的总效益、发电总量以及回收年限。该问题可以看做是一个全局优化问题。每一种铺设方案都分为三个步骤，即选择光伏电池、选取覆盖方案和光伏组件的串并联。逆变器的选择取决于光伏组件的串并联方式的选择，从而影响整个系统的成本。每一种光伏组件的串联方式都需要一种满足匹配条件且成本最小的逆变器与其相对应。对不同型号光伏电池的选择，覆盖方案的选取和光伏电池的

35、串并联形成了对方案的约束条件，即一个可行域。我们的目标就是找出效益最大的方案。方案难点是决策变量多，利用软件无法在较短的时间内得到全局的最优解。我们将整个设计过程按以上三个步骤分解为三个问题进行求解。根据“贪心算法”的思想，分步骤找出每个子问题的最优解，将得到的局部最优方案作为最终的铺设方案。对于逆变器的选择，用“多项式算法”枚举每一种逆变器选择的方案，在得出的所有结果中，从中比较得出最后的最优选择方案。3.3 模型假设 只有处于同一表面并且型号相同的电池板可以串联。 光伏电池在光照强度低于电池表面太阳光辐照阈值时不能工作。 假设大同市在未来 35 年内的气象条件与典型气象年相同。 假设不考虑

36、周围遮挡物对于小屋光照条件的影响。 （5）逆变器的体积对于铺设方案的影响。安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 14 页 共 35 页3.4 符号说明符号 描述P净利润E发电总价值C成本S太阳光辐射强度D没峰瓦电池的价格N总发电量3.5 铺设方案分析该问题是全局优化问题，每一种铺设方案都分为三个步骤，可以按照多重组合优化的思想，即选择光伏电池、选取覆盖方案和光伏组件的串并联。逆变器的选择直接取决于光伏组件的串并联，从而影响整个系统的成本，每一种光伏组件的串联方式都需要一种满足匹配条件且成本最小的逆变器与其相对应。 对同型号光伏电池的选择，覆盖方案的选取和光伏电池的串并联形成了对方案的约束条件

37、，即一个可行域。我们的目标就是找出效益最大的方案。方案难点是决策变量多，利用软件无法在较短的时间内得到全局的最优解。我们将整个设计过程按以上三个步骤分解为三个问题进行求解。根据“贪心算法”的思想，分步骤找出每个子问题的最优解，将得到的局部最优方案作为最终的铺设方案。 3.6 局部最优铺设方案的确定目标分析1全年发电量最大 maxsuN其中： 36562410()ijjiiikstdt.9.831.5sumNN2费用最小 其中：12Min（ c+）62411ijpjickDw1824 Lijj ijicLp ij其 中 为 第 个 逆 变 器 的 价 格 。 为 房 屋 的 第 个 表 面 的

38、第 种 类 型 的 逆变 器 的 数 目 。3目标整合：利润最大 21maxcEp其中： sumE0.5N约束分析1、电路约束安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 15 页 共 35 页（1）逆变器输入电压的峰值小于允许输入电压范围的最大值 ),(max),(axilUjiU(i, j)表示第 i个光伏阵列的第 j并联串的电压， 表示第i 个光伏阵列的型号逆变器的允许输入电压。il（2）光伏电池组的输出功率小于等于逆变器的输入容量 jnIpax表示第 个光伏阵列的输出功率， 表示第 个光伏阵列逆变器的额定电压与额ipi jUi定电流2、面积约束小屋共由六个面组成，以每个面左下角顶点为原点建立

39、坐标系 ，每个光伏电池xoy阵列的左下角坐标为 ，第 组光伏电池阵列的长为 ，宽为 ，则第 组光(,)kxyi kakbi伏电池阵列内部可表示为： ,2 iiiiiinii wyxuRwuN东面不可铺设光伏电池的区域可表示为： 250,4503),(east南面不可铺设光伏电池的区域可表示为： 9)170()175(),( )2309,87()21,322 wuRw usouthn北面不可铺设光伏电池的区域可表示为： 2, ,0(450,161)()8048nrt w面积较大的屋顶不可铺设光伏电池的区域可表示为： 21.751.3,703, wuRwutop则面积约束可表示为：(,)south

40、.,nr()tpiiiiNxyeast最优铺设模型 12max(,)south.,nr()tpaxiiiinjpEcNyestUI安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 16 页 共 35 页3.6.1 不同侧面光伏电池的选择选择出不同侧面最优的光伏电池可按以下步骤选择：根据题目中所给条件，写出转换效率 ，光伏电池的输出功率 表达itiWt式，分析出单位面积的第 种类型光伏电池在特定时间内创造的总利润 。i iP将屋顶斜面等效为它在水平面和铅垂面的投影，屋顶南面与北面的散射辐射强度可以根据各自倾角进行直接计算。得到屋顶南北面的总辐射强度 随着时间iSt的变化规律。而由题目所给附件容易得出小屋周

41、围的四个侧面光辐射强度 随时i间的变化规律。将积分运算转化为求和运算，借助 mathmatica 编程得到小屋的不同面上采用不同类型的光伏电池的单位利润。比较不同光照条件下不同型号的光伏电池的收益，分析出不同侧面应优先选择的电池类型。具体操作如下：不同类型的光伏电池有不同的面积、功率以及能量转换效率，无法直接进行比较。从总效益最大的角度来考虑，当面积、气象条件均相同时，我们应该选取同一时间（如一年）内创造的净收益（即产生电能价值与电池成本之差）最大的光伏电池。下面进行具体计算以确定不同光照条件下应该选用的光伏电池的类型。将附件 3 中 24 种不同类型的光伏电池按照表中所给顺序编号为 。假1,

42、24设第 种类型的太阳能电池 时刻接受到的总的太阳光的辐射强度为1,24i t，面积为 ，每峰瓦的价格为 ， 时刻光伏电池转换效率为 ；则iStiAiDit与之间存在着一定的函数关系，令it iitfSt光伏电池的输出功率 是太阳的辐射强度 和转换效率 的乘积，即iWt i it.iiitt安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 17 页 共 35 页根据实际情况可知， 和 都是关于 的分段函数，当光的辐射强度itiWt()iSt小于电池表面太阳光辐照阈值( 或者 )时，光伏电池不工作，从而280/m230/转换效率 和 为零；随着光的辐射强度的增加, 保持为一常数，itit it随着 的增加

43、而线性增加；当光的辐射强度大于一定值时，总的输出功率iWtiS将保持不变，转换效率 将随着光照强度的增加而减小。 和与 之ititiSt间的具体函数关系可以根据附件 3 中的数据分析得到。以产品型号为 的光1A电池为例，计算结果如下： 21 2121 211080/.84%/60250/StWmttStt根据公式得： 21 2111 221080/.84/6/025/StWmttWt t将单位面积的第 种类型光伏电池在时间 内创造的总利润记为单位利润 ，则i 2, iP210. 1,23tiipi idtDWPA:上式中， 代表第 种类型的光伏电池的峰值功率， 为计算积分的时间区间，piW12

44、,t本文中取为 35 年。3.6.2 小屋各个面光照强度的计算在小屋的不同面上，光照条件存在着很大的差异，这对于光伏电池的选择有重要的影响。为了计算小屋的不同面上单位利润 的值进而分析应该选用的电池型号，ip需要首先计算出不同面上在一年中的光照强度变化规律。 利用题中所给的数据容易得到小屋周围的四个侧面光辐射强度随时间的变化规安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 18 页 共 35 页律。而对于屋顶面，由于它与水平面存在一定的夹角，需要单独进行计算。下面着重分析屋顶的南北面的光辐射强度。 某一平面接受的总的太阳光辐射强度可以分为法向直射辐射强度和水平面散射辐射强度两个方向。直射辐射强度可转化

45、为垂直于屋顶的辐射强度的大小来计算。而屋顶面的散射辐射强度的大小则可按照公式来统一计算。因此，屋顶南面辐射强度的计算关键在于求出方位角和太阳高度角，方位角和太阳高度角的具体计算方法可以参照给定的附件。再利用这两个角度将法向直射的辐射强度转化为垂直于屋顶方向计算，屋顶南面与北面的散射辐射强度的高度角可以根据各自倾角进行直接计算，并将两者相加。最终，可以得到屋顶南北面的总辐射强度随着时间的变化规律。Zn法 向 量hAXY图 1 辐射强度转化示意图如上图所示 每一束光线可以用空间中的向量 表示，则 X，Y，Z 方向的辐射强度分量可以写为 ，对于屋顶南面，平面上一向量可表示为coshinxAyz,从而

46、其法向量 可写为 ,从而(cos,0in)(sin,0co) 垂直于屋顶方向的辐射强度的可表示为：(,)(i,cos)(ihshcos)xyz AAh)其 中 为 屋 顶 倾 斜 角 ， 为 太 阳 高 度 角 ,A为 太 阳 方 位 角 顶南接收到的水平面散射的辐射强度可表示为：。*(1cos)/2水 平 面 散 射 的 辐 射 强 度 顶南受到的总辐射量=安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书第 19 页 共 35 页sincohscohs)+(1cos)/2A 法 向 直 射 辐 射 强 度 ( 水 平 面 散 射 的 辐 射 强 度综上，由上可求得顶南的辐射强度，同理可求得屋顶北的辐射强

47、度。利用题中所给的数据，借助于 Mathematica 软件编程得到小屋的不同面上采用不同类型的光伏电池时的单位利润（表 1） 。 表1 不同面上采用不同类型的光伏电池时的单位利润（元）太阳能板类型 顶南 顶北 东 南 西 北A1 1220.99 -2197.99 -1423.5 -183.001 -654.346 -2376.19A2 1187.81 -2190.57 -1425.27 -199.503 -665.251 -2366.65A3 1808.07 -1988.54 -1128.5 249.014 -274.393 -2186.42A4 1198.63 -2151.31 -1392.46 -177.006 -638.835 -2325.91A5 1085.77 -1955.57 -1266.63 -163.141