1、中值定理及应用一、基本概念定理1、极值点与极值设连续 ，其中 。若存在 ，当)(Dxfyx00时，有 ，称 为 的极大点；若存在 ，|00x)(0)(f当 时，有 ，称 为 的极小点，极大点和极| )(xff0x小点称为极值点。2、极限的保号性定理定理 设 ，则存在 ，当 时，)(0)(lim0Axf |0x，即函数极限大于零则邻域大于零；极限小于零则邻域小于零。)(0xf【证明】设 ，取 ，因为 ，由极限的定li0xf 020Axf)(lim0义，存在 ，当 时， ，于是 。| 2|)(|xf023、极限保号性的应用【例题 1】设 ，讨论 是否是极值点。2|1|)(lim,0)(xff 1【
2、例题 2】 （1）设 ，讨论 是否是 的极值点；afa)(xf（2）设 ，讨论 是否是 的极值点。0)(fx)(f【解答】 （1）设 ，即 ，由极限的保号性，存在 ，f 0limaxax 0当 时，有 。|0ax)(f当 时， ；当 时， 。),()(ff),()(afxf显然 不是 的极值点。xx（2）设 ，即 ，由极限的保号性，存在 ，当0)(af 0)(limaxfax 0时，有 。|0x)(f当 时， ；当 时， 。),(ff),()(afxf显然 不是 的极值点。ax(x【结论 1】设连续函数 在 处取极值，则 或 不存在。)fa0)(af)(f【结论 2】设可导函数 在 处取极值，
3、则 。)(xfa0)(af二、一阶中值定理定理 1（罗尔中值定理）设函数 满足：（1） ；（2） 在)(f ,)(bCxf)(xf内可导；（3） ，则存在 ，使得 。),(ba)(baf,a0)(f定理 2（Lagrange 中值定理）设 满足：（1） ；（2） 在)(xf ,)(xf )(xf内可导，则存在 ，使得 。),( ,ab【注解】（1）中值定理的等价形式为：，其中 ；)()(abfafb),(a，其中 。10（2） 对端点 有依赖性。,（3）端点 可以是变量，如 ，其中 是介于 与ba )()(axfafxa之间的 的函数。x定理 3（Cauchy 中值定理）设 满足：（1） ；（
4、2）)(,gf ,)(,bCgf在 内可导；（3） ，则存在 ，使得)(,gf,ba),(,0bax a。)()(gff题型一：证明 0)(nf【例题 1】设 ， ，证明：存在3,0)(Cxf13(,21)(ff使得 。3,0(【例题 2】设曲线 ， ，在 内二阶可导，)(:xfyL),ba,(baCxf),(连接端点 与 的直线与曲线 交于内部一点)(,afA,BL，证明：存在 ，使得 。),(bcfcC),(0)(f【例题 3】设 ，在 内可导，且 ，证明：存在,(Cxf,baba，使得 。),(a0)题型二：结论中含一个中值 ，不含 ，且导出之间差距为一阶ba,【例题 1】设 ，在 内可
5、导， ，证明：存在,)(baCxf),( 0)(ff，使得 。,(ba0f【例题 2】设 ，在 内可导， ，证明：存,)(,xgf ),(ba)(bfaf在 ，使得 。),(f【例题 3】设 ，在 内二阶可导，且 ，证明：存在1,0Cxf),( )1(0f，使得 。)1,0(2)(ff题型三：含中值 ,情形一：含中值 的项复杂度不同,【例题 1】设 ，在 内可导，且 ，证明：存在,)(baCxf),( 1)(bfaf，使得 。,ba1fe【例题 2】设 ，在 内可导 ，证明：存在 ，,)(xf ),()0(),(,ba使得。)()fbaf情形二：含中值 的项复杂度相同,【例题 1】设 ，在 内
6、可导，且 。1,0)(Cxf),( 1)(,0)(ff（1）证明：存在 ，使得 。ccf1（2）证明：存在 ，使得 。),(,)(f【例题 2】设 ，在 内可导，且 ，证明：存在10)Cxf, 1)(,0f，使得 。1,0(,3)(2ff三、高阶中值定理泰勒中值定理背景：求极限 。30sinlimx定理 4（泰勒中值定理）设函数 在 的邻域内有直到 阶导数，则有)(xf01n，)()(!2)()( 00)(20000 xRxfxffxf nn且 ，其中 介于 与 之间，称此种形式的余项为拉格nnnfR)()!1)(0(0x郎日型余项，若 ，称此种形式的余项为皮亚诺型余项。0nnxo特别地，若
7、，则称0x，)(!)0()(!2)()( 20 xRnfxfff n为马克劳林公式，其中 。)1()!1()nnfR【注解】常见函数的马克劳林公式1、 。)(!nx xoe2、 。)()!12(!3sin 122nnxo3、 。)()!(!1co22 nnxx4、 。no5、 。)()1(1xx6、 。2)ln( 1nno专题一：泰勒公式在极限中的应用【例题】求极限 。30silimx专题二：二阶保号性问题设函数 的二阶导数 ，这类问题主要有两个思路：)(xf )0(f思路一：设 ，则 单调增加0x【例题 1】设 在 上满足 且 ，证明：对任意的)(xf),00)(xf)(f有 。,0babafa【例题 2】设 在 上满足 且 ，证明：)(xf),)(xf 1)(,2)(aff在 内有且仅有一个零点。)(xf,思路二：重要不等式设 ，因为 ，0)(f 2000 )(!)()( xfxfxff 所以有，)()(00fxff其中等号成立当且仅当 。【例题 1】设 ， ，且 ，证明：),()Cxf (xf 1)(lim0xf。xf)(【例题 2】设 ，证明：对任意的 及)(0)bxaf ),2(,nibai 且 ，证明：,1(0niki121nkk。)()()()212 nn xfkxffxxf 【例题 3】设 且 ，证明：,0)(Cf0。3102dx
