1、131.3 复数的几何意义明目标、知重点 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.4.理解共轭复数的概念1复数的几何意义(1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数与点、向量间的对应复数 z a bi(a， bR)一一 ,对应 ,复平面内的点 Z(a， b)；复数 z a bi(a， bR)一一 , 平面向量 ( a， b) 对 应 OZ 2复数的模复数 z a bi
2、(a， bR)对应的向量为 ，则 的模叫做复数 z 的模，记作| z|，且| z|OZ OZ .a2 b23共轭复数当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数 z 的共轭复数用 表示，即 z a bi，那么 a bi，当复数 z a bi 的虚部 b0 时，有 z ，z z z也就是说，任一实数的共轭复数仍是它本身情境导学我们知道实数的几何意义，实数与数轴上的点一一对应，实数可用数轴上的点来表示，那么复数的几何意义是什么呢？探究点一 复数与复平面内的点思考 1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答 任何一个复数 z a bi，都和一个有序实数对(
3、 a， b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数2思考 2 判断下列命题的真假：在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限答 根据实轴的定义， x 轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数 2，因此是真
4、命题；根据虚轴的定义， y 轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数 5i 对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是 z00i0 表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以是真命题，是假命题；对于非纯虚数 z a bi，由于 a0，所以它对应的点 Z(a， b)不会落在虚轴上，但当b0 时， z 所对应的点在实轴上，故是假命题例 1 在复平面内，若复数 z( m2 m2)( m23 m2)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线 y x 上，分别求实数 m 的取值范围解 复数 z( m2
5、 m2)( m23 m2)i 的实部为 m2 m2，虚部为 m23 m2.(1)由题意得 m2 m20.解得 m2 或 m1.(2)由题意得Error!，Error!，10，得 m5，所以当 m5 时，复数 z 对应的点在 x 轴上方(2)由( m25 m6)( m22 m15)40，得 m1 或 m ，所以当 m1 或 m 时，52 523复数 z 对应的点在直线 x y40 上探究点二 复数与向量思考 1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？答 当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系思考 2 怎样定义复数 z 的模？它有什么意义？答 复数
6、z a bi(a， bR)的模就是向量 ( a， b)的模，记作| z|或| a bi|.OZ |z| a bi| 可以表示点 Z(a， b)到原点的距离a2 b2例 2 已知复数 z3 ai，且| z| ，| z1|z2|.32跟踪训练 3 (1)当复数 z1sin icos ， z223i，试比较| z1|与| z2|的大小； 3 6(2)求满足条件 2| z|0， m10.23所以点 Z 位于第四象限故选 D.3在复平面内， O 为原点，向量 对应的复数为12i，若点 A 关于直线 y x 的对称OA 点为 B，则向量 对应的复数为( )OB A2i B2iC12i D12i答案 B解析 A(1,2)关于直线 y x 的对称点 B(2,1)，向量 对应的复数为2i.OB 54在复平面内表示复数 z( m3)2 i 的点在直线 y x 上，则实数 m 的值为m_答案 9解析 z( m3)2 i 表示的点在直线 y x 上，m m32 ，解之得 m9.m呈重点、现规律1复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；2研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑
