1、1高等数学综合自测题(I)一、 选择题（ ）5131、若 ，则 （ B ）.xyzyzA B.2 23xyC. D.3xy2、设积分区域 D 是圆环: ,则二重积分 ( 412yx dxyD2C ).A. B.1022dr 420rdC. D.1 13、曲面积分 表示的是 ( C )dxyA.曲面 的面积B.曲面 在 xOy 面上投影 D 的面积C.不是 的面积,也不是投影 D 的面积D.可能不是 的面积4、若级数 收敛，则级数（ D ）1naA 收敛 B. 收敛1n nna1)(C. 收敛 D. 收敛1na112nn5、设有直线 与直线 ,则直线 与 的1825:1xyxl 36:2zyxl
2、 1l2夹角为( C )2A. 6 B. C. D.432二、填空题（5 ）5131、函数 的定义域为 ;)ln(2yxz104),(22yxyx且2、直线 与 xOy 面的交点的坐标为_(2,-2,0)_;314z3、曲面 上点（1，2，-1）处的切平面方程为_-xyzx8226(x-1)+11(y-2)+14(z+1)=0_.4、级数 的收敛半径为 ;12)ln(x25、设 D 是中心在原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域，则=dxye2 )(2ae三、解答下列各题（8 )8461、求过点(1,0,-1)且与直线 : 垂直的平面 的方程l0523zyx解： 2,1S1,2Skjikjin
3、5733平面方程为：-3(x-1)+7y+5(z+1)=02、设 ，求yxz)1(.z解: yx)ln(1 )( lzxyxyy l13)1ln()( xyxyzy即 )l()1(3、设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求),(2xyefzf .2yxz解： 21ffxxy2212112 fxeyfexyefefyz yxxy 211224)()( ffffe xyxyxy 4、求函数 的极值.2)(4),(yxyxf解： 得驻点为：(2,-2)02),( fyxxA2yfC0xyfB42AB且(2,-2)为极大值点，极大值为 8)2,(f5、求解方程 ；eyedxyx)1(,0解：将方程变形为：
4、 x由一微分方程的求解公式解得： )(cey将 代入通解可得：c=0ey)1(所以原方程的解为： xey16、计算 ，其中 L 为由点 O（0，0）到ddxL)()2(424B（ 1， 1）的曲线弧 .2sinxy解： xyxP),(24),(yQ积分与路径无关，选择：ABO原式 dyxdyxdyxdyxOA )()2()()2( 4242 15353110100410 7、将函数 展开成 x+4 的幂级数.2)(2xf解： )4(2)4(311)(1 xxxfnnnx0032342nnn)(10其中 13424xx且收敛区间为(-6,-2)8、计算曲面积分 ，其中 是球面 外侧在xyzd12
5、2zyx的部分 .0,yx解： 21:yxz21:yxz21原式 dd21 515 1sinco21023200,1: 2,1: 20,: 22 22 drrddxyxy xyDyxDyxy 四、在曲面 上求一点，使它到平面 的距24yxz 132zyx离最近.( )8解：设所求点为： ),(0zyx200min41|3|yxzd即为求使 取最小值且满足22)13(z的点,42zyx令 2)(14),(zyxF )24(2zyx024736)792(8012zyxFzzyx解得： yzx63146z五、设圆锥底半径为 a，高为 h，质量分布均匀，其质量为 M，在圆锥体顶点处有一单位质量的质点，
6、求圆锥对此质点的引力.( )8解：设圆锥的密度为 ，由锥体的对称性及质量分布的均匀性知：060yxF所求引力沿 z 轴的分量如图建立坐标，锥面方程为： 2yxabz解:设圆锥的密度为 ，由锥体的对称性及及质量分布的均匀性知：00yxF锥面方程为： 2yxabz所求引力沿 z 轴的分量为： )1ln(2 )(2 )()(2200 20 22 230203220 2hahGdahG dzdGdvzyxFza ha 六、证明： ，其中 在 上连续.(21010 )()(dxfdyfxd )(xf1,0)8证明：交换积分秩序 00110101 xxxydyfyfdffdxd则左 边 上式显然成立10f
7、 11002xxx dyfyfdyfy7所以 210dxf左 边高等数学综合测试题（II）一、 填空题（5 ）5131、 绕 y 轴旋转而成的椭球面 的曲线是1322zyx.213x213z或2、 二元函数 的极值点是 .)(yx,，3、 设 ,则 .:22zyxdvez4、 设 L 是星形线 ,则曲线积分 .)0(323RdsyxL)(3437R5、 幂级数 的收敛半径 R=1.nxe20二、 选择题（5 ）5131、已知|a|=2，|b|=3 ，|a-b|= ，则 a，b 的夹角为（ C ）7A B. - C. D.-22332、 （ D ）xdyf10),(A. B.y xdyfd10)
8、,(C. D.10),(xfd3、设 是螺旋线 上参数 t 从 0 到 的一段，则btzayt,sin,co （ A ）dxyxy2)(A. B.12ba )1(2C. D. ba4、下列级数绝对收敛的是（ C ）.A. B.nn1)(1 nnl1)(18C. D.)!12()1nn )1()1nn5、设曲面 上半球面： = ，曲面 是 在第一卦22zyx0R1限中的部分，则有（ C ）A. B.14xds 14xdsC. D. 12 1yzyz三、解答下列各题（8 )8461、设一平面经过原点及点（6，-3，2） ，且与平面 垂直，824zyx求平面方程.平面过原点，设方程为 ，则有：0Cz
9、ByAxCBA2302364所以平面方程为： 0zyx2、 ，f 具有二阶连续偏导数，求 .),(2yxfz 2xz解：242242224121231 41231 2131112 22 fxyffyxfy fxyxyfyfxfyfxz 3、在椭球面 上求一点，使函数22z沿 A（1，1，1）到 B（2，0，1）的方向导数有),(yxzyf最大值.9解：方向导数取得最大值的方向即为梯度方向。的梯度为：zyxf, zyxzyf2,grad已知方向为： ，所以应有：0,1ABl fABgrad/则有 代入球面方程得：021zyxxy 21y故求得两点满足题目要求： )0,21()0,(4、求方程 的
10、通解；4 )2(3yxy解：在 处与球面相切的平面方程为：),(0zx0)()(00 zy即 ,0zxn有 ：过 直 线 L2,300132kjjin即有： tzyx2300134,0tx)134,(存 在 两 个 切 点 ： )2,0(方 程 为 ： )2()134(zy 0)134()(5、 计算 ，其中 D .dxyeD),ma(2 1,|,(yxy解： ),(|,2211 且且10120101 10102222 22212 edxey dyexdeyxexeDDy 原 式6、 计算 ，其中 是,()()( 232323 dxyazdxayza的上侧.22yxRz解：补充曲面： 的下侧2
11、R23azxP3axyQ23ayz222原式 的 下 侧222)(3Ryxdadvzyx20420sinRyxRrd456si53032 adraR7. 将 展开成 x-1 的幂级数.1)(2xf解：原式 )1()()(x001nnnx8、 求幂级数 的和函数.12)(0nxn解： 01210 )()1()nnn xxxS110121)()nnxxS022 1)()nnxxS1arctgdx210)(11xxSrctn四、 在过点 P（1，3 ，y）的所有平面中，求一平面，使之与三个坐标面所围四面体的体积最小.（ ）8解：设平面方程为： ，且 P(1,3,y)满足方程，1czbax有cay3y
12、3abbV61)2(2五、 求曲面 在圆柱 内的那部分的面积.（22zyx)0(2axy）8解：由对称性知，所求曲面面积 A 是第一象限上面积 的四倍，1A的投影域1A)0,(:2yxayxDXY曲面方程 ，故2az 2221yxazyxxy xyDDyx dadA2224142 00cos24)1(sinara 六、证明函数 满足方程 ，其中 .ru122zuyx 22zyxr12证明： 3222211 rxzyxrrxux 52322432 1)(同理可得： 5321ryyu5232zz052322 ruyx高等数学综合测试题（III）一、 填空题（5 ）5131、 若 a=（1，2，3
13、） ，b= （3，0，-1） ，则 a b= (-2,10,6) .2、 ,则 =yxztanlzyxy2sectan3、 平面 与三个坐标面所围成的立体体积为1zx 614、 二次积分 的极坐标形式为 .dyxda)(220 drda3cos205、 设 L 是 A(0, )到 B(1,1)的直线段,则曲线积分=_.)1ln(1ln( 22yxdyx二、 选择题（5 ）531、二重极限 =（ D ）420limyxyA. 0 B. I C. D.不存在21132、设 D 为 为常数） ， ，则 a=（ 0(22ayx dxyaD22D ）A.1 B. C. D.32134323、设有直线 L
14、 及平面 ，则直线0:zyx 02:zyxL（ A ）A. 平行于 B.在 上C. 垂直于 D.与 斜交4、设 在 x=-1 处收敛，则它在 x=2 处（ B ）nnxa)1(1A.发散 B.绝对收敛C. 条件收敛 D.敛散性与 有关na5、设 是锥面 被平面 z=1 所截的有限部分的外侧，2yxz则 =（ C ）S dxzydx)(2A. ； B. 0 ； C. ； D.23 223三、解答下列各题（8 ）8461、求过点 M（2，1，3）且与直线 垂直相交的直线1231zyx方程.解：设交点为 ，则),(00zyx 3,00zyxltx12310 tztt 000 ,12,1314731,
15、23,23 tttl 垂 直 ， 所 以 有 ：与74,61.l2、求解微分方程 ；132txdttx解：特征方程： 解得：021,21ttecx231齐 次 方 程 的 通 解 为 ：设 特 解不 是 特 征 根 ， 0,13)(tf BtAx代入原方程比较系数得到： 1,3BA原 方 程 的 通 解 为 ：231tecxtt3、设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求 .),(yxfzf yxz2解： fx12 )(1)()( 22222212 fyxfxyxfyfyfz 4、计算 ，其中 D 是由直线 和 所围成dxDsin,0的区域.解：原式 1cos0cossinsin1010 xxddy
16、x41zy直 线 方 程 为 ：155、计算 ， 是圆周 及yzdxyd3zyx22，若从 轴正方向看去，圆周为逆时针方向.2zz解： 2:yx设 是平面 上被圆周 所围部分的上侧， 的法向量z1,0cos,cosn由 stokes 公式：原式 20)32()3(3002 dxydszdsyzxxyD6、 求幂级数 的和函数.1)(nnx解： 1)()(nxS1)(nxxS1)(nx1,)(1 xn)l()(0 xdxxS x0 )1ln()1ln()1ln()()l()l()( xxxS0,167、 计算曲面积分 ，其中 为立体 的dsyx2)(12zyx边界曲面.解：原式dsyxdsyxz
17、yxyxz 2:21: )()( 2221 dxyyxyx 211 )()( 22 23362010 123 2 drxyyxyx8、 计算曲线积分 ，其dyxeydxexyIy )(cos)1( 中 是 A（-1，1）沿 到 O（0，0） ，再沿 至2 0B（ 2，0）的路径.（如图）解：原式 102013 )(cos222 dxexxexOBAeddxx 23insin3010122 四、 求内接于椭球面 的体积为最大的长方122czbyax体，在第一卦限的顶点坐标（设长方体的各面平行与相应的坐标面.（ ）8解：设在第一象限内的顶点坐标为 ，),(0zyxA17008zyxV令 )1(),( 2020000 czbyaxzyxF012802820220000000 czbyaxFbyzxFaxzyXczbyax3131000五、 求曲面 与 所围成的立体222azyx2yxz体积.（ ）8解：在球面坐标系中：4222yxz araz 20,0,0: ar故所求体积： adrrddxyzV0204sin34031222 aa)()(sin六、证明 .（ ）aya dxfdxf00 )()( 6证明：对左边交换顺序： ay,17aax dxfdyf00 )()(左 边
