1、1计算机数学基础(下)数值部分辅导(4)中央电大 冯泰第 12 章数值积分与微分一、重点内容 1. m 次代数精度 求积公式nkkbaxfAxf0)(d)(对于任意不超过 m 次的代数多项式都准确成立 , 而对某一个 m+1 次代数多项式不成立, 2. 牛顿科茨求积公式：(ba)baxfdnkkhafC0)()截断误差 Rn(x)=f bnkn()!10(1)科茨系数： (k=0,1,2,n)，有两条性质.nkjk tC)( )d-)(2) 牛顿科茨求积公式的求积系数：A k= (k=0,1,2,n) )nCab(3) 常见牛顿科茨求积公式梯形公式 截断误差： R1f= ()()bafab32
2、复化梯形公式)(.)()d)( 1210 nnba xffxfxfhf 截断误差： ， M2 maxbhabN抛物线公式 fxfffab()()(64复化抛物线公式 ).().(d)( nnba fffffhxf 截断误差： RNfbahM2804，(max)b科茨公式)(907)(3)(90123d)(4xff fxfba3高斯勒让德求积公式 , nkkbaA节点为 的零点(高斯点)nnndxxP1(!2)(2xdfab)2其余项： bannn xfxRd)()!()4. 微分公式 (1)等距节点两点求导公式： )1,.20()(1)( nkyhxfkk(2)等距节点三点求导公式(k=1,2
3、,n-1) )()( )()(kkk kkk yyhxfyf二、实例例 1 试确定求积公式 的代数精度.)()(d)(fff依定义，对 xk(k=0,1,2,3,)，找公式精确成立的 k 数值 解 当 f(x)取 1,x,x2,计算求积公式何时精确成立 .(1) 取 f(x)=1,有左边 , 右边d )()(ff(2) 取 f(x)=x,有 左边 , 右边x) )()(ff(3) 取 f(x)=x2,有左边= , 右边=d) )()(ff(4) 取 f(x)=x3,有左边= , 右边=x) )()(ff(5) 取 f(x)=x4,有左边= , 右边=d) )()(ff当 k3 求积公式精确成立
4、，而 x4 公式不成立，可见该求积公式具有 3 次代数.例 2 试用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算定积分(计算结果取 5 位有效数字).x(1)用梯形公式计算 .)(.(.d. ff(2) 用抛物线公式/).(. x3.(3)用科茨公式 系数为 ,.d. x .如果要求精确到 105 ，用复化抛物线公式，截断误差为RNfbahM2804，)(maxfb,)(/x ./)( xbaxa,N2Nhab只需把0.5,14 等分，分点为 0.5,0.625,0.75,0.875,1 .)( ().()()(d. fffffx例 3 用三点高斯勒让德求积公式计算积分 xdsin高斯型求积公式只能计算
5、 1,1上的定积分解 做变量替换 ，)(txdsintd1t)(si查表得节点0.774 596 669 和 0；系数分别为 0.555 555 5556 和 0.888 888 8889xsitt)(si+0.888 888 889.)(in. )(sin .)(sin. 0.94083124注：该积分准确到小数点后七位是 0.9460831，可见高斯型求积公式的精度是高的.教材的第 12 章 12.2 节，用多种方法计算过该积分，它们的精度请读者自行比较.例 4 用三点公式计算 在 x=1.0,1.1,1.2 处的导数值.已知函数值)()xf4f(1.0)=0.250 000,f(1.1)
6、=0.226757,f(1.2)=0.206 612解 三点导数公式为k=1,2,3,n1 )()( )()(kkk kkk yyhxf yyxf本例取 x0=1.0, x1=1.1, x2=1.2, y0=0.250 000,y1=0.226757,y2=0.206 612,h=0.1.于是有计算 .).(.).(f). .)().(f例 5 选择填空题1. 牛顿科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是 .解答：牛顿科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数.2. 如果用复化梯形公式计算定积分 ，要求截断误差的绝对值不超过 0.5xde10
7、4 ，试问 n ( )(A) 41 (B) 42 (C) 43 (D) 40答案：(A)解答；复化的梯形公式的截断误差为 1)e(max102M，n=40.8 ,取 n41.故选择(A).)(nhabfRN3.已知 n=3 时，科茨系数 ，那么 )()()( ,CC)(答案：1/8解答：由科茨系数的归一性质， )()()()(三、练习题1. 试确定求积公式的待定参数，使求积公式 )()()(d)( fAffAxf的代数尽可能的高.2.用复化抛物线公式计算定积分 取 n=4,保留 4 位有效数字.xd3.试用四点(n=3)高斯勒让德求积公式计算积分 xd4. 已知条件见例 4.用两点求导公式计算
8、 f(1.0) f(1.1).5. 若用复化抛物线公式计算积分 ,要求截断误差的绝对值不超过 0.5104 ，xde试问 n( )(A)1 (B)2 (C) 4 (D)356当 n=6 时， =( )(C )()()( CDCBA7. 用三点高斯勒让德求积公式计算积分 ，是有 代数精度的.xfd四、练习题答案1.A0=A2=1/3,A1=4/3 2. 0.1109 3. 3.141624 4. 0.23243, 0.201455. (B) 6.(D) 7. 5 次附录：教材中练习与习题答案练习 12.1 (A)1. (1)二次代数精度， ； (2)二次代数精度， a0=1/3, a1=4/3,
9、 a2=1/31563,2. 五次代数精度(B)1. A 2.B 练习 12.2 (A)1.略 2.略 3.1.71828 用梯形公式分 476 个子区间，用抛物线公式分 6 个子区间（B）1. Ckn()01 (归一公式)， 与 a，b 无关，且 (称为对称性) )(nkC)(nkkC2. B练习 12.3 (A)1. 1.1547 2. 2.0013889(B)1. 2n+1 2. B 3. A,练习 12.4 (A)1. 取平均为 2. 0.4 0.2)(. (B)1. B 2. )()()()( yhxfyhxfyhxf习题 121. 0.311 680 24; 0.310 248 53; 0.310 268 842. 1.148 714 467; 1.147 792 857 3. 4. 略5. 用复化梯形公式，4 等分区间，近似值为 T45.058 337用复化抛物线公式，2 等区间，近似值为 S25.033 002用科茨公式 近似值为 C5.0329263 7. A 0=2 A1=3 A 2=3
