1、1新课预习讲义选修 21：第二章2.3 双曲线（三）2.3.2 双曲线的简单几何性质（2）学习目标1.掌握直线与双曲线的位置关系2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题3.了解双曲线的第二定义及其焦点弦、焦半径等问题.4. 了解与双曲线有关的应用问题.学习重点：直线与双曲线的位置关系及其弦长、中点等问题是本节的重点学习难点1.双曲线的第二定义、焦半径公式及其应用.2. 本课时内容常与方程、函数、不等式以及平面向量结合命题，而且命题形式灵活，各种题型均有可能出现.一、自学导航知识回顾：复习 1：说出双曲线的几何性质? 复习 2：怎样求已知双曲线的渐近线方程？已知双曲线的渐近线方程怎样求双曲线
2、方程？预习教材：第 59 页第 63 页的内容。自主梳理：1、预习教材 P59 例 5.（1）结合椭圆的第二定义，归纳双曲线的第二定义（2）结合椭圆的焦半径公式，导出双曲线的焦半径公式2、预习教材 P60 例 6，总结直线与双曲线的位置关系的相关问题预习检测：1过点 P 的直线 l 与双曲线 1 有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶( 1， ba) x2a2 y2b2点，则双曲线的实半轴长等于( )A2 B4 C1 或 2 D2 或 42如图，axy b0 和 bx2ay 2ab(ab0) 所表示的曲线只可能是( )3若直线 ykx2 与双曲线 x2y 26 的右支交于不同的两点，
3、那么 k 的取值范围是_4已知双曲线 x2 1，过 P(2,1)点作一直线交双曲线于 A、B 两点若 P 为 AB 的中点，y23(1)求直线 AB 的方程；(2)求弦 AB 的长2问题与困惑：二、互动探究问题探究：探究 1：由教材第 59 页例 5，可导出以下结论：（1）双曲线的第二定义：若动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是),(yxM)0,(cFcaxl2:常数 ，则动点 的轨迹是一个双曲线，即 （其中， 是双曲线上任意一点到双曲线的)(e edd准线 的距离， 是双曲线的离心率.）cax2e（2）双曲线的准线方程：若焦点在 轴上，则左准线是 ；右准线是 ；xcax2cax2（
4、3）双曲线上任意一点 的焦半径（其中， 为左焦点， 为右焦点）：),0yM（ 1F2，aexF1aex02（注意：动点到相应焦点的距离比上到相应准线的距离；注意与椭圆的焦半径公式的不同.）探究 2：由教材第 60 页例 6，可导出直线与双曲线的位置关系.：（1）直线与双曲线的位置关系一般地，设直线 l：y kxm(m0)双曲线 C： 1(a0，b0)x2a2 y2b2把代入得(b 2a 2k2)x22a 2mkxa 2m2a 2b20.（i）当 b2a 2k20，即 k 时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线 C 相交于一点ba(ii)当 b2a 2k20，即 k 时，ba(2a 2
5、mk)24(b 2a 2k2)(a 2m2a 2b2)0直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；0 直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；0 ，b0)x2a2 y2b2当 时，直线和双曲线一支相交，有两个交点ba ba2如何求弦长及中点弦的问题求弦长可采取两种方法一种是求交点坐标，另一种是利用弦长公式中点弦的问题可以采用“点差法”先求其斜率误区警示给定双曲线 x2 1，过点 B(1,1)是否能作直线 m，使它与所给的双曲线交于两点 Q1 及 Q2，且y22点 B 是线段 Q1Q2 的中点？这样的 m 如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由【错解】 假设存在 m 过
6、B 与双曲线交于 Q1、Q2，且 B 是 Q1Q2 的中点，当 m 斜率不存在时，显然只与双曲线有一个交点；当 m 斜率存在 时，设 m 的方程为 y 1k( x1)，由Error!得(2k 2)x2(2k 22k)x (k 22k 3) 0，设该方程的两根为 x1，x2.由根与系数的关系，得 x1x 2 2，解得 k2.2k2 2kk2 2故存在 m，其方程为 y12(x1)，即 2xy 10.【错因】 对于圆、椭圆这种封闭的曲线，以其内部一点为中点的弦是存在的，而对于双曲线，这样的弦就不一定存在，故求出 k 值后需用判别式判定此时直线是否与双曲线有交点【正解】 假设存在直线 m 过 B 与
7、双曲线交于 Q1、Q2，且 B 是 Q1Q2 的中点，当直线 m 的斜率不存在时， 显然只与双曲线有一个交点；当直线 m 的斜率存在时，设直线 m 的方程为 y1k(x1)，由Error! 知(2 k 2)x2(2k 22 k)x( k22k3) 0，设该方程的两根为 x1、x2，由根与系数的关系，得 x1x 2 2，解得 k2.2k2 2kk2 27当 k2 时， (2k22k )24(2k 2)(k22k3)80，因此不存在满足题意的直线.三、巩固拓展必做：教材第 62 页，习题 5、6 A 组 第 3、4 题，B 组第 3、4 题补充作业：一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1已知
8、双曲线方程为 x2 1，过 P(1,0)的直线 l 与双曲线只有一个公共点，则 l 的条数为( )y24A4 B3 C2 D12设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. B. 2 3C. D.3 12 5 123已知双曲线 1(a0，b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且x2a2 y2b2只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A(1,2 B (1,2) C2，) D(2，)4P 是双曲线 1 的右支上一点，M、N 分别是圆(x 5) 2y 24 和(x5) 2y
9、21 上的点，则x29 y216|PM|PN|的最大值为( )A6 B7 C8 D9二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5过双曲线 C： 1(a0，b0)的一个焦点作圆 x2y 2a 2 的两条切线，切点分别为 A，B，若x2a2 y2b2AOB120(O 是坐标原点)，则双曲线 C 的离心率为_6已知双曲线 1 的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线x212 y24斜率的取值范围是_三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)7已知双曲线 3x2y 23，直线 l 过右焦点 F2，且倾斜角为 45，与双曲线交于 A、B 两点，试问 A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的长88已知双曲线 x2 1 上存在关于直线 l：ykx4 的对称点，求实数 k 的取值范围y23尖子生题库 9(10 分) 设圆 C 与两圆(x )2y 24，( x )2y 24 中的一个内切，另一个外切5 5(1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程；(2)已知点 M ，F( ，0)，且 P 为 L 上动点，求|MP|FP|的最大值及此时点 P 的坐标(355，455) 5
