1、1常微分方程1 一阶微分方程【大纲基本要求】（1） 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.（2） 掌握变量分离微分方程及一阶线性微分方程的解法.（3） 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.一、 基本概念定义（微分方程）含有自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程.注：未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程叫做偏微分方程，我们以后讨论的只是常微分方程，简称微分方程.定义（微分方程的阶）微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.定义（微分方程的解）如果能找到这样的函数，把它
2、代入微分方程，能使该方程成为恒等式，称这个函数为该微分方程的解.若解中含有任意常数，当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时，该解叫做通解（或一般解） ；不含有任意常数的解叫做特解.定义（初值问题）用来确定通解中任意常数的定解条件中最常见的是初始条件，求 n 阶微分方程的一个解，使它满足预先给定的初始条件的问题，称为微分方程的初值问题.二、一阶微分方程的分类及其解法1 变量分离微分方程形如 的一阶微分方程，称为变量分离微分方程.)(ygxfdy解法：对变量分离微分方程，分离变量后两边积分，1()()0()dyfxCgyg便可求得其通解.2. 可以化为变量分离方程的微分方程（1）齐次微分方程
3、.形如 的微分方程中 可以写成 的),(yxfd),(yxf )(,(xyf形式，我们称这类微分方程为齐次微分方程.解法： 对 ，做变换 ，)(,(xyfdxxu则 ， ，代入方程得yud2，化为变量分离微分方程求解.udx)(（2）形如 是可化为齐次的方程.1122abyc解法：情形 1：若 则令方程化为齐次微分方程.20,c情形 2：若 则 通解为 .12,abk（ 常 数 ） ,dykxykxc情形 3：若 则令 从而 .1122,c2,uab1222kucudab情形 4：方程化为齐次微分方程. ，其中 待定.,XxhYyk,h于是 ，从而原方程化为 .,dXxYdy111222Xkc
4、dab如果方程组 有解，那么可以定出 ，11220ahbkc,hk使上式变为 ，然后化为齐次微分方程求解.12YdX3. 一阶线性微分方程形如 的微分方程称为一阶线性微分方程.如果 恒等于零，称()yPxQd ()Qx方程为齐次的，如果 不恒等于零，称方程为非齐次的.解法 1：常数变易法.在求得其对应的齐次方程的通解 ，将解中的常数dxpCey)(C 变易为 x 的函数 C(x).即 ，其中 C(x)是待定的函数，对dxpeCxy)()(，后 代 入 原 方 程 得求 )(y xQ)(两端积分后得 ，1)()(dxp于是方程的通解为 .Cxeeydpx)()(解法 2：直接用公式求通解 .Qd
5、pdxp)()(4可以化为一阶线性方程的微分方程-伯努利方程形如 的微分方程称为伯努利方程.()(0,1)ndyPxQy3解法：做变量代换： 化原方程为,)1(,1dxyndxzyn)()(QP这是一阶线性微分方程，可用上述一阶线性微分方程求出关于 的通解，z再将 换成 便可得到 的通解.zny1y5 全微分方程若 则称形如 的微分方),(),(),( yxduxQdxP(,)(,)0PxydQxy程为全微分方程.解法： (,)(,)uyx由 得到,P,(),uxyPdxy再由 推出 =？ =？(,)(),udQy ()y故 =C 为原微分方程的通解.(,),xyx注：若方程 不是全微分方程，
6、但如果方程两边乘上函数0),()(yP后可将方程化为全微分方程，我们称 为该微分方程的积分因子，该方程称(,)y(,)xy为具有积分因子的微分方程.若 则有积分因子 ，1(),Qyx ()xde若 则有积分因子 .(),Py()yd三 典型例题精解1微分方程的基本概念例 1 已知曲线 过点 ,且其上任一点 出的斜率为 ，则()yfx0.5)(,)xy)1ln(2x.()fx22ln1例 2 验证 的通解.xxkx eykdxyeCy 22221)1()(是 微 分 方 程2. 可分离变量的微分方程例 3 求微分方程 的通解.dyxd)()(22(答案 ， 为常数)21y4例 4 求方程 的解.
7、2()0,(1),(0)yxdxyx(答案 )1例 5 求 的通解.2(yxd(答案 ， 为常数)ln)arctn3C3. 一阶线性微分方程例 6 求微分方程 的通解.02)(3xdyy(答案 ， 为常数)15x例 7 求微分方程 满足初始条件 的特解.dyedy(122(0)1y(答案 )1(xe例 8 求微分方程 满足 的特解.xey 1xy(答案 )1xye4伯努利方程例 9 求微分方程 满足初始条件 的特解.243yxd(1)y(答案 )42(ln1xy例 10 求微分方程 的通解.23dx(答案 ， 为常数)221Cey例 11 求微分方程 的通解.03(24xydy(答案 ， 为常
8、数)26x5全微分方程例 12 求微分方程 的满足条件 的解.0)cos2()1(2dxydx (0)1y(答案 )2siny例 13 求微分方程 的通解.43(,()xyxyx5(答案 ， 为常数)41lnxyC例 14 验证方程 是全微分方程，并求它的通解.0)(3223 dyxd(答案 ， 为常数)424下面给出一些分项组合时常用的微分公式：例 15 求 的通解.02)(xydx(答案 ， 为常数)2yxCe例 16 已知 ，求 .101)(xftf ()fx(答案 ， 为常数)2x6一阶微分方程综合题思路：在试题中，有时要求一个满足某种条件的未知函数，这种情况通常归结为求解一个微分方程
9、.此时，需要先根据给定的条件，利用高等数学中其他章节的知识，导出未知函数满足的微分方程（一阶或高阶） ，再求解该方程.例 17 设函数 可导，且对任何 , 有 ，求()fxxy ()()(),0yxfxeffye函数 .()f(答案 ， 为常数)1xeC例 18 求连续函数 ，使曲线积分 与积分路径无关，且(f dyxfyxfc )()(sin.1)(2f22222 222 2(); ();1ln(); ();1(arctn); (axdyyxdyxyxxdyxydyxyxdxdyyydxx2 rctn);l l1n) yxdy6(答案 )1)(cos2fxx2 可降阶的高阶微分方程【大纲基本
10、要求】会用降阶法解下列微分方程： () ,(,)(,).nyfxyfyf一 基本概念定义 二阶或二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程.定义 对于高阶微分方程，通过代换将它化为较低阶的方程，这种方法称为降阶法.二、可降阶的高阶微分方程及其解法1方程 )()(xfyn解法：这个方程的特点是它的右端不含未知函数 及其 1 至 n-1 阶导数，用逐次求不定积y分的方法可求得方程的通解.方程 可改为)()(xfyn.)()(dxfdn将上式两边分别求积分，得 n-1 阶微分方程1)1()(Cdxfyn再按同样的方法积分 n-1 次，即可得所求方程的通解.2方程 ),(f解法：这个方程的特点是它的右端不显
11、含 ，y令 ，则 ，代入方程 ，py dx ),(xf其化为一阶微分方程 ),(pf解此一阶微分方程，可求得其通解，设它为 ，因 ，),(1Cxpy于是原方程的通解为 .21),(dxCy3. 方程 ),(fy解法：方程 的特点是方程右端不显含自变量 x，令 则 ，),(pdpyx代入原方程得关于 的一阶微分方程 , ).,(pyfd设此方程的通解为 ，即 ，),(1Cyp,1Cx在分离变量后，便可求得原方程得通解.7三、典型例题精解1方程 的解法)()(xfyn例 1 求微分方程 的通解.21(答案 ， 为常数)2 2123()arctnl()xyxCx123,C2. 方程 的解法,yf例
12、2 求方程 的通解.xln(答案 ， 为常数)1122()Cye12,3. 方程 的解法,yf例 3 求微分方程 的通解.22)3()(y(答案 ， 为常数)122Cxy12,例 4 求微分方程 满足初始条件 的特解.ye 2)0(,)(y(答案 )2ln(x4. 可降价的高阶微分方程的综合题解这类题的基本分析方法与步骤与一阶微分方程的情形类同.例 5 设对任意的 ，曲线 上点 处的切线在 轴上的截距等于0x)(xfy,()fxy，求 的表达式. )(10tdfx)(f(答案 ， 为常数)12lnyCx12,3 高阶线性微分方程【大纲基本要求】（1）理解线性微分方程的性质及解的结构.（2）掌握
13、二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.（3）会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.（4）会解欧拉方程.8一、基本概念定义 形如（9.1）()(1)11()()nnnnypxypxypxyfx（ ）的微分方程称为 阶线性微分方程，其中 为连续函数.),2,ii当 时， （9.1）式成为0)(f（9.2）(1)11()0nnnnypxypxypxy（ ）（9.2）式称为 阶齐次线性微分方程，而当 时，称（9.1）式为 阶非齐次线f n性微分方程.二、高阶线性微分方程的重要定理、性质及其解法1. 齐次
14、线性微分方程的性质及通解结构定理定理 1 若函数 是齐次线性微分方程（9.2）的 个解，则它们的12(),()myxyx m线性组合，即 也是微分方程（9.2）的解.)(CC定理 2 若 是 n 阶齐次线性微分方程（9.2）的 个线性无关的解，12(),() n则它们的线性组合)()()(21 xyxyymn是方程（9.2）的通解，其中 是 个独立的任意常数.C，2. 非齐次线性微分方程的性质及通解结构定理定理 3 设 与 分别是非齐次线性微分方程 1()yx2 )()(111 xfypxpnnnn ）（和 )( 21yx）（的解，则是 方程2 )()()( 21111 xffyxpyyxpn
15、nnn ）（的解.定理 4 设方程（9.2）是非齐次线性微分方程（9.1）相对应的齐次线性微分方程. 若 Y 是方程（9.2）的通解， 是方程（9.1）的一个特解，则 是非齐次线性微*y *yY分方程（9.1）通解.3. 非齐次线性微分方程的解与对应的齐次线性微分方程的解的关系定理 5 设 是非齐次线性微分方程（ 9.1）的两个解，则 是对应的齐次21,y 21y9线性微分方程（9.2）的解. 4. 二阶常系数齐次微分方程二阶常系数齐次微分方程的一般形式为（9.3）0qypy其中 为常数. qp,对于二阶常系数齐次微分方程（9.3） ，只要求得它的特征方程的根，无需积分就能求得它的通解，如 9
16、.1 所示.表 9.1特征方程的根 21,r微分方程的通解两个不等的实根 ecxxry21两个相等的实根 21r12()一对共轭复根 i, 12cosin)xyex注 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法，可以推广到高于二阶的常系数齐次线性微分方程.设 n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为（9.4）011ypypnnn它的特征方程为 .11nnrr根据特征方程根的不同情况，可以写出与其对应的微分方程的解，如表 9.2 所示表 9.2特征方程的根 微分方程通解中的对应项单实根 r给出一项： rxce重实根k给出 项：kerxkCy)(12110一对单复根 ir2,1给出两项： 12(cosi
17、n)xex一对 重复根kir2,1给出 2 项： k1 11 12(C)cos()sinrx k kDxx 5. 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数非齐次线性微分方程的的一般形式为（9.5）)(xfqyp其中 是常数，设方程（9.3）是它对应的齐次微分方程，且其通,pq解为 ，而 是方程（9.5）的通解为Y*y（9.6）*yY由此知，求方程（9.5）的通解的方法步骤是：（1）先求出其对应齐次方程（9.6）的通解 ；Y（2）在求出方程（9.6）的一个特解 .*y按照考试大纲，只要求会求方程（9.5）中的自由项 的多项)(xf式、指数函数、正弦函数、余弦函数及它们的和与积时的特解. 一般
18、用待定系数法求特解 ，而 的结构与自由项 的具体形式有*y* )(f关. 下面分别就 的不同情况进行讨论 .)(xf5.1 自由项 的情形pen这里 为常数， 为 的 次多项式.)(xn(1) 当 ， 时成为多项式;0f(2) 当 =常数时， 成为与指数函数的乘积，这是两种)(pn)(f特殊情形.设方程（9.5）中的 ，其对应的齐次方程的特征方)()(xpefn程的根为 ，则该方程的一个特解具有形式21,r11，当 ，当 ，当 21221*),(,rxQeynnx其中 为 的 次多项式 . )(xQn5.2 自由项 的情形si)(cos)(xxPef mlx 这里 为常数, 且 （当 时， 称
19、为上述的 5.1， 0)(f情形） ， 分别为的 次和 次多项式.)(xml， l设方程（9.5）中的 ，其对应的sin)(cos)()( xQxPef mlx 齐次方程的根为 ，则该方程的一个特解具有形式21,r 21* ,sin)(cos)( rixTxRxeyn 当当其中 是 的 次多项式， .)(TRn， ma,l若 的表达式中的 或 ，方程（9.5）的特解）（ xf 0)(xPt )(xQt仍可能具有上述形式，因此在求特解 是必须设其为上述形式.*y *y5.3 自由项的 情形)()(21ff设方程（9.5）中的自由项 ，其中 为)(21xfx)(21xf，上述 5.1，5.2 中的
20、 . 可根据定理 3 求出它的一个特解.()fx6. 可化为常系数的二阶变系数线性微分方程的解法-欧拉方程二阶变系数线性微分方程的一般形式为),(xfyQxPy）（9.7）其中 为连续函数.(x),PQ方程（9.7）目前尚无一般的解法，只是对某些特殊情况可以求出它的通解，按照考试大纲要求，这里主要介绍所谓欧拉方程的解法.12形如),(2xfqypxy（9.8）或 )()(2 fbabax）（9.9）的微分方程称为欧拉方程，其中 均为实的常数.qp,欧拉方程的求解方法是：做变量代换（对应于方程 9.8）xtexln,即或 （对应于方程 9.9）)(babat即可将其化为常系数线性微分方程.7.
21、含有两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组的解法方程组 （9.10）（ ）（ xfzaydxz2211,称为含有两个未知函数 的一阶常系数线性微分方程，其中 为常数.zy, )2,1(,iaj若方程（9.10）中的 ，则称为齐次线性微分方程. 反之，称为非齐次120ff且线性微分方程.解常系数线性微分方程（9.10）的一般方法和步骤如下：第一步，从方程组中消去一个未知函数及其导数，从而得到仅含有一个未知数的二阶常系数线性微分方程；第二步，解所得到的二阶常系数线性微分方程组，得到满足该方程的未知函数；第三步，把所求得的函数代入原方程组，即可求得另一个未知函数，且一般无需经过积分.三、典型例题精讲
22、1. 线性微分方程解的性质及通解结构的应用例 1 设线性无关的函数 都是二阶非齐次线性微分方程321,y的解， 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（D）()yPxQyfx（ ） 21C,（A） （B）;C321 ;)C(32121y（C） （D） .;)-(321y-y13例 2 设 是二阶齐次微分方程)(1xy 0)(yxQPy）（的一个非零解，这里 为连续函数，证明：利用线性变换 可把此方程化(),Qx zy1为 的一阶微分方程. zu(答案 )1112()0yyu2. 求解二阶常系数齐次微分方程及某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程例 3 求微分方程 的通解，其中 为实常数.kk(答案,
23、 , 为常数;22(1)(1)1|,xkxkyCee2C, 为常数;2| k2, 为常数)21|,(cossin)kxxkx12例 4 求微分方程 的通解（ 为常数）0yaa(答案, , 为常数;21230, xayCe123,C, 为常数;(1)()aax123,C, 为常数;123, x123, 为常数.)(cossin)xayex123,3. 求解二阶常系数非齐次线性微分方程例 5 求微分方程 的通解.xy23(答案 , 为常数)12xxyCee12C例 6 求微分方程 满足初始条件 的特解.cos4 2)0(,1)(y(答案 )cos(in例 7 求微分方程 的通解.(2xey(答案
24、, 为常数)21131)6xx xyCe12C例 8 写出微分方程 的一个特解形式.eyxcos(答案 )*(cos3in)(inxabABx4. 求解可化为常系数的二阶变系数线性微分方程例 9 求微分方程 的通解.324xy(答案 , 为常数)12215xCye2C14例 10 求微分方程 的通解.xeyxyx341212）（(答案 , 为常数)23315yCee1C5. 求解含有两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组例 11 解微分方程组 .34,2zydxz(答案 为常数)551221, ,x xxyCeCe 26. 二阶线性微分方程的综合题例 12 设 ， 连续，求 .0()()xft
25、fd)(f)(f(答案 )13.42xxee例 13 设函数 具有连续函数的二阶导数，且满足方程)(y)1ln()1(102xdyxxx ）（ .0)(,1y）（试求 的表达式. )(答案 )ln().424(1yxxx4 微分方程的应用【大纲基本要求】会用微分方程解决一些简单的问题.一、导言利用微分方程解决实际问题是考研的重点之一，在应用微分方程理论和方法解决实际问题时，首先碰到的是如何建立该问题的数学模型，即如何建立微分方程，同时提出相应定解条件.这不仅需要我们了解未知函数导数在不同学科中的意义，而且要求我们知道不同学科中的有关定律和原理.下面通过数学应用与物理应用两类问题的举例来说明对不
26、同问题建立微分方程的具体做法.152、微分方程的在数学中应用例 1 假设（1）函数 满足条件 和 ；)0)(xfy(0)f1)(xef（2）平行于 轴的动直线 与曲线 和 分别相交于点 ；（3）MN(fy1xe2P和曲线 ，动直线 与 轴所围封闭图形的面积 S 等于线段 的长度. 求函数)(xfy 21的表达式.(答案 )1)(.2xfe例 2 设曲线 L 位于 平面的第一象限内，L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交Oy点记为 A，已知 ，且 L 过点 ，求 L 的方程.M(32)，(答案 )23,(0yx例 3 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 ( )到坐标原点的距离，恒等于,
27、Pxy0该点处的切线在 轴上的截距，且 L 经过点 .21）（1）试求出曲线 L 的方程；（2）求 L 位于第一象限的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小.(答案（1） ， （2） )4yx31YX例 4 已知 满足 ，n 为正整数，且 ，求函数项)(fn ,)(1xnneff nef)1(级数 之和.1nx(答案 ， )1()ln(1xnfe例 5 （1）验证函数)!3(!96!3)( nxxxy ）（ x满足微分方程 .xe（2）利用（1）的结果求幂级数 的和函数.03)!(nx(答案（1） ， （2） ， )xye21cos33xxyee三、微分方程的物理应用16思路
28、 解物理应用问题，一般分四步进行：（1）根据问题具体情况，建立适当的坐标系，并设定物理量. （2）用适当的物理定律，写出一个（或一组）等式，常用的如牛顿第二定律，动量或能量守恒定律，胡克定律，光的折射定律等. （3）将等式转化为微分方程. （4）解所得微分方程并还原其物理意义. 例 6 某湖泊的水量为 V，每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含6VA 的水量为 ，流出琥珀的水量为 . 已知从 1999 年底湖中污染物 A 的含量为 ，超3 05m过国家规定指标. 为了治理污染，从 2000 年初始限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 ，V问至少需经多少年，湖泊中污染物 A 的含量降至 以内？（注：设湖水中 A 的浓度时均匀0m的.）(答案 )6ln3t例 7 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的. 设该人群的总人数为 .在 时刻已掌握新技术的人数为 ，在任意时刻 t 已掌握新技术的人数为N0t 0x(将视 为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积)xt成正比，比例常数为 ,求 . k()xt(答案 )0Ntkxe例 8 一单位质量的质点沿 轴运动，所受之力 . 若质点最初位置在原xxfsin)(点，初速度为 . 证明：当时间 时质点趋近于一个极限位置，并求出极限位20vt置. (答案, 质点趋于位置 处.),t
