1、第 - 1 - 页 共 10 页武汉龙文教育高考数学模拟试题2013.10.30一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知 为虚数单位，且 ，则 的值为,xyRi(2)1xiyi()xyiA4 B C D 442i2. 不等式 的解集非空的一个必要而不充分条件是210aA B C D a0a0a3. 现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动. 若每个社区至少一名义工，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为A B C D4. 下列几何体各自的三视图中, 有且仅有两个视图相同的是5. 已知数列 为等差数列
2、， 为等比数列，且满足： ， ，则nanb102a214b87201tanbA1 B C D -1336. 已知 ， 由如右程序框图输出的xdNdxM20102cos, SA. B. C. D. 417. 已知点 表示的平面区域内的一个动点，且(,)40xxyyabc是 不 等 式 组目标函数 的最大值为 7，最小值为 1，则 的值为2zabcA2 B C 2 D-112-8.设函数 ，若 ，则函数 的各极大值之和为)cos(in)xexf0)(xf 输出 S结束 否开始输入 M， N是第 - 2 - 页 共 10 页A. B. C. D. e1)(06201)(e2106)(ee1)(209
3、.已知 是锐角三角形 的外接圆的圆心, 且 ，若 ，则 =OABCAcoss=iniBCAmAOA B C D不能确定sincosta10.设抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上异于顶点的一点，且 在准线上的射影为点 ，则2=4yxFMM/M在 的重心、外心和垂心中，有可能仍在此抛物线上的有/MFA0 个 B1 个 C2 个 D3 个二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，摸棱两可均不得分.11. 某校对全校男女学生共 1600 名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本已知女生
4、比男生少抽了 10 人，则该校的女生人数应是 人12. 函数 的定义域为 R.， ，对任意的 ，则 的解集为 .()fx(-1)=2f /,()2xRf()+4fx13.已知点 P是双曲线20,yab右支上一点， 1F、 2分别是双曲线的左、右焦点. I为12F内心，若 1212IPFIIFSS，则双曲线的离心率为 .14. 设f：N*N*， 是定义在正整数集上的增函数，且f（f（k）=3k，则f（2012）= ()x15. 在极坐标系中，直线 被圆 所截得的弦长是 _16. 如图所示，O 的直径 AB=6cm，P 是 AB 的延长线上的一点，过 P 点作 O 的切线，切点为 C，连接 AC，
5、若 ，则 PC= 。30CA三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数 ，若 的最大值为 1()sin2)sin(2)cos23fxxxm()fx（1）求 的值，并求 的单调递 增区间;m（2）在 中，角 、 、 的对边 、 、 ,若 ，且 ，试判断三角形的形状.ABCabc()31fBabc18.如图，所有棱长都为 2 的正三棱柱 ，四边形 是菱形，其中 为 的中点。DCAEBD(1) 求证： ; /DABEC面(2) 求面 所成锐二面角的余弦值；与 面（3）求四棱锥 与 的公共部分体积。 C ABBCCEEDD 第 - 3 - 页
6、共 10 页19某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次 “低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”若小区内有至少 的%75住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区” ，否则称为“ 非低碳小区” 已知备选的 5 个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.（）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区” 的概率；（）假定选择的“非低碳小区 ”为小区 ，调查显示其“低碳族”的比例为 ，数据如图 1 所示，经过同学A21们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图 2 所示，问这时小区 是否达到“低碳小区”的
7、标A准？ O月 排 放 量 （ 百 千 克 /户户 ） 频 率 组 距 0.46 0.23 0.1 .7 1 2 3 4 5 图 2 O 月 排 放 量 （ 百 千 克 /户户 ） 频 率 组 距 0.3 .25 0. 0.15 0.5 1 2 3 4 5 图 1 6 .4 20.有 n个首项都是 1 的等差数列，设第 m 个数列的第 k 项为 mka（ 3,21,n ） ，公差为md，并且 nnaa,32 成等差数列.(1)证明 的 多 项 式 ）是pdp211,(，并求 21p的值；(2)当 ,21时，将数列 m分组如下： )(1d， ),43d， ),(98765d，（每组数的个数构成等
8、差数列）.设前 组中所有数之和为4mc（ 0） ，求数列 mc的前 n项和 nS.(3)设 N 是不超过 20 的正整数，当 Nn时，对于(1) 中的 nS，求使得不等式 )(501成立的所有N 的值.第 - 4 - 页 共 10 页21.若椭圆 1E:21xyab和椭圆 2E:21xyab满足 21(0)abm,则称这两个椭圆相似， m是相似比.()求过( 2,6)且与椭圆24xy相似的椭圆的方程；()设过原点的一条射线 l分别与()中的两椭圆交于 两点（点 在线段 上）.,ABOB若 是线段 上的一点，若 成等比数列，求 点的轨迹方程; 求 BA的PAB,OPP最大值和最小值.22.设函数
9、 ( 为自然对数的底数)， （ ） exf23()1!nnxxg *N（1）证明： ；f1g（2）当 时，比较 与 的大小，并说明理由；0x()fxn（3）证明： （ ） 1232()(14nge *nN第 - 5 - 页 共 10 页理科数学答案一、 DBBDD CCBAB11.760 12. 13.2 14.3849 15. 16.1+（ ， ） 43二、 17. 18. 解：(1)证明如图取 的中点为 ，连 AF,CF,易得 AFCF 为DBF平行四边形。 ,又 4 分ECAF/面 AB/DABEC面（2）解：因 为菱形，且 ,取 BC 中点为 G 易得 AD， DG， DD 相互垂直，
10、故分别06以之为 x,y,z 轴建立坐标系如图。由棱长为 2 得 进而得面 的一个法)2,0(),31(),( AD向量为 ，又面 ABD 的法向量为（0，0 ，1）所以面 所成锐二面角的余弦值)1,3( BDA与 面721321),(,(cos另：不建系证得 即为二面角的平面角，再由线段长算得值亦可给分。9 分EC（3）设 BD 与 BD 的交点为 O ,由图得四棱锥 与 的公共部分为四棱ABCD锥 O-ABCD,且 O 到下底面的距离为 1， 3260sin21S所以公共部分的体积为 。 12 分32319. 解：（）设三个“非低碳小区”为 ，两个“ 低碳小区”为 2 分CBA, ,mn用
11、 表示选定的两个小区， ，则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有),(yx,xyn10 个，它们是 ， ， , , , , , , , . (,)AB)()m()()B()Cn()m5 分第 - 6 - 页 共 10 页用 表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区 ”这一事件，则 中的结果有 6 个，它们,是：D D， , , ， , . 7 分(,)Am(n)B(n()Cmn故所求概率为 . 8 分63105P（II）由图 1 可知月碳排放量不超过 千克的成为“ 低碳族 ”. 10 分0由图 2 可知，三个月后的低碳族的比例为 ，所以三个月后小区 达到了.7230.46.70.5
12、A“低碳小区” 标准. 12 分20. 解：(1)由题意知 mmnda)1(.)(1)(1 1222 dnan ,同理， )(2323 ， 3434a，)(1)1( nnn d.又因为 aa,32 成等差数列，所以 n12= na23= nna)1(故 ,112 nd 即 nd是公差为 1d的等差数列.所以 22 )()()(mm .令 ,21p则 21pm此时 1p=1.(2) 当 3d时, )(*N数列 m分组如下： )(1， ,432d， ),98765d，按分组规律，第 组中有 个奇数，所以第 1 组到第 组共有 2)1(m 个奇数.注意到前 k个奇数的和为 531k ，所以前 2m个
13、奇数的和为 42)(.即前 组中所有数之和为 ，所以 4)(mc.因为 ,0mc所以 cm，从而 ).(2)12*Ndm所以 nnnS 213(75231 143 .54 )()2 故 132 2 nnn 第 - 7 - 页 共 10 页132 2)()( nn1(1)nn 631n.所以 62)3(nnS.(3)由(2)得 )(*Nd, 62)3(1nnS)(*N.故不等式 nnd501就是 50.考虑函数 10)5)()1(502)3() 11 nxf .当 ,421时，都有 f，即 232.而 61)8(9)6f ，注意到当 n时， (f单调递增，故有 0)(nf.因此,当 时， 125
14、0)321n成立，即 nndS)6(5成立.所以,满足条件的所有正整数 N= ,76, .21. 解:( )设与214xy相似的椭圆的方程21xyab.则有 261ab解得 226,8ab,所求方程是2168xy. () 当射线 l的斜率不存在时 (0,)(,2)AB,设点 P 坐标 P(0, 0)y,则 24, 0y.即P(0, ). 当射线 l的斜率存在时，设其方程 ykx,P( ,)y,由 1(,)Ax, 2()y则124kxy得2124xky21|kOA同理24|1kOB第 - 8 - 页 共 10 页又点 P 在 l上，则 ykx，且由2222 28(1)()()ykxyy,即所求方
15、程是2184.又 (0, )适合方程, 故所求椭圆的方程是2184. 由可知,当 l的斜率不存在时， OBA2,当 l的斜率存在时, OBA22141kkb, 84综上 OBA的最大值是 8,最小值是 4. 22. 【考查目的】本题考查函数与导数、数学归纳法、不等式等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能、运算求解能力和创新意识，考查函数与方程思想、转化与化归思想解：（1）证明：设 ，所以 1 分11()()1xxfge1()xe当 时， ，当 时， ，当 时， 0x0 00即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取得唯一极小值，2 分1(),)(,)x因为 ，所以对任意实数 均有 即
16、，x1( 1()fg所以 3 分()fx1g（2）解：当 时， 用数学归纳法证明如下：0()fxng当 时，由（ 1）知 。n1()x假设当 （ ）时，对任意 均有 ，5 分k*N0()fxkg令 ， ，()()kkxfgx11()kkfx因为对任意的正实数 ， ， ()kfx由归纳假设知， 6 分1()()0kkxfgx即 在 上为增函数，亦即 ，1()kxfg,11()(0)kkx因为 ，所以 从而对任意 ，有 01()kxxfg即对任意 ，有 这就是说，当 时，对任意 ，也有xf nkx()fx由、 知，当 时，都有 8 分1()kg 0x()fxg第 - 9 - 页 共 10 页（2）
17、证明 1：先证对任意正整数 ， n1eg由（2）知，当 时，对任意正整数 ，都有 令 ，得 所以0x()fxng1x1=engf9 分eng再证对任意正整数 ，n123214ng 12!3!n要证明上式，只需证明对任意正整数 ，不等式 成立!n即要证明对任意正整数 ，不等式 （*）成立10 分n1!2n以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：方法 1（数学归纳法）：当 时， 成立，所以不等式（*）成立n1!2假设当 （ ）时，不等式（*）成立，即 11 分kN1!2k则 111!2kk因为 11 101112CC2kkk kkk 所以 13 分112!2kkk这说明当 时，不等式（*）也成立由 、知，对任意正整数 ，不等式（*）都成立n n综上可知，对任意正整数 ， 成立 14 分n 12321e4g第 - 10 - 页 共 10 页
