1、206习题十1. 根据二重积分性质，比较 与 的大小，其中：ln()dDxy2ln()dDxy（1）D 表示以（0，1） ， （1，0） ， （1，1）为顶点的三角形；（2）D 表示矩形区域 .(,)|35,02y解：（1）区域 D 如图 10-1 所示，由于区域 D 夹在直线 x+y=1 与 x+y=2 之间，显然有图 10-112xy从而 0ln()1故有 2lxy所以 2l()dln()dDDxy（2）区域 D 如图 10-2 所示.显然，当 时，有 .(,D3xy图 10-2从而 ln(x+y)1故有 2ln()l()xy所以 2dln()dDD2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值
2、：（1） ;4,(,)|0,2Ixyxyy（2） ;2sind|0Dx（3） .2(9),(,)|4IxyDy207解：（1）因为当 时，有 , (,)xyD02xy因而 .04从而 22xy故 dd2DD即 4xy而 （ 为区域 D 的面积） ，由 =4D得 .8d82xy(2) 因为 ，从而20sin1,0sin12xy故 dsidDD即 20inxy而 所以 22sidDxy（3）因为当 时， 所以(,)204xy22949()95xy故 2dd2DDxy即 2()而 4所以 236(9)d10Dxy3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（1） 2 22(),(,)|;axya
3、（2） d|.Dxy208解：（1） 在几何上表示以 D 为底，以 z 轴为轴，以2()d,Daxy（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以 231()daxya（2） 在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以 a 为半径22Dxy的上半球的体积，故 23d.Daxy4. 设 f(x，y)为连续函数，求.2200201lim(,)d(,)|()Drfxyyr解：因为 f(x，y )为连续函数，由二重积分的中值定理得， 使得(,),D2,(,)Drf又由于 D 是以（x 0，y 0）为圆心，r 为半径的圆盘，所以当 时，0r0(,)(,)于是： 0220 0(,),)11lim(,)dlim(,
4、)lim(,)Dr r rxyfxyffxy5. 画出积分区域，把 化为累次积分：Df（1） ;(,)|1,xyyx(2) 2|D(3) (,)|,xyx解：（1）区域 D 如图 10-3 所示，D 亦可表示为 .1,01yxy所以 10(,)d(,)dyfxyfx(2) 区域 D 如图 10-4 所示，直线 y=x-2 与抛物线 x=y2 的交点为（1，-1） ，（4，2） ，区域 D 可表示为 .2,1209图 10-3 图 10-4所以 21(,)d(,)dyDfxyfx（3）区域 D 如图 10-5 所示，直线 y=2x 与曲线 的交点(1，2)，与 x=2 的2yx交点为(2 ，4)
5、,曲线 与 x=2 的交点为（2，1） ，区域 D 可表示为y2,1.yx图 10-5所以 .21(,)d(,)dxDfxyfy6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序：（1） ; (2) ;20(,)yf eln10d(,)xfy(3) ; (4) ;3ddyx sin2dx(5) .123010(,)(,)dyffx解：（1）相应二重保健的积分区域为 D： 如图 10-6 所20,.yxy示.图 10-6D 亦可表示为： 04,.2xy所以 2002d(,)d(,).yxfxf210(2) 相应二重积分的积分区域 D： 如图 10-7 所示.1e,0ln.xyx图 10-7D 亦可表示为
6、： 01,e,yx所以 eln100ed(,)d()yxfyf(3) 相应二重积分的积分区域 D 为： 如图 10-8 所示.1,32,yxy图 10-8D 亦可看成 D1 与 D2 的和，其中D1： 0,xyxD2： 3(3).所以 .2 11213()200 0d(,)d(,)d,dyx xfxfyfy (4) 相应二重积分的积分区域 D 为： 如图 10-9 所,sinsi.x示.图 10-9D 亦可看成由 D1 与 D2 两部分之和，其中D1： 0,arcsin;yyxD2： arcsi.y211所以 sin01arcsin012arcsin02d(,)d(,)d(,)dx yyfyf
7、xfx(5) 相应二重积分的积分区域 D 由 D1 与 D2 两部分组成，其中D1： D2：,x3,.y如图 10-10 所示.图 10-10D 亦可表示为： 02,3;xy所以 123230100d,d(,)d(,)dy xfxffy7. 求下列立体体积：（1）旋转抛物面 z=x2+y2,平面 z=0 与柱面 x2+y2=ax 所围；（2）旋转抛物面 z=x2+y2,柱面 y=x2 及平面 y=1 和 z=0 所围.解：（1）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积V= 其中 D：2()dDxy(,)|a由被积函数及积分区域的对称性知，V=2 ，12()dDxy其中 D1 为 D 在第一象限的
8、部分.利用极坐标计算上述二重积分得.coscos344422200013ddcos2aarr a (2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积 2(),DVxy其中积分区域 D 为 xOy 面上由曲线 y=x2 及直线 y=1 所围成的区域，如图 10-11所示.图 10-11D 可表示为： 21,1.xy212所以 212 2()d()dDxVxyy211234618.305x x8. 计算下列二重积分：（1）2d,:1,;Dxyyx(2) D 由抛物线 y2=x,直线 x=0 与 y=1 所围；e,xy（3） D 是以 O(0,0)，A(1 ，-1)，B (1，1)为顶点的三角形;2d,
9、(4) .cos()(,)|0,Dxyxyxy解：（1） 22223111dddxxx2419.(2) 积分区域 D 如图 10-12 所示.图 10-12D 可表示为： 201,.yxy所示22100ededed()x xyyy211110000()dyxyy11112000 0dee.yyy(3) 积分区域 D 如图 10-13 所示.213图 10-13D 可表示为： 01,.xyx所以212 2 200ddarcsindxxxyy y 112300.6 0 00(4)cos()dcos()dsin()dini2si2)1.cs xDxxyyyx9. 计算下列二次积分： 1012124s
10、in()d;ede.yyyxx解：（1）因为 求不出来，故应改变积分次序。sin积分区域 D：0y 1, y x ，如图 10-14 所示。y图 10-14D 也可表示为：0x 1,x 2yx.所以21421112000101100sinsinsidd()d(ii)dinsisncon.syxxxyxxx(2)因为 求不出来，故应改变积分次序。积分区域 D 分为两部分，其中edyx1 21:,:,.42DyDyxy 如图 10-15 所示：图 10-15积分区域 D 亦可表示为： 21,.xyx 于是： 2211112241 112 22dededed3() 8xyyyyxxxxx10. 在极
11、坐标系下计算二重积分：(1) 2 22sind, ;(,)|4DxyDxyy(2) D 为圆 =1 所围成的区域；2()e2(3) D 是由 =4, =1,及直线 y=0,y=x 所围成的在第一arctnd,Dxy2xy2xy象限内的闭区域；(4) D 是由曲线 =x+y 所包围的闭区域。(),Dx2解：(1)积分区域 D 如图 10-16 所示：215图 10-16D 亦可采用极坐标表示为：r2, 02所以 22022sindsind6.coDxyr(2)积分区域 D 可用极坐标表示为：0r1, 02.所以： 2 2 22211()0 0ededed().xy r rDr(3)积分区域 D
12、如图 10-17 所示.图 10-17D 可用极坐标表示为：0 , 1r 2.4所以： 2401arctndarctn(o)d39.264Dxyr(4)积分区域 D 如图 10-18 所示，216图 10-18D 可用极坐标表示为： 3,0cosin4r 所以： 3cosin240cosin34034434()d()d(i)1cosidin.2Dxyrrr11. 将下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： 222 20 0(1)d()d;()dd;ax axy y 2212 20 03;4.x ax解：（1）积分区域 D 如图 10-19 所示.图 10-19D 亦可用极坐标表示为： 0,02c
13、os2ra 所以： 2 2cos42a 2cos230 0044420d()ddd13.ax ary 217(2)积分区域 D 如图 10-20 所示.图 10-20D 可用极坐标表示为： 0,0sec4ra 于是： 4sec33a sec2244400003 3ddddsdtanl(stan).2ln(1)66ax ayr (3)积分区域 D 如图 10-21 所示.图 10-21D 也可用极坐标表示为：.0,0sectan4r 于是： 2 011 sectan21440 0d()ddsectad2xyr (4)积分区域 D 如图 10-22 所示.图 10-22D 可用极坐标表示为： 0,
14、02ra 218于是: 2 423420 00d()dd.28aay arx*12. 作适当坐标变换，计算下列二重积分：(1) ,其中 D 是由 xy=2,xy=4,x=y,y=3x 在第一象限所围平面区域；2Dxy(2) d1;(,)xy(3) 令 x=v,x+y=u;1220(),xy(4)22d,:1;Dabab(5) 2, ;9(,)4xyxyx(6) 2d.4DD解：(1)积分区域 D 如图 10-23 所示：图 10-23令 xy=u, ,则yvx,(24,13)uxyvuv2(,) 1.2uxJyuv vvu于是： 433422 2112413 8dddln3.lnDuv uxy
15、vv(2)积分区域 D 如图 10-24 所示。219图 10-24令 x+y=u,x-y=v,则 , 2uvvxy且 -1u1, -1v1.(,)2xyJv于是： 4242 14241 114235421153()dd()d881354.9Duvvxyuuvuu （3）积分区域 Dxy: 0 x1, 1-xy2-x令 x=v, x+y=u, 则 y=u-v积分区域 Dxy 变为 Duv:0v1, 1u2.且 01(,)xyJuv于是 2121212 22300 01112320 0d()d()dd77.3xyvuvvvu (4)令 x=arcos, y=brsin 则积分区域 D 变为Dr：
16、 0 2, 0r 1,220cosin(,)isarxyJabrbr于是： 12 212 340 0ddd22rDDxyarabrab (5) 令 x=rcos，y =rsin. 即作极坐标变换，则 D 变为：0r3, 02.于是： 2322 20302324420ddd4()()11.Dxyrrx rr（6）积分区域 D 如图 10-25 所示：D 可分为 D1,D2D 3,D4 四个部分.它们可分为用极坐标表示为。图 10-25D1: 0, 0r2sin ,D2D 3: 0, 2sinr2,D4: 2, 0r2于是：2211 23 42 2 22sin2 20 0sin 02i 3322i
17、dddd()(si)(sin)iDDDDxyxyxyxyx xrrrrrr 232sn 244 4 30 00 2sin 0 4 40ddds si1616insii i338sdn3rrr 2000ddsi11618ini2si4432809.3 13. 求由下列曲线所围成的闭区域的面积：(1)曲线 所围（a0, b0）;2,byx(2)曲线 xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x 所围（x0,y 0）.解：（1）曲线 所围的图形 D 如图 10-26 所示：(0,)图 10-26D 可以表示为： 20ayxb所求面积为： 2 2001ddd.6abybDaSxxyb(2)曲线 xy=a
18、2,xy=2a2,y=x,y=2x(x0,y0)所围图形 D 如图 10-27 所示：222图 10-27所求面积为 dDSxy令 xy=u, ,则yvx22,(,1)uxyvauv,)(xyJ于是 22 22111dddlnaDauv aSxyvuvv14. 证明：(1) 1()();bybn na axffxx(2) ,D 为|x|+|y |1;1d)dDffu(3) ,其中 D 为 x2+y21 且122() dfaxbycfuuabca2+b2 0.解：（1）题中所给累次积分的积分区域 D 为ayb, axy.如图 10-28 所示：223图 10-28D 也可表示为 ax b，xyb
19、，于是： 11d()(d()(dd()1. bbyb bn n na axaxfyfxyfynf (2)令 x+y=u,x-y=v，则,且-1u1,-1v12,于是(,)uv 111()d()d()d().22Duvfxyfvufvfu(3)令 ,则22,aubvab22222()(), 1()fxycfucababJv当 x2+y21 时， 22222()()1.aubvuavbuavu于是 222111221()ddd.Duvuufxycfvcfabfvcuf15. 求球面 x2+y2+z2= y2 含在圆柱面 x2+y2=ax 内部的那部分面积。解：如图 10-29 所示：224图 10
20、-29上半球面的方程为 ，由22zaxy2222,zyax 得 2221zyxaxy由对称性知 22 22cos22 20 coscos 1220 00204d4d1()dd) d()4(1in)(.DDaaazAyxxyr rra 16. 求锥面 z= 被柱面 z2=2x 所割下部分的曲面面积。xy解：由 z2=x2+y2,z2=2x 两式消去 z 得x2+y2=2x，则所求曲面在 xOy 面上的投影区域 D 为：x 2+y22x,而222;11.xzyyzxx 故所求曲面的面积为. 22 2cos02cos 220001ddd4cos(1).DDzAyxyrxr 22517. 求底面半径相
21、等的两个直交圆柱面 x2+y2=R2 及 x2+z2=R2 所围立体的表面积。解：由对称性知，所围立体的表面积等于第一卦限中位于圆柱面 x2+y2=R2 内的部分面积的 16 倍，如图 10-30 所示。图 10-30这部分曲面的方程为 ，于是所求面积为.2zRx22 22 2020 0016d160dd16d16.DDRxxR xzAyxyRyy 18. 设薄片所占的闭区域 D 如下，求均匀薄片的重心。(1)D 由 所围成；0,ypx(2)D 是半椭圆形闭区域： ;21,0xyab(3)D 是介于两个圆 r=acos,r=bcos(00,b0）对 x 轴及坐标原点的1x转动惯量（面 为常数）
22、 .解：所围三角区域 D 如图 10-37 所示：图 10-37 322230002 220 0 0033 2230ddd.1()()dd.11abybbxD aya bybbb aIyxxyxaya 24. 求面密度为常量 的匀质半圆环形薄片：对位于 z 轴上点 M0(0,0,a)(a0)处单位质量的质点221,0Ryxyz的引力 F.解：由对称性知 Fy=0，而230212 21 121 13 323322arctn arctn3 cosdd()()os (tan)()secd(seco)dRDRRRxrFxGGyrratttt 令2222111lGR 21213 322222 1dd()
23、RzDRrFaGaaxyGr故所求引力为： 2221211221ln ,0aRFRaG 25. 化三重积分 为三次积分，其中积分区域 分别是：(,)dIfxyz(1)由双曲抛物面 xy=z 及平面 x+y-1=0,z=0 所围成的闭区域；(2)由曲面 z=x2+y2 及平面 z=1 所围成的闭区域；(3)由曲面 z=x2+2y2 及 z=2-x2 所围成的闭区域;(4)由曲面 cz=xy(c0)， 所围成的第 I 卦限内的闭区域。21,0ab解：(1)积分区域 如图 10-38 所示，图 10-38231 可表示为：01xyz故 100d(,)d.xyIfz(2)积分区域 如图 10-39 所
24、示。图 10-39 可表示为： 2211xyxz故 2211d(,)d.xyIfxz(3)由 消去 z 得2zxy22xy即 ，所以 在 xOy 面的投影区域为 x2+y21，如图 10-40 所示。21图 10-40 可表示为：-1x 1, , x2+2y2z2-x 22211xy故 221d(,)d.xxyIf(4)积分区域如图 10-41 所示。 可表示为： 20,0,0bxyxayaxzc 232图 10-41故 200d(,)d.bxyacIxfz26. 在直角坐标系下计算三重积分：(1) ,其中 是由曲面 z=xy 与平面 y=x,x=1 和 z=0 所围成的闭区23dxyz域；(
25、2) ，其中 为平面 x=0,y=0,z=0,x+y+z=1 所围成的四面体；31xyz(3) ， 是两个球：x 2+y2+z2R 2 和 x2+y2+z22Rz(R0)的公共部分；2dz(4) ,其中 是由 x=a(a0),y=x,z=y,z=0 所围成；xy(5) ,其中 是由 x2+z2-y2=1,y=0,y=2 所围成；edz(6) ,其中 是由 所围成。sinxy ,02xz解：(1)积分区域 如图 10-42 所示。图 10-42 可表示为： 01xyz2331123 232300004560120ddddd.836xyxxyxxyzzz(2)积分区域 如图 10-43 所示， 可
26、表示为： 10xyz图 10-43故 113 30011 20 0120110010ddd(1)()dd()8235dln2()88xyxyxxxxyz zyx(3)积分区域 如图 10-44 所示。图 10-44234由方程 x2+y2+z2=R 及 x2+y2+z2=2Rz 得两球的交线为： ,且平面2234xyRz把积分区域 分为两部分，且积分区域 在 z 轴上的投影区间为0,R,记2z过 上任意一点 z 的平行于 xOy 面的平面与 相交的平面区域为 D1(z),过0,R上任意一点 z 的平行于 xOy 面的平面与 的相交的平面区域为 D2(z)，,2则 1 21 22220() ()
27、() ()22034242245350ddddd()()RRDzDzRz zRRzxyxyxyzzR52980R(4)积分区域 如图 10-45 所示。图 10-45 可表示为：0xayz故23520000003566000dddd11.2848yaxyaxyaxaaxa zxyzzz(5)积分区域 如图 10-46 所示。图 10-46 在 y 轴上的投影区间为0,2，故 222220()002edede(1)d(e)dd3(1).yyy yyDyxzxz(6) 积分区域 如图 10-47 所示。图 10-47 可表示为：02xyz故 22200002sinsinsindddd11iisi.4424xxxyxzyzy 27. 如果三重积分 的被积函数 f(x,y,z)是三个函数 f1(x), f2(y), (,)dfxyzf3(z)的乘积，即 f(x,y,z)=f1(x)f2(y)f3(z)，积分区域为axb，cyd,lz m，证明,这个三重积分等于三个单积分的乘积，即
