1、现代控制理论实验指导书易杰 编湖 南 工 学 院电气与信息工程学院实验一 系统的传递函数阵和状态空间表达式的转换一、实验目的 1、 学习多变量系统状态空间表达式的建立方法、了解系统状态空间表达式与传递函数相互转换的方法。2 、通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数相互转换方法。二、实验设备PC 计算机 1 台（要求 P4-1.8G 以上） ，MATLAB6.X 软件 1 套。三、实验内容1、 设系统的模型如式(1.1)示。(1.1)pmnRyuRxDCyBuAx其中 A 为 nn 维系数矩阵、B 为 nm 维输入矩阵 C 为 pn 维输出矩阵，D为传递阵，一般情况下为 0，
2、只有 n 和 m 维数相同时，D=1。系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1.2)示。(1.2)DBASICsdenumG1)()(式(1.2)中， 表示传递函数阵的分子阵，其维数是 pm； 表示传)(sden递函数阵的按 s 降幂排列的分母。2、 实验步骤： 根据所给系统的传递函数或（A、B、C 阵） ，依据系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1.2)，采用 MATLA 的 file.m 编程。注意：ss2tf 和 tf2ss 是互为逆转换的指令。 在 MATLA 界面下调试程序，并检查是否运行正确。 例 1.1 已知 SISO 系统的状态空间表达式为(1.3)，求系
3、统的传递函数。(1.3),63123401321 uxx 3210xy程序:%首先给 A、B、C 阵赋值；A=0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2;B=1;3;-6;C=1 0 0;D=0;%状态空间表达式转换成传递函数阵的格式为num,den=ss2tf(a,b,c,d,u)num,den=ss2tf(A,B,C,D,1) 程序运行结果:num =0 1.0000 5.0000 3.0000den =1.0000 2.0000 3.0000 4.0000从程序运行结果得到:系统的传递函数为:(1.4)4325)(3ssSG 例 1.2 从系统的传递函数(1.4)式求状态空间表达式。程序:
4、num =0 1 5 3; % num 赋值时，系数前补 0，使 num 和 den 赋值的个数相同；den =1 2 3 4;A,B,C,D=tf2ss(num,den)程序运行结果:A =-2 -3 -41 0 00 1 0B =100C =1 5 3D =0由于一个系统的状态空间表达式并不唯一, 例 1.2程序运行结果虽然不等于式(1.3)中的 A、B、C 阵，但该结果与式(1.3)是等效的。不防对上述结果进行验证。 例 1.3 对上述结果进行验证编程%将例 1.2上述结果赋值给 A、B、C、D 阵；A =-2 -3 -4;1 0 0; 0 1 0;B =1;0;0;C =1 5 3;D
5、=0；num,den=ss2tf(A，B，C，D,1)程序运行结果与例 1.1完全相同。四、实验要求在运行以上例程序的基础上，应用 MATLAB 对(1.5)系统仿照例 1.2编程，求系统的 A、B、C、阵；然后再仿照例 1.3进行验证。并写出实验报告。(1.5)4325)(3ssSG提示：num =0 0 1 2；0 1 5 3；实验二 状态反馈1、实验原理和电路若受控系统（A、B、C）完全能控，则通过状态反馈可以任意配置极点。设受控系统如图 2-1 所示。图 2-1 受控系统期望性能指标为：超调量 Mp5%；峰值时间 tp0.5 秒。由 Mp=e-/ 1-2 5% =0.707tp= 0.
6、5 n=10因此，根据性能指标确定系统希望极点为： *1= -0.707+j7.07 *2= -0.707-j7.07图 2-1 受控系统的状态方程和输出方程为：（2-1）式中 x1 -20 20 0 x= , A = ,b = ,C=1 0 x2 -1 0 1系统的传递函数为： G0(S) = .x= A x + b u Y= C x X2U(S) X1Uo(S)10.05S+11Sn1- 2S 1+ 0S2+ 1S+ 020S2+20S+20 = (2-2) 受控系统的能控规范形为：(2-3)式中 , (T 为变换阵)0 1 0 1 = = - 0 - 1 -20 -20 0 = = 0
7、1 = 20 0 1 当引入状态反馈阵 Kk=k0 k1后， 闭环系统(A k -bk Kk, bk, Ck) 的传递函数为：G(S) = (2-4)而希望的闭环传递函数特征多项式为：f*(S) = S2+ 1*S+ 0*= (S- *1) (S- *2)= S2+14.1S+100 (2-5)令 Gk(S) 的分母等于 f*(S) ，则得到 Kk 为：Kk= k0 k1=80 -5.9 (2-6)最后确定原受控系统的状态反馈阵 K：由于 K= Kk T-1 由 Ak = T-1 AT, bk = T-1 b 和 C k =CT 求得1/20 0 T-1 = .xk= A kxk + b ku
8、 Y= Ck xk xk = T-1 x Ak = T-1 A T bk = T-1 b Ck = C T S 1+ 0S2+( 1+k1S)+( 0+k0)20S2+(20+k1S)+(20+k0)-1 1 所以状态反馈阵为：1/20 0 K = 80 -5.9 = 9.9 -5.9 -1 1 极点配置后系统如图 2-2 或 2-3 所示：图 2-2 极点配置后系统图 2- 3 极点配置后系统（图中“输出增益阵” 是用来满足静态要求的，这里无静态要求，可取 L=1）根据图 2-3所示的系统，设计如图 2-4 所示的模拟电路。X11-5.9U(S)Uo(S)X210.05S+11S9.9L -
9、5.9U(S)Uo(S)X2 X1110.05S+110.9L 1S33.9K18.3KUC(t)10K测量点-U o10K500KKKK12200K50K200K50K图 2-4 极点配置后系统的模拟电路2、实验内容及步骤（1） 观察极点配置前系统的阶跃响应曲线，如图 2-5 所示t s=(34)*1/n (- 2-1 )=(34)s 其中 1图 2- 5（2） 按配置后的电路图 2-4 接线，输入阶跃信号，从示波器上可观测到曲线如图 2-6 所示（Mp=5%, tp=0.4 s）图 2-6很明显，经过极点配置后，系统的超调量和峰值时间大大缩短了。实验说明：1、本实验中，系统的超调量和峰值时间确实大大缩短，但系统存在很大的静差，这是由于：输入阶跃 r(t)=1(t)经拉式变换为: R(S) = 1/s极点配置后系统的闭环为：G(S)=20/(S 2+14.1S+100)则系统输出为: C(S) = R(S)*G(S) = 20/S*( S2+14.1S+100)由终值定理对系统求极限得：lim C(t) = lim S*C(S) =1/5t s0通过上面的理论分析可以看出，系统的确存在很大的静差。2、对于极点配置后的系统，在进行对象构造时，电阻的取值要求精确。0.4S10 UiC(t)t4S3S10U iC(t)t
