1、1（06-07 第二学期）一、填空题（5 分*840 分）1、已知向量 当 k 时， 正交。),425(1),10(21,2、矩阵 ， ，则 2AB ，AB 。A3B3、设方阵 ，则 ， 。26301A1*)(4、设矩阵 ，且 ，则 X 。10AEX25、若矩阵 与 相似，则 x ，y 。xy32426、设矩阵 ，则 。01A1A7、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 是它的三个解向量，且 ， ，则321,543214321该方程组的通解为 。8、行列式 。efcfbda二、 （6 分）设 为 n 维列向量， 令 ，证明 H 是对称的正交矩阵。1TTEH2三、 （7 分）设方阵
2、A 满足 ，求 。0521)(A四、 （7 分）设向量组 ),(1),3(2,t（1）t 为何值时，向量组 线性相关？3（2）当向量组 线性相关时，将其中一个向量用其余向量线性表示。321,五、 （7 分）向量组 线性无关， ， ， ，试证向量组 也线性无1212321321,关六、 （13 分）求正交变换 X=PY，将二次型 化为标准形。323214)( xxXf2七、 （10 分） 为何值时，方程组 有惟一解，无解，无穷多解？2)(211)(3xx八、 （5 分）设三阶实对称阵 A 满足条件 ，A 的秩 R(A)2，证明 A+3E 为正定矩阵，并求 。0 EA3九、 （5 分）设 A 为
3、n 阶非零方阵， 是 A 的伴随矩阵，A T是 A 的转置矩阵，当 时，证明 。* TA*0东华大学 20072008 学年第二学期期终试题（A 卷）一填空题（5 分630 分）1. 设 ,则 _ _(,)B2141B2. 设 ,则 _032A()RA3. 设 4 阶方阵 ，则 的逆矩阵 _501214. 已知 是可逆矩阵 的一个特征值，则 有一个特征值为3A()AE2153_5. 二次型 为正定二次型,则 _fxax21123a6. 已知矩阵 与矩阵 相似， 为变换矩阵即 ， 是矩阵 关于特征BPBP1A值 的特征向量，则矩阵 关于特征值 的特征向量为_二.(16 分) 设 ，求 。A120
4、3*,()A12三 （10 分）设 为列向量。,123 ,123,23.已知 线性相关，判断并说明 的线性相关性。3 ,1231四.(10 分) 设求(1)向量组 的秩(2) 向量组(,(,),(,),123405041(,),42954,1234的一个最大无关组。233五 （12 分）求方程组 的解。xx123451234560578六 （18 分）已知二次型 (,)21231336fxxx（1）写出 的对称矩阵 及其矩阵表示式。A（2）求一个正交矩阵 ，使变换 将二次型 化为标准型。PXY(,)fx123（3）求 。BA10七 （4 分）证明正交矩阵 的伴随矩阵 也是正交矩阵。*东华大学
5、2009-2010 学年第一学期线性代数试卷 A 卷一、填空题（每小题 4 分，共 40 分）.1. 设 为 3 阶矩阵且行列式 ，则 ， .|2A13TA2. 设向量组(a 3 1) T (2 b 3)T (1 2 1)T (2 3 1)T 的秩为 2 则 = , = .ab3. 设 维向量 , ; 矩阵 ,且 ，则 _ _.nx)0(， TEATxE114. 设 为 3 阶矩阵 则 .A1|21(55. 已知 相似于对角阵 , 则 = , = .1ba2ab6. 设 ， ，其中 互不相同， ，则 _ _ ,2321aAia3,1i|A线性方程组 的解是_ _ _.bxT7. 设 4 阶矩阵
6、 满足行列式 ， ， ，则其逆矩阵 必有一个特征值为 , 其伴随A0|2|AEET30|A1A矩阵 必有一个特征值为 .8. 二次型 的矩阵为 ,23212321 4),( xxxf 若其为正定二次型, 则 的取值范围为 .9. 设矩阵 为正交矩阵, 则 a = , b = .126Aab10. 设 、 是 3 元非齐次线性方程组 的两个解向量，则对应齐次线性方程T, x)201(T, x)54(bAx4有一个非零解 ; 又若 , 则非齐次线性方程组 的通解为 .0Ax()2RAbAx二、单项选择题（每小题 3 分, 共 15 分）1. 设 4 阶行列式 , 则 D 的展开式中, 下列各项符号
7、为负的是 .det()ijaA. ； B. ； C. ； D. .4321a43121324a4321a2. 设 为 阶矩阵, 且 ,则,n()RAA. ；B. ；C . ；D. .()0R()()RAB若()(RAB若3. 设 ，则以下选项中正确的是 .310mnijPaP若A. ； B. ； C. ； D. .45nm， 5， 54n， 4nm，4. 设 的特征值为 1，2，3， 是行列式 中元素 的代数余子式，3)(jiaijA|jia则 .12A. ； B. ； C. ； D. .2365. 设 为 阶矩阵, 且 , ，则必有 .,n0AA. ； B. ； C. ； D. .22)(|
8、0A|0B三、(6 分) 计算 阶行列式 n12121nn naaD 四、 （8 分）设 为 阶矩阵，且满足 ，其中 ，求 .BA,3EBA4201A五、(12 分) 已知线性方程组 ，试问 取何值时，方程组有唯一解、无解、无穷多解？并当方程bxa3211a，组有无穷多解时，求出其通解.六. (7 分)设向量组 线性无关，且可由向量组 线性表示。证明：321， 321，(1) 向量组 线性无关；(2) 向量组 与 等价.， 321， ，5七、(12 分) 设 ，求一个正交矩阵 ，使 为对角阵, 并求102 APA110.A东华大学 2008-2009 学年第 一 学期 试卷 A 卷一填空题：（
9、每小题 4 分，共 40 分）1. 若 阶方阵 均可逆， ，则 .nBA,CX2. 设 是 元齐次线性方程组 的解空间， 的秩为 ，则 的维数为 .V0rV3. 设 阶方阵 的伴随矩阵为 ， 则 的行列式 | | .A4. 设向量 可由向量组 线性表示，则 .)0,1(k),32,1(),10(2 )7,69(3k5若行列式 ，则行列式 .23zyx 11zyx6. 设 阶方阵 及 阶方阵 都可逆，则 .nAmBOA7. 设 4 阶方阵 的秩为 2 ，则其伴随矩阵 的秩为 .8设向量组 的秩为 2，则 .),540(),0,(),1,( 31 t t9.设矩阵 ， 为单位阵，矩阵 满足 ，则
10、= .2AEBAEB10.二次型 的矩阵为323121232131),( xxaxxf，若二次型 经过正交变换可化为标准型 , 则 .Af 1yfa二、单项选择题: （每小题 3 分，共 12 分）1.设 是 3 阶方阵, 将 的第 1 列与第 2 列交换得 , 再把 的第 2 列加到第 3 列得 , 则满足 的可逆矩阵ABCAQC为( )Q（A） ; （B） ; （C） ; （D） .010101012. 设向量组 线性无关，则下列向量组线性相关的是321,(A) ; (B) ;1 1321,(C) ; (D) .321, 263. 设 为 阶非零矩阵， 为 阶单位矩阵. 若 ，则（ ）An
11、En30A不可逆， 不可逆; 不可逆， 可逆;EABE可逆， 可逆; 可逆， 不可逆.CD4若向量组 可由向量组 线性表示，则 ( )r,:21 s,:21(A) ； (B) ； (C) 的秩 的秩； (D) 的秩 的秩. srsABAB三、(8 分) 设矩阵 , 矩阵 满足 , 其中 为 的伴随矩阵, 是单位矩阵,求矩阵 .01AEEB四、(8 分) 与 相似，求 x 和 y.32xyB02五、(8 分)设 是矩阵 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 ，则 ， 线性无关的充分21,A21,1)(2A必要条件是 . 0六、 （12 分）设有齐次线性方程组12341234()0,3(),4axxa试问 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.a七、(12 分)设 3 阶实对称矩阵 的特征值 是 的属于 的一个特征向量,记A,2,321T)1,(1A1，其中 为 3 阶单位矩阵.EAB54(I) 验证 是矩阵 的特征向量，并求 的全部特征值与特征向量；1BB(II) 求一个正交矩阵 ，使得 为对角阵，并写出该对角阵；PT(III) 求矩阵 .
