1、- 1 -第二十四讲 探索性问题【趣题引路】一个圆形街心花园,有三个出口 A、B、C,如图 1,每两个出口之间有一条 60m 长的道路,组成正三角形 ABC.在中心点还有一个亭子,为使亭子与原有的道路相通,需要修三条小路 OD,OE,OF,使另一出口 D、E、F 分别落在ABC 的三边上,且这三条小路把ABC 分成三个全等的多边形,以备种植不同品种的花草.(1)请你按以上要求设计两种不同的方案,将设计方案分别画出来,并附简单说明;(2)要使三条小路把ABC 分成三个全等的等腰梯形,应怎样设计?请把方案画出来,并求此时三条小路的总长;(3)请你探索出一种一般方法,使得出口 D不论在什么位置都能准
2、确地找到另外两个出口 E、F 的位置,请写明方法;(4)你在(3)中探究出一般方法适用于正五边形吗?这种方法可以推广到正 n边形吗?（1） (2) (3) (4)解析 (1)方案 1 D、E、F 分别与 A、B、C 重合,连结 OD、OE,OF,得三条小路OD、OE、OE.如图 2.方案 2 OD、OE、OF 分别垂直于 D,E,F 得 OD,OE,OF,如图 3.(2)如图 4,三条小路 OD、OE、OF 分别与 AC、AB、BC 平行,得到三个全等的等腰梯形;作OMBC 于 M,连结 BO,则 OE= =20,又 OE=OF=OD.sin60OMOE+OF+OD=3OE=60.即 3 条小
3、路 OD,OE,OF 总长为 60.(3)方案 1 在 BC、CA 上分别截取 BE=CF=AD,连结OD、OE、OF即得三条小路如图 5.方案 2 连 OD,将 OD 逆时针旋转 120交 BC 于 E,再逆时针旋转 120交 AC 于 F即得 3 条小路,如图 5.(4)在正五边形 A1A2A3A4A5 中,设 M1 为 A1A2 上任意一点,在各边上分别截取 A2M2=A3M3=A4M4=A5M5=A1M1,连结OM1、OM 2、OM 3、OM 4、OM 5 即可得 5 条小路,从而可进一步推广到正 n 边形.(5)- 2 -【知识延伸】探索性问题有别于通常的问题(常规问题).如果把一个
4、题目的系统分成已知条件,解题依据,解题方法和结论四个要素,那么探索性问题往往只有其中的两个要素,以解题过程来看,较少现成的法则和套路,较多分析、探索与创造.解决此类问题要求我们能综合运用观察、分析、分类、类比、转译、化归、特殊化、一般化、反证法以及数形结合甚至猜想等数学思想和方法.探索性问题归纳有四种题型:(1)探索题设下的图形或数量之间的关系;(2)探索解决问题的方法;(3)探索图形具备某性质或关系的条件或结论;(4)探索改变题设条件后结论是否变化.例 1 如图,O 为等腰梯形 ABCD 的内切圆,M、N、P 分别为O 与 AB、CD、BC 的切点.试尽可能多地找出其中图形的形状和大小之间所
5、存在的各种关系.解析 (1)角的相等:A=ABC,BCD=D;MBO=PBO;MOB=POB;MBO=COP 等.(2)角的互补:A+D=180;ABC+BCD=180.(3)角的互余:MBO+MOB=90;BOP+COP=90等.(4)线段的垂直:OMAB;ONCD:OPBC;OBOC.(5)共线点:N、O、M 三点在一条直线上.(6)线段的相等:BM=PB=MA;CN=CP=ND;OP=OM=ON;BC=BM+CN;AB+CD=AD+BC=2AD.(7)三角形全等:MBOPBO;NOCPOC.(8)三角形相似:OCBMOB(或PBO)NOC(或PCO).(9)比例线段:通过相似三角形对应边
6、成比例,可找到多组成比例线段关系.(10)作为比例中项的线段:OP 是 BP 与 CP 的比例中项,也是 MB 与 NC 的比例中项;MN 是 AB 与 CD 的比例中项;OB 是 MB 与 BC 的比例中项;OC 是 NC 与 BC 的比例中项.点评解此问题时最好要有条理性,先从某个角度进行分析,待不能再挖掘出新的对等或成比例的关系后,应及时地换一个角度再思考.例 2 如图,EB 是O 的直径,且 EB=6.在 BE 的延长线上,取点 P,使 EP=EB.A是 PE 上一点,过 A 作O 的切线 AD,切点为 D.过 D 作 DFAB 于点 F,过B 作 AD 的垂线 BH,交 AD 的延长
7、线于点 H.连结 ED和 FH.(1)若 AE=2,求 AD 的长;(2)当点 A 在 EP 上移动(点 A 不与点 E 重合)时,是否总有 ?试证明你的结论.EHF- 3 -设 ED=x,BH=y,求 y 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围.解析 (1)AD 切O 于 D,AE=2,EB=6,AD 2=AEAB=2(2+6)=16. AD=4;(2)无论点 A 在 EP 上怎么移动(点 A 不与点 E 重合),总有 .ADEHF证明 连结 BD,交 FH 于 G.AH 是O 的切线,D 为切点,3=4.又BHAH,BE 为直径,BDE=90,1=90-3=90-4=2.在DF
8、B 和DHB 中,DHB=90,1=2,DB=DB,DFBDHB.BF=BH.BHF 是等腰三角形.1=2,BGFH,即 BDFH.BDDE,EDFH, .ADEHF设 ED=x,BH=y,BE=6,BF=BH,EF=6-y.DF 是 RtBDE 斜边上的高,DFEBDE, ,即 ED2=EFEB.EFDBx 2=6(6-y),即 y=- x2+6.16点 A 不与点 E 重合,ED=x0,当点 A 从点 E 向左移动,ED 逐渐增大,A 和 P 重合时,ED 最大,这时,连结 OD,则 ODPH,ODBH.又PO=PE+EO=6+3=9,PB=12, ,BH= =4,ODBHBOABF=BH
9、=4.EF=EB-BF=6-4=2.由 ED2=EFEB,得 x2=26=12.x0,x=2 ,02 时,PA 交 CD 于 E.(1)用含 t 的代数式分别表示 CE 和 QE 的长.(2)求APQ 的面积 S 和 t 的函数关系式;(3)当 QE 恰好平分APQ 的面积时,QE 的长是多少厘米?解析 (1)BP=t,CQ=2t,PC=t-2,由 ECAB,且 AB=4,得PECPAB, ,ECPAB即 EC= ,4(2)tQE=QC-EC=2t- = ;t2(4)t(2)过 P 作 PEL,垂足为 F,交 QC 的延长线于点 G,因1=60,PF=PB.sin60= t.32又CDL,故
10、PGCD.S APQ =SEQA +SEPQ= QEGF+ QEPG= QE(GF+GP)= QE.PF121212= t= (t2-2t+4);(4)t3(3)因为APQ 是由QEA 和QEP 组成,又这两个三角形具有公共的底 QE,所以只须 G 平分 PF,即当 C 为 PB 的中点时,QE 即平分PAQ 的面积,于是由 t-2=2,可得 t=4,从而有:QE= = =6(cm).2(4)t2(4)点评这是一个点以定速沿规定方向移动的几何问题,求解此题的关键是抓住动点移动的- 5 -时间与各量之间的关系.例 2 AB 是O 的直径,把 AB 分成 n 条相等的线段,以每条线段为直径分别画小
11、圆,设 AB=a,那么O 的周长 L= a,计算:(1)如图 1,把 AB 分成两条相等的线段,每个圆的周长 L2= a= L;1(2)如图 2,把 AB 分成三条相等的线段,每个小圆的周长 L3=_;(3)把 AB 分成四条相等的线段,每个小圆的周长 L4=_.(1) (2) (3)(4)如图 3,把 AB 分成 n 条相等的线段,每个小圆的周长 Ln=_.结论:把大圆的直径分成 n 条相等的线段以每条线段为直径分别画小圆,那么每个小圆的周长是大圆周长的_.请依照上面的探索方法和步骤,计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系.解析 (2) L (3) L (4) L ;结论; .1341n又由
12、直径与面积的关系,得:面积关系为,每个小圆面积是大圆面积的 .21n点评此题先给出了特殊范例,然后要求归纳出一般性的规律,这类问题的解法因题而异,没有固定的解题模式,只有多练习多思考,提高观察、推理,归纳能力,遇到这类问题才会很快找到解法.中考真题欣赏例 1(2003 年北京市中考题)如图, ABCD 中,点 E,F 在对角线 AC上,且 AE=CF,请你以 F 为端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可).证明 四边形 ABCD 是平行四边形,AD=BC,ADBC.DAE=BCF.在BCF 和DAE 中,CB=AD,BCF
13、=DAE,CF=AE,BCFDAE.BF=DE.点评本题是一个常见的几何基本图形,可创设新的图形背景,使之成为我们合情推理能力- 6 -的生长点.例 2 (2003 年吉林省中考题)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 M 是半径 OA的中点,点 P在线段 AM 上运动(不与点 M 重合),点 Q 在半圆 O 上运动,且总保持 PQ=PO,过点 Q作半圆O 的切线交 BA 的延长线于点 C.(1)QPA=60时,请你对QCP 的形状做出猜想,并给予证明;(2)当 QPAB 时,QCP 的形状是_三角形.(3)由(1)、(2)得出的结论,请进一步猜想当点 P 在线段 AM 上运动到任何位置时,QC
14、P 一定是_三角形.解析 (1)QCP 是等边三角形.证明 连结 OQ,则 CQOQ,PQ=PO,QPC=60,POQ=PQO=30,C=90-30=60,CQP=C=QPC=60.QPC 是等边三角形.(2)等腰直角三角形.(3)等腰三角形.点评本题设计精灵,考查我们的推理能力,并且探求方式扩展到了由特殊到一般的归纳推理模式,使数学学习经历从合情推理到演绎推理的完整过程.竞赛样题展示例 1(2000 年黄冈市数学竞赛试题)如图,堆放在车厢里的两根圆木紧紧挨在一起,两根圆木的半径分别为 9dm 和 4dm,为了有效地利用空间,现要在两根圆木的间隙处插进一根半径为 1.5dm 的小圆木,问能否做
15、到?解析 O 1、O 2 的半径分别为 R、r.连结 O1O2,O1C,O2B,O3G,过 O2 作 O2DO 1C 交 O1C 于点 D,过 O3 作 O2D 的平行线交 O2B,O1C 于点 E、F.设O 3 的半径为 x,则在 RtO 2O3E 中,E= =2 .22()()xrxr又BG=O 3E,在 RtO 1O3F 中CG=O3F= =2 .22()()RxRO 2D=EF=BC=2 +2 , r在 RtO 1O2D 中,(R+r) 2-(R-r)2=O2D2,O 2D=2 x由、,得:2 +2 =2 ,rR- 7 - = 即 x= ,xRr2Rr当 R=9 和 r=4 时,x=
16、= .94365 ,故半径为 的圆木不能插进两圆木的间隙.362532点评本题实质上是求O 1 和 O 2 相外切同时O 1、O 2 又和直线(截面图形)相切的O 3,在此情况下,已知O 1、O 2 的半径,O 3 的半径也就可求出来了.例 2 (江苏省初中数学竞赛题)如图,AB 是半圆的直径,ACAB,AC=AB.在半圆上任取一点 D,作 DECD,交 AB 于点E,BFAB 交 AD 的延长线于点 F.(1)设 AD 是 x的弧,若要使点 E 在线段 BA 的延长线上,求 x 的取值范围;(2)不论点 D 取在半圆的什么位置,图中除 AB=AC 外,还有两条线段一定相等,指出这两条相等的线
17、段,并予以证明.解析 (1)当 E 点由右趋向于点 A 时,ADB 将成为等腰直角三角形,即 D 点为 OS与O 的交点,这里 OSAB,所以,点 E 从右运动到点 A 时,AD 是 45的弧,即 x=45.当点 E 离开点 A 在 BA 的延长线时,离点 A 越近,点 D 越接近于点 A,因此 x 接近于 0,D 为 A 点时,x=0,所以满足题设要求的 x 的范围是 0x45.(2)由题意,知CDE=90,CAB=EBF=90,ADB=90,AC 为圆的切线,CAD=ABD.DEB=180-AED=180-(360-180-C)=C,ACDEBD, .DCBE又ABD=BFD,所以ABDB
18、FD, ADBF所以 ,AB=AC,BE=BF.ACEF点评此题是探索结论问题,是在给定的条件下,探求相应的结论,解这类问题的思路是:从给定的条件出发,进行探索,归纳,猜想出结论,然后对猜想出的结论进行证明- 8 -全能训练A 级1.请你观察思考下列计算过程:因 112=121,所以 =11;同样,111 2=12 321,因为12;由此猜想: =_.12313456789432.观察一列数:3,8,13,18,23,28,依此规律,在此数列中比 2000大的最小整数是_.3.用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律,拼成若干个图案:问:(1)第 4 个图案中有白色地面砖_块.(2)第
19、n 个图案中有白色地面砖_块.4.将一张长方形的纸对折,如图所示可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续三次后,可以得到 7 条折痕,那么对折四次可以得到_条折痕,如果对折 n 次,可以得到_条折痕.5.已知,如图,线段 AMDN,直线 L 与 AM、DN 分别交于点 B、C,直线 L 绕 BC的中点 P 旋转(点 C 由点 D 向点 N 方向移动).(1)线段 BC 与 AD、AB、CD 围成的图形,在初始状态下,形状是ABD(即ABC)请你写出变化过程中其余的各种特殊四边形名称;(2)任取变化过程中的两个图形,测量 AB、CD长度后分别计算同一个图形的
20、AB+CD(精确到 1cm),比较这两个和是否相同?试加以证明- 9 -6.如图,AB 是O 的直径,O 过 AC 的中点 D,DEBC,垂足为 E.(1)由这些条件,你能推出哪些正确结论?(要求:不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中,不写推理过程写出 4 个结论即可);(2)若ABC 为直角,其他条件不变,除上述结论外,你还能推出哪些正确结论?并画出图形(要求:写出 6 个结论即可,其他要求同(1).A 级(答案)1.111 111 111.2.2 003.3.(1)18;(2)4n+2.4.15,2n-1 或 1+2+22+23+2n-1.5.(1)一般梯形,等腰梯形
21、、直角梯形和平行四边形;(2)经测量计算,两个图形的 AB+CD 都是相等的.6.(1)第一类:如图,连结 BD,可得结论:AB=BC(或A=C);DE 2=BEEC;DE 是 AD和 BE 的比例中项;DC 2=ECBC(或 AD2=ECBC);、第二类:连结 OD,可得结论;ODBC;ODDE;DE 是O 的切线从中任选 4 个结论即可.(2)如图,第一类:不添加辅助线,可得结论:BC 是O 的切线;DEAB;CE=EB;CDECAB;CB 2=CDCA;CD=DA=CE:EB;S CDE :SCAB =1:4;第二类:作辅助线.第一种情形:连结 BD,可得结论:DE=BE=CE;A=C=
22、45;第二种情形:连结 OD,可得结论,CE=DE=BE=AO=BO;(11).DE 是O 的切线从中任选 6 个结论即可- 10 -B 级1.如图 1,ABC 中,C=90,AC=8cm,AB=10cm,点 P 由点 C 出发以 2cm/s的速度沿线段CA 向点 C 运动(不运动至点 A),O 的圆心在 BP 上,且O 分别与 AB、AC 相切,当点 P运动 2s 时,O 的半径是( )A. cm B. cm C. cm D.2cm12753(1) (2) (3)2.如图 2,直径 AB 过O 的圆心,与O 相交于 A、B 两点,点 C 在O 上,且AOC=30,点 E 是直线 AB 上的一
23、个动点(与点 O 不重合),直线 EC 交O 于点 D,则使 DE=DO 的点 E共有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个3.如图 3,直角梯形 ABCD 中,AB=7,AD=2,BC=3,若点 P 在边 AB 上移动,使得以 P、A、D 为顶点的三角形和以 P、B、C 为顶点的三角形相似,则符合条件的 P 点有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个4.如图,在菱形 ABCD 中,DAB=120,点 E 平分 BC,点 P 在 BD 上,且 PE+PC=1,探求边 AB的最大值- 11 -5.已知如图,在ABC 中,BAC 与ABC 的平分线 AE、BE 相交于点
24、 E,延长 AE 交ABC 的外接圆于点 D,连结 BD、CD、CE,且BDA=60.(1)求证:BDE 是等边三角形;(2)若BDC=120,猜想四边形 BDCE 是怎样的四边形,并证明你的猜想.B 级(答案)1.A.2.C.3.C.设 AP=x,则 PB=7-x. 若PADPBC,则 = ,x= 7,符合条件;7x23145若PADCBP,则 ,x1=1,x2=6 也符合条件.故满足条件的 P 点有 3 个.4.如图,不论 P 如何移动,因为BAD=120,所以ADC 是等边三角形,取 AD的中点 F,连结 PF,可得 PF=PE.连 CF 可得 CFAD,根据题意,得 PF+PCFC,(当点 P 在 FC与 BD 的交点上时,取等号).又PF+PC=PE+PC=1,FC1,AB ,23所以 AB 的最大值是 - 12 -5.(1)如图,AD 平分BAC,3=4.又4=5,3=5,DBE=2+5,BED=1+3,1=2,DBE=BED.DB=DE.又BDE=60.BDE 是等边三角形;(2)猜想四边形 BDCE 是菱形,BDC=120,BDE=60,EDC=60.BED=60,BECD.3=4,BD=DC,BD=DC,又BD=BE,BE DC,/四边形 BDCE 是平行四边形,又 BD=DC, BDCE 是菱形.
