1、,高中数学必修3人教B版,1.3 中国古代数学中的算法案例,学习目标 1了解割圆术中无限逼近的数学思想 2理解更相减损术的含义，了解其执行过程 3掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质,预习导学,知识链接 120和30的最大公约数为 . 2已知函数f(x)x22x1，计算f(1)的值时用了 次乘法和 次加法运算；当函数变为f(x)(x2)x1，求f(1)时，用了 次乘法运算和 次加法运算,预习导学,10,2,2,1,2,预习导引 1更相减损术第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 若是，用 ；若不是，执行 第二步，以 的数减去 的数，接着把所得的差与 的数比较，并以大数减小
2、数，继续这个操作，直到所得的数 为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数,预习导学,偶数,2约简,第二步,较大,较小,较小,相等,2割圆术的算法思想刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值用刘徽自己的话概括就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”,预习导学,3秦九韶算法把一个n次多项式f(x)anxnan1xn1a1xa0改写成如下形式：(anxan1)xan2)xa1)xa0，求多项式的值时，首先计算 一次多项式的值，即v1
3、，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2 ，v3 ，,预习导学,最内层括号内,v0xan1,v1xan2,v2xan3, vn . 这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求 的值.,预习导学,vn1xa0,n个一次多项式,要点一 求两个正整数的最大公约数 例1 用更相减损术求261和319的最大公约数解 31926158，26158203，20358145，1455887，875829，582929，,课堂讲义,29290， 所以319与261的最大公约数是29. 规律方法 利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数若是，用2约简也可以不除以2，直接
4、求最大公约数，这样不影响最后结果,课堂讲义,跟踪演练1 用更相减损术求80和36的最大公约数 解 80240 36218 40220 1829 20911 1192 927 725 523 321 211 1224 所以80与36的最大公约数为4.,课堂讲义,要点二 秦九韶算法 例2 已知一个5次多项式为f(x)4x52x43.5x32.6x21.7x0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x5时的值解 将f(x)改写为f(x)(4x2)x3.5)x2.6)x1.7)x0.8，由内向外依次计算一次多项式当x5时的值：v04；v145222；,课堂讲义,v22253.5113.5； v3113.552
5、.6564.9； v4564.951.72 826.2； v52 826.250.814 130.2. 当x5时，多项式的值等于14 130.2.,课堂讲义,规律方法 1.先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可这样比直接将x5代入原式大大减少了计算量若用计算机计算，则可提高运算效率 2注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0xn.,课堂讲义,跟踪演练2 用秦九韶算法计算f(x)6x54x4x32x29x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为( ) A5,4 B5,5 C4,4 D4,5 答案 D 解析 n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为
6、零，则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为514.故选D.,课堂讲义,1我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率是( )A准确值 B近似值C循环小数 D有理数答案 B,当堂检测,2自然数8 251和6 105的最大公约数为( )A37 B23 C47 D111答案 A解析 利用更相减损之术可得它们的最大公约数为37.,当堂检测,3用秦九韶算法求多项式f(x)1235x8x279x36x45x53x6在x4的值时，v4的值为( )A57 B220 C845 D3 392答案 B解析 v03，v1v0x5，v2v1x6，v3v2x79，
7、v4v3x8，v4220.,当堂检测,4用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是( )A2 B3 C4 D5答案 C解析 (294,84)(210,84)(126,84)(42,84)(42,42)，需做4次减法,当堂检测,5用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为_答案 先除以2，得到18与67解析 36与134都是偶数，第一步应为：先除以2，得到18与67.,当堂检测,1更相减损术求两个正整数的最大公约数时，当两个整数的差值较大时，运算次数较多 2秦九韶算法用于计算高次多项式的值，它能把高次式的和转化成一次式的积在使用秦九韶算法时，如果缺少某些项，应将其系数看成0，添上这些项避免因漏项而出现错误.,当堂检测,再见,
