1、关于辛仿射群和群胚上的讨论第 26 卷第 4 期2007 年 l2 月新疆师范大学(自然科学版)JournalofXinjiangNormalUniversity(NaturalSciencesEdition)VoI_26.NO.4Dec.2007关于辛仿射群和群胚上的讨论胡月宏,卢维娜.,袁丽霞(1.新疆马兰 63650 部队,马兰 841700;2.新疆师范大学数理信息学院 ,新疆乌鲁木齐 830054).摘要:由于李群 H 上的 G 一仿射群是一个李群,所以它具有李群的性质 .文章根据辛李群的概念,定义了辛仿射群,并讨论了他的相关性质,文章最后分别证明了微分同胚保持 Poisson 群胚
2、及辛群胚的 Poisson 结构和辛结构.关键词:仿射群;辛李群;群胚中图分类号:O175.2 文献标识码:A 文章编号:1008 9659 一(2007) 一 040015031 基本概念定义 1 在李群 G 上给定一个辛结构,使(G,)构成辛流形,并且群的乘法运算:GGG 是乘积辛流形 GGG 的辛映射,则称(G,)为辛李群.定义 2 所谓一个仿射群 K(n,R)一 GL(,R)R“,是指在 K(n,R)中引人乘法,(A,a).(B,6)一 (AB,Ab+a)其中 A,BGL(,R),a,bR“,且 K(n,R)是一个李群,称为 R“上维(非奇异)仿射群.如将 K(n,R)中元素看作 R“
3、中仿射变换 ,则,VzR“, 在(A,a)作用下:x 一 x+2 主要结果定义 1 由辛李群的定义,若李群 G 为仿射群 K(G,H),其上再赋予结构,使(K(G,H),)构成辛流形,则称(K(G,H),OA)为辛 G 一仿射群.简称辛仿射群 .命题 1 仿射群(K(G,H),OA)上赋予了辛结构,使(K(G,H),)构成辛流形,则(K(G,H),)是辛仿射群的充分必要条件是,Vg,gG,h,hH,ccJt(glg2,gtg2+h1)=(Z自,1)ccJt(g2,h2)+(,h2)OAK(gl,h1)其中.I),r()分别表示辛仿射群(K(G,H),t) 的左,右平移 .证明若(K(G,H),
4、ccJt)是辛仿射群,则乘法:K(G,H) K(G,H)一 K(G,H)是辛映射.即 Vgl,g2G,hl,h2H,(OAKK(gl,h1),(g2,h2)一 ccJt(glg2,glh2+h1)由乘积辛流形(M,)(M2,)上的辛结构为,有ccJl2 一丌(OA1)+丌(OA2)其中:M M2 一 M(f 一 1,2)是标准投射.则?收稿日期200704-29作者简介 胡月宏 (1979 一). 女,新疆奇台人.硕士.工程师,主要从事激光大气传输效应方面的研究.16 新疆师范大学(自然科学版)COK(g1g2,g1h2+h1)=(EJKK(g1,h1),(g2,h2)一.(EJ)+(EJK)
5、(g1,h1),(g2,h2)=(-OK(丌 I)(gI,h1)+(-OK().(g2,h2)一(rg2,h2)(-OK(gl,hi)+(1c,】)(EJK(gz,hz)反之,逆推上也成立.推论 1 若(K(G,H),) 是辛仿射群,e.,e 分别是 G,H 的单位元,则coK(PG,eH)一 0其中 G 中的运算称为“乘法“,H 中的运算称为“加法“.证明因为有COK(PG,eH),(,eH)一 COK(PG,eGeH+eH)一(Z,cH).(-OK(ec,H)+(rc,H).(-Ok(ec,PH)贝 0COI(G,eH)一 CO(PG,eH)+COK(PG,eH)所以 COK(PG,eH)
6、一 0命题 2 设(K(G,H),) 是辛仿射群,G,H 均为辛流形,:K(G,H)H H 是左作用,则是辛作用的充分必要条件是,V(g,)K(G,H),hH,COK(g+)一 (g,】)*COH()+(,)*(g,)证明因为有:cuH()+)一 cuK(G,H)H(g,),h)贝H(+)一()+(,)H)(g,),)一(g,】)COH()+()(-Ok(g,)反之,逆推上式也成立.命题 3 设(r1Pt,口 1,)是 Poisson 群胚,(r2Pz,口 z,)是李群胚 ,:nr2 是微分同胚,那么(r2P2,口 2,92)也是 Poisson 群胚.证明由于(r1P1,口 1,)是 Poi
7、sson 群胚,那么 r1 上带有一个 Poisson 张量丌 1,使 r1成为 Poisson 流形,Vf,g (r2),定义厂,g)r2 一f.,g.这里不难得出,)n 满足双线性和反对称性,下面主要 ,)r2 满足莱布尼兹法则和雅可比恒等式分别进行验证.厂?g,)r2 一(厂,g).,h.)r1.一(厂.)?(g.),h.)r】.一(厂.)?(g.,h.)r1). 一+(g.)?f.,h.)r】).一(厂.)?(g,)r2+(g.)? 厂,)r2一厂?g,h)+g?f,h)(1)可见,)n 满足莱布尼兹法则.厂,g,h2)r2+g,厂)r2)r2+, 厂,g)r2)r2一厂.,g,)r2
8、.).+g.,厂)r2.+.,厂,g)r22.)n.=(厂.,g.,h.).r1.)r1+g.,f.).)n+.,厂.,g.)n.)r】.(2)一厂,g,h)+g,h,f)r2+h,f,g) 一 0可见,)n 满足雅可比恒等式.由此可知 r上有 Poisson 括号,),它是由,) 通过微分同胚诱导的,可知 n 为 Poisson流行,从而r2 上存在 Poisson 张量丌.的由微分同胚所诱导的 Poisson 张量玎,使得乘法映射的图像2 一(xy,z,)1“21“2 1“2l(z,)r2r2)是r2 1“2 的余迷向子流形.所以(r2P:,口:,)也是 Poisson 群胚.第 4 期胡
9、月宏等关于辛仿射群和群胚上的讨论 17推论 2 设(厂】P口】,)是辛群胚,(厂 2P2,口.,)是李群胚 ,:n 一厂 2 是微分同胚,那么(P2,a:,)是辛群胚.证明因为(J),a,)是辛群胚,则上有辛结构 ,令其辛结构为 n,由辛结构的性质可知,n为闭的非退化的 2 一形式,即一 0,且 KPm1 一XlX(F1)In1(Xl,Y1)=0,VYl(n)=0)其中(),X(F2) 分别表示 n,上的全体光滑向量场.定义 n:=(“)n)首先有 dO2 一()n1):().l 一()(O)一 0再次有 m2 一 Ker(_.)n1)一 KerX2X(F2)fn2(X2,Yz)一 0,VX(
10、F2)一KerX2X(F2)I( 矿)nl(X2,Y2)一 0,VY2X(F2)一KerX2X(F2)I(nl(X2),(Yz)一 0,VYzX(F2)因为(Xz),(Y2) (n), 由 n 的非退化性得 (X2)一 0,(yz)一 0,又因为为微分同胚,.是11 的,所以 X20即 Kem2 一0)则由以上证明可知 nz 为闭的非退化的 2 一形式,即 nz 一()n 是 n 的由微分同胚 9所诱导的 r:上的辛结构.n:使得乘法的图像 A:一(z.Y:,X:,Y:)是乘积辛流形的拉格朗Et 子流形,从而得出(P:,a:,)是辛群胚.参考文献:13 贺龙光 .关于 Poisson 群胚的结
11、构J.数学,1999,(9).23 王宝勤 ,刘亚军.有关流形上 Poisson 结构的几点讨论J. 工程数学,2002,(6).3陈维桓.锻分流形初步 M.北京:高等教育出版社,2001.43 侯传燕 ,宋军锋,王宝勤.关于仿射群的推广及应用J.新疆师范大学(自然科学版),2004,(6)DiscussiononSymplectic-AffineGroupandGroupoidsHUYuehong,LUWeina,YUANLixia(Unit63650ofPLA,MalanXinjiang841700;2.XinjiangNormalUniversity,UrumqiXinjfang8300
12、54)Abstract:TheGAffinegroupontheLiegroupHisaLiegroup.SOithasthecharacteristicsoftheLiegroup.Thispaper,byconsideringthedefinitionofSymplectic-Liegroup,definesSymplectic-Affinegroupanddiscussessomeofitscharateristics,andfinallyprovesrespectivelythatthedifferentialhomeomorphismkeepsthePossionstructureonthePossion-groupoidsandSymplectiestructureontheSymlecticgroupoids.Keywords:Affinegroup;Symplectic-Liegroup;Groupoid
