1、1（衡水金卷）2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题五 理第卷一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 UR，集合 23,AyxR，集合1,(3)Byx，则 ()UCB（ ）A (0,2) B 80, C 82,3 D (,2)2. 已知 3sin(3)2sinaa，则sin()4sin52co(2)aa（ ）A 12 B 1 C 6 D 163. 设 i为虚数单位，现有下列四个命题：1p：若复数 z满足 ()5i，则 zi；2：复数 2i的共轭复数为 1+3：已知复数 1z，设 (,)iabRz，那么 2a
2、b；4p：若 表示复数 的共轭复数， 表示复数 的模，则 z.其中的真命题为（ ）A 13, B 14,p C 23,p D 24,p4.在中心为 O的正六边形 ADEF的电子游戏盘中(如图)，按下开关键后，电子弹从点射出后最后落入正六边形的六个角孔内，且每次只能射出一个，现视 A， B， C，D， E， F对应的角孔的分数依次记为 1,2,3,4,5,6,若连续按下两次开关，记事件 M为“两次落入角孔的分数之和为偶数”,事件 N为“两次落入角孔的分数都为偶数”,则(|)PNM（ ）A 23 B 14 C. 13 D 1225. 某几何体的正视图与俯视图如图，则其侧视图可以为（ ）A B C.
3、 D6. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共 7层，每上层的数量是下层的 2倍，总共有 1016个“浮雕像” ，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列 na，则 235log()a的值为（ ）A8 B10 C. 12 D167. 下列函数在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）A 2()sinfx B ()1fx C. 1()lgxf Dx8.下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的个数是“数轴上两点间距离公式为 21()ABx，平面上两
4、点间距离公式为2211()()ABxy”，类比推出“空间内两点间的距离公式为 2221()z“；AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)“代数运算中的完全平方公式 22()abab”类比推出“向量中的运算22()abab仍成立“；“平面内两不重合的直线不平行就相交”类比到空间“空间内两不重合的直线不平行就3相交“也成立；“圆 21xy上点 0(,)Pxy处的切线方程为 01xy”，类比推出“椭圆2ab(上点 0,处的切线方程为 02ab”.A 1 B2 C. 3 D49.已知直线 ya与正切函数 tan(0)3yx相邻两支曲线的交点的横坐标分别为 1x， 2，且有 21x，假
5、设函数 t(,)x的两个不同的零点分别为 3， 43()，若在区间 (0,)内存在两个不同的实数 5， 65()x，与 3x，4x调整顺序后，构成等差数列，则 56tan(,)3yxx的值为（ ）A 3 B 3 C. 或 或不存在 D 3或10. 已知抛物线 24xy的焦点为 F,双曲线21(0,)xyab的右焦点为 1(,0)Fc，过点 1,F的直线与抛物线在第一象限的交点为 M，且抛物线在点 处的切线与直线3yx垂直，则 ab的最大值为（ ）A 2 B 32 C. 3 D2 11. 已知函数 ()fx的导函数 ()xfe (其中 为自然对数的底数)，且 (0)f， 2f为方程 2210xe
6、c的两根，则函数 2(Fxfx，0,的值域为（ ）A 2e B ,1e C. ,e D 0,1e12.底面为菱形且侧棱垂直于底面的四棱柱 1ABC中， E ， F分别是 1B，1D的中点 ,过点 A， E ， 1 ， F的平面截直四棱柱 1AC，得到平面四4边形 1AECF， G为 的中点，且 3FG，当截面的面积取最大值时，sin()3的值为（ ）A 410 B 3+10 C.3410 D 3+410第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分.13.已知函数 ()1(3
7、)fxx, (f为 )fx的导函数，则 ()fx的展开式中 2x项的系数是 14.已知向量 (,)a， 240b，向量 a， b的夹角为 3，设cmnbR，若 ()ca，则 mn的值为 15.已知函数2()xfe， 1,e， ,2x， maxin()()gff，则关于 的不等式 24g的解集为 16.已知数列 na的通项公式为 nat，数列 nb为公比小于 1的等比数列，且满足148b， 236b，设 2nc，在数列 nc中，若 4()ncN，则实数 t的取值范围为三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数 2()43cosin3(0)fxx在半个周期内的图象的如
8、图所示， H为图象的最高点， E， F是图象与直线 y的交点，且 2()EHF.（1）求 的值及函数的值域；（2）若 03()5fx，且 012,3x，求 0(2)3fx的值.518. 如图所示的四棱锥 PABCD中，底面 AB为矩形， CBDE， P的中点为 F, 2PAa，异面直线 与 所成的角为 3， PA平面 .（1）证明： /E平面 ；（2）求二面角 F的余弦值的大小.19. 207年 8月 8日晚我国四川九赛沟县发生了 7.0级地震，为了解与掌握一些基本的地震安全防护知识，某小学在 9月份开学初对全校学生进行了为期一周的知识讲座，事后并进行了测试（满分 100分） ，根据测试成绩评
9、定为“合格” （60 分以上包含 60分） 、 “不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”定为 10分， “不合格”定为 5分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：等级 不合格 合格得分 204,0,60,80,1频数 6 a24 b（1）求 ,abc的值；（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取 10人进行座谈，现再从这 10人中任选 4人，记所选 4人的量化总分为 ，求 的分布列及数学期望()E；（3）设函数 ()EfD（其中 ()表示 的方差）是评估安全教育方案成效的一种模6拟函数.当 ()2.5f时，认定教育方案是有效
10、的；否则认定教育方案应需调整，试以此函数为参考依据.在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？20. 如图所示，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆2:1(0)xyEab的中心在原点，点 13,2P在椭圆 E上，且离心率为 32.（1）求椭圆 的标准方程；（2）动直线 13:2lykx交椭圆 于 A， B两点， C是椭圆 E上一点，直线 OC的斜率为 2k，且 124， M是线段 OC上一点，圆 M的半径为 r，且 23AB，求 r21.已知函数 21()4fxa， ()gxfb，其中 ,a为常数.（1）当 0,，且 0时，求函数 ()fx的单调区间及极值；（2）已知 3b， Z，若函数
11、()fx有 2个零点， g有 6个零点，试确定 b的值.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为 12cosinxy ( 为参数)以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线 1C的普通方程和极坐标方程；（2）直线 2的极坐标方程为 2()3R，若 1C与 2的公共点为 ,AB，且 C是曲线1的中心，求 AB的面积 .23.选修 4-5：不等式选讲7已知函数 ()32fx， ()gx.（1）求不等式 的解集；（2）求函数 ()()hxfx的单调区间与最值.理
12、数（五）一、选择题1-5: ADBDB 6-10: CCCCB 11、12：CC二、填空题13. -540 14. 52 15. 2,4e 16.4,2三、解答题17.解：函数化简得 ()3cos2in34sin23fxxx.因为 2EHF，所以 2()(EHFEH，所以 0F，所以，所以 是等腰直角三角形.又因为点 到直线 的距离为 4，所以 8，所以函数 ()fx的周期为 16.所以 16，函数 ()fx的值域是 3,.（2）由（1） ，知 4sin8f因为 03()5fx，所以 03i1x因为 012,，所以 0,824，所以 097cos831x，所以 00()3sin843fxx80
13、4sin834x0 0icossin834x3297219644115.18.解：（1）由已知 ABCD为矩形，且 ABDE，所以 为 BD的中点.又因为 F为 P的中点，所以在 P中， /F，又因为 P平面 A，E平面 ，因此 /平面 .（2）由（1）可知 /ED，所以异面直线 D与 AC所成的角即为 EF (或AF的补角).所以 3或 23AF.设 Bx，在 E中，24xa，214aEFPa，又由PA平面 CD可知 PAB，且 为中点，因此2xAB，此时EF，所以 3E，所以 EF为等边三角形，所以24a，即2xa，因为 ， ， 两两垂直，分别以 ， P， D所在直线为 x轴，y轴， z轴
14、建立空间直角坐标系，如图所示，则 (0,)A， (2,0)Ba， (,20)Pa， (,2)Da，所以 (,0)Ea， (,0)F.由 D， A， A，可得 平面 ABP，可取平面 AB的一个法向量为 1(,)n.9设平面 AEF的一个法向量为 2(,)nxyz，由20,(,)00,(,).nxyza令 1x，所以 21,n.因此 1122(0),3cosn ，又二面角 EAFB为锐角，故二面角 EAFB的余弦值为 3.19. 解：（1）由频率分布直方图可知，得分在 204,的频率为 0.52.1，故抽取的学生答卷数为 60.，又由频率分布直方图可知，得分在 8,的频率为 0.2，所以 02b
15、.又 64a，得 3ab，所以 1a.18.5c.（2） “合格”与“不合格”的人数比例为 6:243:，因此抽取的 10人中“合格”有6人， “不合格”有 4人，所以 有 40，35，30，25，20 共 5种可能的取值.46410()CP，316408(5)2CP，264103(3)7，13640()5，410()2CP.的分布列为 40 35 30 25 20P1482137435120所以 341()03505207E.（3）由（2）可得 222221841()4)()()(53)(03)617D10，所以 ()32.516EfD.故可以认为该校的安全教育方案是无效的,需要调整安全教育
16、方案.20. 解：（1）因为 (,)2P在椭圆 E上，所以 2314ab.又 32e，联立方程组2223,1,41eabc,故椭圆 E的标准方程为214xy（2）设 1(,)Axy， 2(,)B， 、联立方程22111,4(4)303xykxkk.由 0，得 1kR，且 112234x， 2214x，所以 221111221kAB212164k21214k.由题意可知圆 M的半径216434krAB.由题设知 12214kk，因此直线 OC的方程为 1yxk.联立方程2211226,4,4xyxyk因此22164xyk.11所以212121643kOCr21214kk2121()333kk.因
17、为 210，所以 221134，从而有 21334k，即得 34OCr.因此 的取值范围为 3,42.21.解:（1）因为 3()1xfxa，所以 2()1xa，令2012axa或1（舍）.当 0,2ax时， ()0x，函数 ()x单调递减； +12ax， 时， ()0x，函数 ()单调递增.因此 x的极小值为33411229aa，无极大值.（2）若函数 ()f存在 2个零点，则方程 2ax有 2个不同的实根，设2()4hx，则3218x.令 ()0hx，得 12；12令 ()0hx，得 ，或 102x， 所以 ()hx在区间 (,0)， 1,2内单调递减，在区间 1,2内单调递增，且当 时，
18、令 2()4x，可得3x，所以3,x， ()0hx；32,0， ()h，因此函数 21()4h的草图如图所示，所以 ()hx的极小值为 132h.由 的图象可知 a.因为 1()32h，所以令 ()0fgx，得 1()2gx或 ()，即fxb或 ()fxb，而 ()g有 6个零点，故方程 1()2fxb与 ()1fxb都有三个不同的解，所以102，且 10，所以 .又因为 3b， Z，所以 b.22. 解：（1）由曲线 1C的参数方程消去参数 ，得其普通方程为 2(1)4xy.将 cosx， siny代入上式并化简，得其极坐标方程为 +cos3.（2）将 3代入得 2+co3.得 0.设 1(
19、,)3A， 2,3B，则 12， 123，13所以 21211243AB.又由（1） ，知 (,0)C，且由（2）知直线 AB的直角坐标方程为 30xy，所以(,)到 的距离是302d，所以 C的面积13924S.23. 解:（1）由于 ()fxg， 即为 32x，当 20x时，对上式两边平方，得 22941650x，即得 1(31)553x，当 0时，原不等式的解集为空集，因此 )fxg的解集为 ， ，（2）由题可知35,2()()231,xhxfgxx作图如下，由3,5, 72,312xyAy.由图易知函数 ()hx的递减区间为 3,，递增区间为 3,2，并且最小值为min37()2x，无最大值.
