广西桂林市第十八中学2019届高三数学上学期第一次月考试题 理（PDF）.rar

高三理科数学 第 1 页（共 4 页） 高三理科数学 第 2 页（共 4 页） 桂林 市 第十八中学 16 级高三第一次月考 理科数学 时间： 2018 年 8 月 28 日 15： 00-17： 00 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 . 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 .回答非选择题时，将答案写在答题卡上 . 写在本试卷上无效 . 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 一、 选择题（本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合  0,1,2,3A ，  | 2 1 0B x x  ，则 AB A．  0,1 B．  0,1,2 C．  2,3 D．  1,2,3 2. 已知复数  2122 iz i  ，则 |z| A． 5 B． 5 C． 310 D． 52 3． 已知 2sin 5 ，那么 cos( 2 ) A． 725 B． 725 C． 1725 D． 1725 4．某商城一年中各月份的收入、支出（单位：万元）情况的 统计如图所示，下列说法错误的是 A． 2 至 3 月份的收入的变化率与 11 至 12 月份的收入的 变化率相同 B．支出最高值与支出最低值的比是 6： 1 C． 7 至 9 月 的 日 平均 收入 为 50 万元 D．利润 最 高的月份是 2 月份 5． 0 .23lo g 2 , lg 0 .2 , 2 ,a b c  已 知 则 A． c b a B． bac C． abc D． b c a 6． 函数 sin(2 )5yx的图象向右平移 10 个单位长度 ， 所得 图象对应的函数 A． 在区间 35[ , ]44上单调递增 B． 在区间 3[ , ]4 上单调递 减 C． 在区间 53[ , ]42上单调递增 D． 在区间 3[ ,2 ]2  上单调递 减 7． 已知向量 (3, 1), ( 1, 2)aB   ，若 5ab，则实数  A． 1或 3 B． 1 C． 3 D． 1 或 3 8． 已知数列 na 满足 15 25 5nnaa ，且 2 4 6 9aaa   ， 则  1 5 7 93log a a a  A． 3 B． 3 C． 13 D． 13 9．如图所示程序框图，若输出的 x 为 1 ，则输入 0x 的值为 A． 1 B． 12 C． 1 D． 2 10． 已知点 F 是抛物线 22yx 的焦点， M 、 N 是该抛物线上的两点，若174MF NF，则线段 MN 中点的纵坐标为 A． 32 B． 2 C． 52 D． 3 11． 双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab   的左、右焦点为 1F 、 2F ，过 1F 作 倾斜角为 60的直线与 y 轴和双曲线右支交于 A 、 B 两点，若点 A 平分线段 1FB，则该双曲线的离心率是 A． 3 B． 2 C． 23 D． 21 12． 已知函数  ( ) l n , ( ) 1 , ,f x x a g x a x b a b R     ， 若 0, ( ) ( )x f x g x   ，则 a 的最小值是 A． 1e B． 1e C． 2e D． 1e 二、填空题：本大题共 4 小题；每小题 5 分，满分 20 分． 13．已知实数 ,xy满足 约束条件 3 0,2 0,2 2 0,xyxyxy       则 2z x y的 最小值 为 ． 14． 二项式 831()x x的展开式中， 含 4x 项 的系数为 ． 15． 在四面体 P ABC 中，若 ,2A P B B P C A P C      且 3, 4, 5,PA PB PC  则 该 四面体的外接球的表面积为 ____________． 16． 已知数列 na 满足 *2125 , 3 1 ( 2 )12 nna a a n n N n      且 且， 则该 数列的前 n 项和 nS 的最小值为 ____________． 开始输出结束是2 0 1 8 ?i ≥0i x0xx1ii11xx否（ 第 4 题图 ） （ 第 9题图 ） 高三理科数学 第 3 页（共 4 页） 高三理科数学 第 4 页（共 4 页） 三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 . （一）必考题：共 60 分 . 17． （本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且 cos sina B b A c． （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 2a ， ABC 的面积为 212 ，求 bc 的值． 18． （本小题满分 12 分） 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24、 16、 16， 现采用分层抽样的方法从中抽取7 人，进行睡眠时间的调查 . （ 1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （ 2）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足， 3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查 . （ i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠 不足 ． ． 的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望； （ ii） 求 事件 “ 抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工 ” 的概率 . 19． （本小题满分 12 分） 在四棱锥 ABCDP 中，底面 ABCD 是直角梯形， // ,ABCD2ABC ，2,A B P B P C B C C D   平面 PBC ⊥ 平面 ABCD . （ 1）求证： AB ⊥ 平面 PBC ； （ 2）求平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小 . 20． （本小题满分 12 分） 已知 点 12,FF为 椭圆 )0(12222  babyax 的左、右焦点，焦距为 2 ，且离心率为 3.3 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若 过 2F 的直线 l 与椭圆交于 BA, 两点，且满足 22| | | | (1 2 )F A F B  ，求 1ABF 中 AB边上中线长的取值范围 . 21． （本小题满分 12 分） 已知函数   ln ( )f x ax x a R  . （ 1）讨论 fx的单调性； （ 2）若21,a e   ，求证：   12 axf x ax xe . (二 )选考题：共 10 分 .请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 . 22． 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 3 3,43xty a t （ t 为参数 , aR ），圆 C 的标准方程为   223 3 4xy   .以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 . （ 1）求直线 l 和圆 C 的极坐标方程； （ 2）若射线  03与 l 的交点为 M ，与圆 C 的交点为 A ， B ，且点 M 恰好为线段 AB 的中 点，求 a 的值 . 23． 【选修 4-5：不等式选讲】 (本小题满分 10 分 ) 已知函数   1f x x. （ 1）解不等式    2 4 6f x f x  ； （ 2）若 ,ab R ， 1a ， 1b ，证明：    1f ab f a b  . CADBP（ 第 19 题图 ） 高三理科数学 第 1 页（共 4 页） 高三理科数学 第 2 页（共 4 页） 桂林 市 第十八中学 16 级高三第一次月考 理科数学 参考答案 一、 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D D B A A A D B C D 二、 填空题 13． 83 14． -56 15． 50 16． 343 三、 解答题 17. 解： (1)由已知及正弦定理得： s i n c o s s i n s i n s i nA B B A C， ………………… 1 分 s i n s i n [ ( ) ] s i n ( ) s i n c o s c o s s i nC A B A B A B A B       ………………… 2 分 s in in c o s s inB s A A B， ……………………………………………………………… 3 分 s in 0 s in c o sB A A   ……………………………………………………………… 4 分 (0, )A 且 ……………………………………………………………… 5 分 4A  …………………………………………………………… 6 分 (2) 1 2 2 1s i n2 4 2ABCS b c A b c   …………………………………………… 7 分 22bc   ……………………………………………………………… 8 分 又 2 2 2 2 c o sa b c b c A   ……………………………………………………………… 9 分 22 ( ) ( 2 2 )b c b c     ……………………………………………………………… 10 分所以， 2( ) 4,bc …………………………………………………………… 11分 2bc   ……………………………………………………………… 12 分 343371 8 . 1 3 2 27 3 2 2 22 0 1 2 3 0 1 2 3 5kkX P X kXCC kC  解 ： （ ） 由 已 知 ， 甲 、 乙 、 丙 三 个 部 门 的 员 工 人 数 之 比 为 :: ， 由 于 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 中抽 取 人 ， 因 此 应 从 甲 、 乙 、 丙 三 个 部 门 的 员 工 中 分 别 抽 取 人 , 人 , 人 ． 分（ ） 随 机 变 量 的 所 有 可 能 取 值 为 , , , ． （ ） （ , , , ） 分所 以 ， 随 机 变 量 的 分 布 列 为X 0 1 2 3 P 135 1235 1835 435 ……………………………………………………………… 6 分 1 12 18 4 12( ) 0 1 2 335“ 3 “35 35 35 7“ 3 1 2 ““ 3 2 1 “ 89XiEXiABCA B C B C        随 机 变 量 的 数 学 期 望 ． 7 分（ ） 设 事 件 为 抽 取 的 人 中 ， 既 有 睡 眠 充 足 的 员 工 ， 也 有 睡 眠 不 足 的 员 工事 件 为 抽 取 的 人 中 ， 睡 眠 充 足 的 员 工 有 人 ， 睡 眠 不 足 的 员 工 有 人 ；事 件 为 抽 取 的 人 中 ， 睡 眠 充 足 的 员 工 有 人 ， 睡 眠 不 足 的 员 工 有 人 ， 分则 ， 且 与 互 斥 ， 分由            211021()67111672i P B P X P C P XP A P B CP X P XA       （ ） 知 ， ， ，故 分． 分所 以 ， 事 件 发 生 的 概 率 为 ． 分19. 【解析】（ 1）证明：因为 ，所以 AB⊥ BC， (1 分 ) 因为平面 PBC⊥ 平面 ABCD，平面 PBC∩平面 ABCD=BC， AB 平面 ABCD， ……………………………………………………………… 3 分 所以 AB⊥ 平面 PBC. ………………… 4 分 （ 2）如图，取 BC 的中点 O，连接 PO， 因为 PB=PC，所以 PO⊥ BC， 因为平面 PBC⊥ 平面 ABCD，所以 PO⊥ 平面 ABCD. ………………… 5 分 以 O 为原点， OB 所在的直线为 x 轴，在平面 ABCD 内过 O 垂直于 BC 的 直线为 y 轴， OP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 O－ xyz. …… 6 分 不妨设 BC=2.由 AB=PB=PC=BC=2CD 得， .所以 ， …………………………………………………………… 7 分 设平面 PAD 的法向量为 . 因为 ，所以 令 ，则 .所以 . …………………………………………………………… 9 分 取平面 BCP 的一个法向量 ，所以 ， ……………… 11 分 所以平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小为 . ………………………………… 12 分 20. 解：（ 1）由已知得： 1c ， 221ab， 33ca …………………… 2 分 解得 3, 2ab ……………………………………………………………………… 3 分 椭圆的方程 22132xy …………………………………………………………………… 4 分 （ 2） ① 当直线的斜率为 0 时，显然不成立． …………………………………………… 5 分 ② 设直线 :1l x my， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y， 联立 222 3 61xyx my  得 22( 2 3 ) 4 4 0m y m y    则1 2 1 22244,2 3 2 3my y y ymm   …………………………………… 6 分 1ABF 中 AB 边上的中线长为 221 1 1 2 1 211 ( 2 ) ( )22F A F B x x y y      221 2 1 21 [ ( ) 4 ] ( )2 m y y y y    2 22221 4 1 2 4( ) ( )2 2 3 2 3mm 2 2 2 2 222 2 2 2 22 3 3 4 ( 2 3 ) 8 ( 2 3 ) 3()2 3 ( 2 3 ) ( 2 3 )m m m mm m m         ………………… 7 分 令 223tm则 223mt o90ABC)0,2,1(),0,1,1(),3,0,0( ADP )0,1,2(),3,1,1(  DADP),,( zyxm00DAmDPm  02 03yx zyx 1x 3,2  zy)3,2,1(m)0,1,0(n 22||||,c o s  nm nmnm4高三理科数学 第 3 页（共 4 页） 高三理科数学 第 4 页（共 4 页） 得1112 F A FB2 2228 3 3 8 1 4 1 31 3 ( )33ttt t t t      ………………… 8 分 由 22F A F B ，得 112 2, yyy y   ， 2 21 2 1 222 1 1 2()1422 23y y y y my y y y m           12， 221 4 2 ( 3 ) 12 [0 , ]2 3 2mtmt       1 1 13 4 , 43t t    ， ………………………………………………… 10 分 1112 F A F B 51[ ,2]4…………………………………………………………… 11 分 1ABF 中 AB 边上中线长的取值范围是 51[ ,2]4 ………………………………… 12分 21. 解：（ 1） 11'( ) , 0axf x a xxx   ， ……………………………………… 1 分 ∵ 0a ， '( ) 0fx 在 (0, ) 上恒成立，即 fx在 (0, ) 上单调递减 .…………… 2 分 当 0a 时，由 '( ) 0fx ，得 1x a ；由 '( ) 0fx ，得 10 x a ； ………………… 3 分 综上：当 0a 时， fx在 (0, ) 上单调递减； 当 0a 时， fx在 10,a上单调递减，在 1,a上单调递增 . ………………… 4 分 （ 2）令 1( ) ( ) 2 axg x f x a x x e   1 lnaxxe ax x  ， 则 11 1'( ) a x a xg x e a x e a x   1 1( 1) axa x ex  ， ……………………………… 5 分 由于 11 11axax xee xx  ，设 1( ) 1axr x xe ， 1'( ) (1 ) axr x ax e  ， ……………… 6 分 由 1'( ) 0 1 0r x a x x a      ，所以 ()rx在 10,a上单调递增； 由 1'( ) 0 1 0r x a x x a      ，所以 ()rx在 1,a 上单调递减 . …………… 7 分 ∴m a x 211( ) ( 1 ) 0r x r a a e     （因为21a e），从而 1 1 0axe x .…………… 8 分 则 ()gx在 10,a上单调递减；在 1,a 上单调递增， ∴min 1()g x g a， …… 9 分 设  21 0,tea   ， 221 ( ) l n 1 (0 )tg h t t t eae      ， ………………………… 10 分 211'( ) 0ht et  ， ()ht 在  20,e 上递减， ∴ 2( ) ( ) 0h t h e； ………………………… 11 分 ∴ ( ) 0gx ，故   12 axf x ax xe .………………………………………………………… 12 分 22.解： （ 1） 在直线 l 的参数方程中消去 t 可得， 3 04x y a   ， …… …………………… 1 分 将 cosx  ， siny  代入以上方程中， 所以，直线 l 的极坐标方程为 3c o s s in 04 a      . ………………………… 3 分 同理，圆 C 的极坐标方程为 2 6 c o s 6 s i n 1 4 0       . ………………………… 5 分 （ 2） 在极坐标系中，由已知可设1, 3M ，2, 3A ，3, 3B .……………… 6 分 联立2,36 c o s 6 s in 1 4 0 ,         可得  2 3 3 3 1 4 0   ， 所以 233 3 3   .……………………………………………………………………… 7 分 因为点 M 恰好为 AB 的中点，所以1 3 3 32 ，即 3 3 3 ,23M .……………… 8 分 把 3 3 3 ,23M 代入 3c o s s in 04 a      ，得  3 1 3 1 3 3 02 2 4 a    ， ……………………………………………………………………… 9 分 所以 94a . ……………………………………………………………………… 10 分 23. 解 :（ 1） 不等式    2 4 6f x f x  即为 2 1 3 6xx    ………………… 1 分 当 3x 时， 1 2 3 6xx   解得 3x …………………………………… 2 分 当 13 2x   ， 1 2 3 6xx   解得 32x   …………………………………… 3 分 当 12x 时， 2 1 3 6xx   解得 43x …………………………………… 4 分 综上，   4, 2 ,3x     ； …………………………………… 5 分 （ 2） 等价于证明 1ab a b   …………………………………… 6 分 因为 ,1ab ，所以 1 , 1ab   ， 1ab ， 11ab ab   若 ab ，命题成立； …………………………………… 7 分 下面不妨设 ab ，则原命题等价于证明 1 ab a b   …………………………………… 8 分 事实上，由     1 1 1 0a b a b b a       可得 1 ab a b   …………………………………… 9 分 综上， 1ab a b   …… ……………………………… 10 分