2018-2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程学案（打包12套）苏教版选修2-1.zip

1§2.1 圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一 椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考 1 如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点 F1， F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案 椭圆思考 2 图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案 PF1＋ PF2是常数(大于 F1F2)．梳理 平面内到两个定点 F1， F2的距离的和等于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点 F1， F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2知识点二 双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点 F1或 F2，拉开或闭拢拉链，拉链头 M 经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考 1 图中动点 M 的几何性质是什么？答案 | MF1－ MF2|为一个正常数．思考 2 若 MF1－ MF2＝ F1F2，则动点 M 的轨迹是什么？答案 以 F2为端点，向 F2右边延伸的射线．梳理 平面内到两个定点 F1， F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点 F1， F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三 抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考 如图，定点 C 和定直线 EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D 的轨迹．则动点 D 的轨迹是什么？其满足什么条件？答案 抛物线，动点 D 到定点 C 和定直线 EF 距离相等，且 C 不在 EF 上．梳理 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)3类型一 圆锥曲线定义的理解例 1 平面内动点 M 到两点 F1(－3,0)， F2(3,0)的距离之和为 3m，问 m 取何值时 M 的轨迹是椭圆？解 ∵ MF1＋ MF2＝3 m，∴ M 到两定点的距离之和为常数，当 3m 大于 F1F2时，由椭圆定义知， M 的轨迹为椭圆，∴3 m＞ F1F2＝3－(－3)＝6，∴ m＞2，∴当 m＞2 时， M 的轨迹是椭圆．反思与感悟 在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于 F1F2.(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F1F2.(3)在抛物线中，点 F 不在定直线上．跟踪训练 1 (1)命题甲：动点 P 到两定点 A， B 的距离之和 PA＋ PB＝2 a(a＞0， a 为常数)；命题乙： P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．(2)动点 P 到两个定点 A(－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是 10，则点 P 的轨迹是________．答案 (1)必要不充分 (2)椭圆解析 (1)若 P 点轨迹是椭圆，则 PA＋ PB＝2 a(a＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．反之，若 PA＋ PB＝2 a(a＞0，且是常数)，不能推出 P 点轨迹是椭圆．因为仅当 2a＞ AB 时， P 点轨迹才是椭圆；而当 2a＝ AB 时， P 点轨迹是线段 AB；当 2a＜ AB时， P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．(2)由题意知 PA＋ PB＋ AB＝10，又 AB＝4，∴ PA＋ PB＝6＞4.∴点 P 的轨迹是椭圆．类型二 圆锥曲线轨迹的探究例 2 如图，已知动圆 C 与圆 F1， F2均外切(圆 F1与圆 F2相离)，试问：动点 C 的轨迹是什么曲线？解 设动圆 C 的半径为 R，圆 F1， F2的半径分别为 r1， r2，则 CF1＝ R＋ r1， CF2＝ R＋ r2.4所以 CF1－ CF2＝ r1－ r2.又 CF1－ CF2＝ r1－ r2BC，所以点 A 的轨迹是椭圆(除去直线 BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为 B， C，焦距为 10.反思与感悟 利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到 MF1＋ MF2＝2 a(a 为大于零的常数)时，还需要看 2a 与 F1F2的大小，只有2aF1F2时，所求轨迹才是椭圆．若得到 MF1－ MF2＝2 a(0 F1F2＝6，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆．2．若 F1， F2是两个定点且动点 P1满足 PF1－ PF2＝1，又 F1F2＝3，则动点 P 的轨迹是________．答案 双曲线靠近点 F2的一支解析 因 PF1－ PF2＝1F1F2)，则动点 M 的轨迹是椭圆．若点 M 在椭圆上，则 MF1＋ MF2＝2 a.2．若| MF1－ MF2|＝2 a(0 F1F2＝12，10＋ 62＋ 02 10－ 62＋ 02故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线．故正确的是③.8．若动点 P 到定点 F(1,1)和到直线 l：3 x＋ y－4＝0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是________．答案 直线解析 设动点 P 的坐标为( x， y)，则 ＝ .整理，得x－ 12＋ y－ 12|3x＋ y－ 4|10x－3 y＋2＝0，所以动点 P 的轨迹为直线．9．平面内有两个定点 F1， F2及动点 P，设命题甲：| PF1－ PF2|是非零常数，命题乙：动点P 的轨迹是以 F1， F2为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．(“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由双曲线的定义可知，若动点 P 的轨迹是以 F1， F2为焦点的双曲线，则| PF1－ PF2|是非零常数，反之则不成立．10．已知点 A(－1,0)， B(1,0)．曲线 C 上任意一点 P 满足 2－ 2＝4(| |－| |)≠0.PA→ PB→ PA→ PB→ 则曲线 C 的轨迹是______．答案 椭圆解析 由 2－ 2＝4(| |－| |)≠0，PA→ PB→ PA→ PB→ 8得| |＋| |＝4，且 4AB.PA→ PB→ 故曲线 C 的轨迹是椭圆．11．已知动圆 M 过定点 A(－3,0)，并且在定圆 B：( x－3) 2＋ y2＝64 的内部与其相内切，则动圆圆心 M 的轨迹为________．答案 椭圆解析 设动圆 M 的半径为 r.因为动圆 M 与定圆 B 内切，所以 MB＝8－ r.又动圆 M 过定点A， MA＝ r，所以 MA＋ MB＝8＞ AB＝6，故动圆圆心 M 的轨迹是椭圆．二、解答题12．点 M 到点 F(0，－2)的距离比它到直线 l： y－3＝0 的距离小 1，试确定点 M 的轨迹．解 由题意得点 M 与点 F 的距离等于它到直线 y－2＝0 的距离，且点 F 不在直线 l 上，所以点 M 的轨迹是抛物线．13．如图所示，已知点 P 为圆 R：( x＋ c)2＋ y2＝4 a2上一动点， Q(c,0)为定点( ca0，为常数)， O 为坐标原点，求线段 PQ 的垂直平分线与直线 RP 的交点 M 的轨迹．解 由题意，得 MP＝ MQ， RP＝2 a.MR－ MQ＝ MR－ MP＝ RP＝2 a24＝ BC.23 23 23 23 23 23根据椭圆的定义知，点 M 的轨迹是以 B， C 为两焦点，26 为实轴长的椭圆去掉点(－13,0)，(13,0)．12.2.1 椭圆的标准方程学习目标 1.理解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的标准方程及其所对应的几何图形．知识点 椭圆的标准方程思考 在椭圆的标准方程中 abc 一定成立吗？答案 不一定，只需 ab， ac 即可， b， c 的大小关系不确定．梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式焦点位置 标准方程 焦点 焦距焦点在 x 轴上 ＋ ＝1( ab0)x2a2 y2b2 F1(－ c,0)，F2(c,0)2c焦点在 y 轴上 ＋ ＝1( ab0)y2a2 x2b2 F1(0，－ c)，F2(0， c) 2c(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程 ＋ ＝1( ab0)x2a2 y2b2 ＋ ＝1( ab0)y2a2 x2b2焦点坐标 F1(－ c,0)， F2(c,0) F1(0，－ c)， F2(0， c)a， b， c 的关系 b2＝ a2－ c2(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中 x2项和 y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上” ．如方程为 ＋ ＝1 的椭圆，焦点在 y 轴上，而且可求出焦点坐标y25 x24F1(0，－1)， F2(0,1)，焦距 F1F2＝2.21．椭圆的标准方程只与 a， b 的大小有关．(×)2．椭圆的标准方程中，有三个基本量，即 a， b， c 且 a2＝ b2＋ c2.(√)类型一 求椭圆的标准方程命 题 角 度 1 用 待 定 系 数 法 求 椭 圆 的 标 准 方 程例 1 求焦点在坐标轴上，且经过两点 P ， Q 的椭圆的标准方程．(13， 13) (0， － 12)解 方法一 ①当椭圆焦点在 x 轴上时，可设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1( ab0)．x2a2 y2b2依题意有Error!解得Error!由 ab0 知不合题意，故舍去．②当椭圆焦点在 y 轴上时，可设椭圆的标准方程为＋ ＝1( ab0)．y2a2 x2b2依题意有Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.y214x215方法二 设椭圆的方程为 mx2＋ ny2＝1( m0， n0， m≠ n)．则Error! 解得Error!所以所求椭圆的方程为 5x2＋4 y2＝1，故椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.y214x215引申探究求与椭圆 ＋ ＝1 有相同焦点，且过点(3， )的椭圆方程．x225 y29 15解 据题可设其方程为 ＋ ＝1( λ －9)，x225＋ λ y29＋ λ又椭圆过点(3， )，将此点代入椭圆方程，得15λ ＝11( λ ＝－21 舍去)，故所求的椭圆方程为 ＋ ＝1.x236 y2203反思与感悟 1.若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为 mx2＋ ny2＝1( m≠ n， m0， n0)．2．与椭圆 ＋ ＝1( ab0)有公共焦点的椭圆方程为 ＋ ＝1( ab0， λ － b2)，x2a2 y2b2 x2a2＋ λ y2b2＋ λ与椭圆 ＋ ＝1( ab0)有公共焦点的椭圆方程为 ＋ ＝1( ab0， λ － b2)．y2a2 x2b2 y2a2＋ λ x2b2＋ λ跟踪训练 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(－4,0)， F2(4,0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10；(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在 x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)．解 (1)设其标准方程为 ＋ ＝1( ab0)．x2a2 y2b2依题意得，2 a＝10， c＝4，故 b2＝ a2－ c2＝9，∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.x225 y29(2)设椭圆的一般方程为 Ax2＋ By2＝1( A0， B0， A≠ B)，则Error! 解得Error!故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.x2913y29116(3)设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1( ab0)．x2a2 y2b2依题意得Error!解得Error!∴所求椭圆的标准方程为 ＋ y2＝1.x24命 题 角 度 2 用 定 义 法 求 椭 圆 的 标 准 方 程例 2 已知一动圆 M 与圆 C1：( x＋3) 2＋ y2＝1 外切，与圆 C2：( x－3) 2＋ y2＝81 内切，试求动圆圆心 M 的轨迹方程．解 依题意得 C1(－3,0)， r1＝1， C2(3,0)， r2＝9，设 M(x， y)，动圆的半径为 R，则 MC1＝1＋ R， MC2＝9－ R，故 MC1＋ MC2＝106＝ C1C2，据椭圆定义知，点 M 的轨迹是一个以 C1， C2为焦点的椭圆，且 a＝5， c＝3，故b2＝ a2－ c2＝16.故所求动圆圆心 M 的轨迹方程为 ＋ ＝1.x225 y2164反思与感悟 用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定 a， b 的值．跟踪训练 2 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 和453，过点 P 作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．253解 设椭圆的两个焦点分别为 F1， F2，不妨取 PF1＝ ， PF2＝ ，453 253由椭圆的定义，知 2a＝ PF1＋ PF2＝2 .5即 a＝ .5由 PF1PF2知， PF2垂直于焦点所在的坐标轴．在 Rt△ PF2F1中，4 c2＝ PF － PF ＝ ，21 2609∴ c2＝ ，53∴ b2＝ a2－ c2＝ .103又所求的椭圆的焦点可以在 x 轴上，也可以在 y 轴上，故所求的椭圆方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1.x25 3y210 3x210 y25类型二 椭圆中焦点三角形问题例 3 已知 P 是椭圆 ＋ ＝1 上的一点， F1， F2是椭圆的两个焦点，且∠ F1PF2＝30°，求y25 x24△ F1PF2的面积．解 由椭圆的标准方程，知 a＝ ， b＝2，5∴ c＝ ＝1，∴ F1F2＝2.a2－ b2又由椭圆的定义，知 PF1＋ PF2＝2 a＝2 .5在△ F1PF2中，由余弦定理得 F1F ＝ PF ＋ PF －2 PF1·PF2cos∠ F1PF2，2 21 2即 4＝( PF1＋ PF2)2－2 PF1·PF2－2 PF1·PF2cos30°，即 4＝20－(2＋ )PF1·PF2，3∴ PF1·PF2＝16(2－ )．3∴ 12FPSA＝ PF1·PF2sin∠ F1PF212＝ ×16(2－ )× ＝8－4 .12 3 12 3反思与感悟 1.在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆5的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数．2．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义 MF1＋ MF2＝2 a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．跟踪训练 3 在椭圆 C： ＋ ＝1( ab0)的焦点三角形 PF1F2中，∠ F1PF2＝ α ，点 P 的坐x2a2 y2b2标为( x0， y0)，求证：△ PF1F2的面积 12PFSA＝ b2tan .α 2证明 在△ PF1F2中，根据椭圆定义，得 PF1＋ PF2＝2 a.两边平方，得 PF ＋ PF ＋2 PF1·PF2＝4 a2.①21 2根据余弦定理，得 PF ＋ PF －2 PF1·PF2cosα ＝4 c2.②21 2①－②，得(1＋cos α )PF1·PF2＝2 b2，所以 PF1·PF2＝ .2b21＋ cosα根据三角形的面积公式，得 12PFSA＝ PF1·PF2sinα ＝ · ·sinα ＝ b2· .12 12 2b21＋ cosα sinα1＋ cosα又因为 ＝ ＝ ＝tan ，sinα1＋ cosα2sinα 2cosα 22cos2α 2sinα 2cosα 2 α 2所以 12PFSA＝ b2tan .α 2类型三 求与椭圆有关的轨迹方程例 4 已知 B， C 是两个定点， BC＝8，且△ ABC 的周长等于 18.求这个三角形的顶点 A 的轨迹方程．解 以 BC 的中点 O 为坐标原点，过 B， C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，如图所示．由 BC＝8 可知点 B(－4,0)， C(4,0)．由 AB＋ AC＋ BC＝18 得 AB＋ AC＝108＝ BC，因此，点 A 的轨迹是以 B， C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点 A 不在 x 轴上．由 a＝5， c＝4，6得 b2＝ a2－ c2＝25－16＝9.所以点 A 的轨迹方程为 ＋ ＝1( y≠0)．x225 y29反思与感悟 求动点的轨迹方程常用的方法(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求解．(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程．跟踪训练 4 如图，设定点 A(6,2)， P 是椭圆 ＋ ＝1 上的动点，求线段 AP 中点 M 的轨x225 y29迹方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程解 设 M(x， y)， P(x1， y1)．∵ M 为线段 AP 的中点，∴Error!又∵ ＋ ＝1，x2125 y219∴点 M 的轨迹方程为 ＋ ＝ .x－ 3225 y－ 129 141．椭圆 8x2＋3 y2＝24 的焦点坐标为________________．答案 (0，－ )，(0， )5 5解析 椭圆方程可化为 ＋ ＝1，它的焦点位于 y 轴上，且 c＝ ，y28 x23 5故两焦点坐标分别为(0，－ )，(0， )．5 52．已知椭圆 ＋ ＝1 的焦距为 6，则 k 的值为________．x220 y2k答案 11 或 29解析 当焦点在 x 轴上时，20－ k＝3 2，解得 k＝11；当焦点在 y 轴上时，解得7k－20＝3 2，即 k＝29.3．设 P 是椭圆 ＋ ＝1 上一点， P 到两焦点 F1， F2的距离之差为 2，则△ PF1F2是x216 y212________三角形．答案 直角解析 根据椭圆的定义知 PF1＋ PF2＝8.又 PF1－ PF2＝2，所以 PF1＝5， PF2＝3.而 F1F2＝4，所以 F1F ＋ PF ＝ PF ，2 2 21所以△ PF1F2是直角三角形．4． “mn0”是“方程 mx2＋ ny2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的________条件．答案 充要解析 方程可化为 ＋ ＝1.x21my21n若 mn0，则 0 0，可得 mn0.1n1m5．已知椭圆 ＋ ＝1 上一点 P 与椭圆两焦点 F1， F2的连线夹角为直角，则x249 y224PF1·PF2＝________.答案 48解析 依题意知， a＝7， b＝2 ， c＝ ＝5，6 49－ 24F1F2＝2 c＝10.由于 PF1⊥ PF2，所以由勾股定理得 PF ＋ PF ＝ F1F ，21 2 2即 PF ＋ PF ＝100.21 2又由椭圆定义知 PF1＋ PF2＝2 a＝14，∴( PF1＋ PF2)2－2 PF1·PF2＝100，即 196－2 PF1·PF2＝100.解得 PF1·PF2＝48.1．椭圆的定义式： PF1＋ PF2＝2 a(2aF1F2)．在解题过程中将 PF1＋ PF2看成一个整体，可简化运算．2．椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点” 、 “距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．83．凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义 MF1＋ MF2＝2 a(M 为椭圆上的点， F1， F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标 M(x0， y0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算．一、填空题1．椭圆 ＋ ＝1 的焦距等于 2，则 m 的值为________．x2m y215答案 16 或 14解析 由 m－15＝±1 得 m＝16 或 14.2．已知椭圆 5x2＋ ky2＝5 的一个焦点坐标是(0,2)，那么 k 的值为________．答案 1解析 原方程可化简为 x2＋ ＝1，因为 c2＝ －1＝4，得 k＝1.y25k 5k3．已知椭圆 ＋ ＝1 的一个焦点为(2,0)，则椭圆的标准方程为________．x2a2 y22答案 ＋ ＝1x26 y22解析 由题意知 a2－2＝4，∴ a2＝6，∴所求椭圆的方程为 ＋ ＝1.x26 y224．设 α ∈ ，方程 ＋ ＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 α 的取值范围为(0，π 2) x2sinα y2cosα________．答案 (0，π 4)解析 由题意知，cos α sinα 0，∴tan α b0)的左，右两个焦点，若椭圆 C 上的点 Ax2a2 y2b2到 F1， F2两点的距离之和为 4，则椭圆 C 的方程是____________．(1，32)答案 ＋ ＝1x24 y23解析 由 AF1＋ AF2＝2 a＝4 得 a＝2，∴原方程化为 ＋ ＝1，将 A 代入方程得 b2＝3，x24 y2b2 (1， 32)∴椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.x24 y238．已知椭圆经过点( ，0)且与椭圆 ＋ ＝1 的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为3x24 y29________________．答案 ＋ ＝1y28 x23解析 椭圆 ＋ ＝1 的焦点在 y 轴上，且 c＝ ＝ ，x24 y29 9－ 4 5故所求椭圆的焦点在 y 轴上．又∵它过点( ，0)，∴ b＝ ， a2＝ b2＋ c2＝8.3 3故这个椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.y28 x239． “1b0)．x2a2 y2b2设焦点 F1(－ c,0)， F2(c,0)(c0)．∵ F1A⊥ F2A, ∴ · ＝0，F1A→ F2A→ 11而 ＝(－4＋ c,3)， ＝(－4－ c,3)，F1A→ F2A→ ∴(－4＋ c)·(－4－ c)＋3 2＝0，∴ c2＝25，即 c＝5.∴ F1(－5,0)， F2(5,0)．∴2 a＝ AF1＋ AF2＝ ＋－ 4＋ 52＋ 32 － 4－ 52＋ 32＝ ＋ ＝4 .10 90 10∴ a＝2 ，∴ b2＝ a2－ c2＝(2 )2－5 2＝15.10 10∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.x240 y215三、探究与拓展14．已知 F1， F2为椭圆 ＋ ＝1 的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A， B 两点．若x225 y29F2A＋ F2B＝12，则 AB＝________.答案 8解析 由题意，知( AF1＋ AF2)＋( BF1＋ BF2)＝ AB＋ AF2＋ BF2＝2 a＋2 a，又由 a＝5，可得AB＋( BF2＋ AF2)＝20，即 AB＝8.15．已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为 2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m，求这个椭圆的标准方程．解 以两个焦点连线的中点为坐标原点，两焦点 F1， F2所在直线为 x 轴， F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1( ab0)，x2a2 y2b2依题意得，2 a＝3,2 c＝2.4，故 a＝1.5， c＝1.2，所以 b2＝ a2－ c2＝0.81.所以这个椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.x22.25 y20.8112.2.2 椭圆的几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考 观察椭圆 ＋ ＝1( ab0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎x2a2 y2b2样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案 (1)范围：－ a≤ x≤ a，－ b≤ y≤ b；(2)对称性：椭圆关于 x 轴、 y 轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点 A1(－ a,0)， A2(a,0)， B1(0，－ b)， B2(0， b)．梳理 椭圆的几何性质焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 ＋ ＝1( ab0)x2a2 y2b2 ＋ ＝1( ab0)y2a2 x2b2图形焦点坐标 (±c,0) (0，± c)对称性 关于 x 轴、 y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(－ a,0)， A2(a,0)，B1(0，－ b)， B2(0， b)A1(0，－ a)， A2(0， a)，B1(－ b,0)， B2(b,0)范围 |x|≤ a，| y|≤ b |x|≤ b，| y|≤ a长轴、短轴 长轴 A1A2长为 2a，短轴 B1B2长为 2b2知识点二 椭圆的离心率思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？答案 用离心率刻画扁圆程度， e 越接近于 0，椭圆越接近于圆，反之，越扁．梳理 (1)焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率．ca记为： e＝ .ca(2)对于 ＋ ＝1， b 越小，对应的椭圆越扁，反之， e 越接近于 0， c 就越接近于 0，从x2a2 y2b2而 b 越接近于 a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当 a＝ b 时， c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为 x2＋ y2＝ a2.(如图)1．椭圆 ＋ ＝1( a＞ b＞0)的长轴长是 a.(×)x2a2 y2b22．椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．(×)3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为 10,8，则椭圆的方程为＋ ＝1.(×)x225 y2164．设 F 为椭圆 ＋ ＝1( a＞ b＞0)的一个焦点， M 为其上任一点，则 MF 的最大值为x2a2 y2b2a＋ c.(c 为椭圆的半焦距)(√)类型一 由椭圆方程研究其几何性质例 1 求椭圆 9x2＋16 y2＝144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解 已知方程化成标准方程为 ＋ ＝1，x216 y29于是 a＝4， b＝3， c＝ ＝ ，16－ 9 7∴椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a＝8 和 2b＝6，3离心率 e＝ ＝ ，又知焦点在 x 轴上，ca 74∴两个焦点坐标分别是(－ ，0)和( ，0)，7 7四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)．引申探究本例中若把椭圆方程改为“9 x2＋16 y2＝1” ，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解 由已知得椭圆标准方程为 ＋ ＝1，x219y2116于是 a＝ ， b＝ ， c＝ ＝ .13 14 19－ 116 712∴长轴长 2a＝ ，短轴长 2b＝ ，23 12离心率 e＝ ＝ .ca 74焦点坐标为 和 ，(－712， 0) (712， 0)顶点坐标为 ， .(±13， 0) (0， ±14)反思与感悟 解决由椭圆方程研究其几何性质的问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用 a， b， c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练 1 求椭圆 9x2＋ y2＝81 的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解 椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，则 a＝9， b＝3， c＝ ＝6 ，长轴长 2a＝18，短x29 y281 a2－ b2 2轴长 2b＝6，焦点坐标为(0,6 )，(0，－6 )，2 2顶点坐标为(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)．离心率 e＝ ＝ .ca 223类型二 椭圆几何性质的简单应用命 题 角 度 1 依 据 椭 圆 的 几 何 性 质 求 标 准 方 程例 2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，其离心率为 ，焦距为 8；124(2)已知椭圆的离心率为 e＝ ，短轴长为 8 .23 5解 (1)由题意知，2 c＝8，∴ c＝4，∴ e＝ ＝ ＝ ，∴ a＝8，ca 4a 12从而 b2＝ a2－ c2＝48，∴椭圆的标准方程是 ＋ ＝1.y264 x248(2)由 e＝ ＝ 得 c＝ a，ca 23 23又 2b＝8 ， a2＝ b2＋ c2，所以 a2＝144， b2＝80，5所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1.x2144 y280 x280 y2144反思与感悟 依据椭圆的几何性质求标准方程问题应由所给的几何性质充分找出 a， b， c所应满足的关系式，进而求出 a， b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．跟踪训练 2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在 x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为 12.解 (1)当焦点在 x 轴上时，设椭圆方程为 ＋ ＝1( ab0)．x2a2 y2b2依题意有Error!解得Error!∴椭圆方程为 ＋ ＝1.x2148 y237同样地可求出当焦点在 y 轴上时，椭圆方程为 ＋ ＝1.x213 y252故所求椭圆的方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1.x2148 y237 x213 y252(2)依题意有Error!∴ b＝ c＝6，∴ a2＝ b2＋ c2＝72，∴所求的椭圆方程为 ＋ ＝1.x272 y236命 题 角 度 2 最 值 问 题例 3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 e＝ ，已知点 P 到椭圆上的32 (0， 32)点的最远距离是 ，求这个椭圆的方程．7解 设所求椭圆方程为 ＋ ＝1( ab0)．x2a2 y2b25∵ ＝ ＝ ＝ ，∴ a＝2 b.ba a2－ c2a2 1－ e2 12∴椭圆方程为 ＋ ＝1.x24b2 y2b2设椭圆上点 M(x， y)到点 P 的距离为 d，(0，32)则 d2＝ x2＋ 2＝4 b2 ＋ y2－3 y＋(y－32) (1－ y2b2) 94＝－3 2＋4 b2＋3，(y＋12)令 f(y)＝－3 2＋4 b2＋3.(y＋12)当－ b≤－ ，即 b≥ 时，12 12d ＝ f ＝4 b2＋3＝7，2max (－12)解得 b＝1，∴椭圆方程为 ＋ y2＝1.x24当－ 0)，则此椭圆的离心率为________．答案 33解析 由 2x2＋3 y2＝ m(m0)，得 ＋ ＝1，x2m2y2m3∴ c2＝ － ＝ ，∴ e2＝ ，又∵0＜ e＜1，∴ e＝ .m2 m3 m6 13 332．与椭圆 9x2＋4 y2＝36 有相同焦点，且短轴长为 2 的椭圆的标准方程是________．答案 x2＋ ＝1y26解析 由已知得 c＝ ， b＝1，所以 a2＝ b2＋ c2＝6，5又椭圆的焦点在 y 轴上，故椭圆的标准方程为 ＋ x2＝1.y263．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．答案 35解析 由题意有，2 a＋2 c＝2(2 b)，即 a＋ c＝2 b，又 c2＝ a2－ b2，消去 b 整理得 5c2＝3 a2－2 ac，即 5e2＋2 e－3＝0，8又∵0＜ e＜1，∴ e＝ 或 e＝－1(舍去)．354．若焦点在 y 轴上的椭圆 ＋ ＝1 的离心率为 ，则 m 的值为________．x2m y22 12答案 32解析 ∵焦点在 y 轴上，∴0b0)的焦点分别为 F1， F2， F1F2＝2，离心率 e＝ ，则椭x2a2 y2b2 12圆的标准方程为________________．答案 ＋ ＝1x24 y23解析 因为 F1F2＝2，离心率 e＝ ，12所以 c＝1， a＝2，所以 b2＝3，椭圆方程为 ＋ ＝1.x24 y235．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 ，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是32________．答案 ＋ y2＝1 或 ＋ ＝1x24 x24 y216解析 若焦点在 x 轴上，则 a＝2.又 e＝ ，∴ c＝ .∴ b2＝ a2－ c2＝1，32 3∴方程为 ＋ y2＝1.x24若焦点在 y 轴上，则 b＝2.又 e＝ ，∴ ＝1－ ＝ ，∴ a2＝4 b2＝16，32 b2a2 34 14∴方程为 ＋ ＝1.x24 y2166．椭圆 ＋ ＝1 的左焦点为 F1，点 P 在椭圆上，若线段 PF1的中点 M 在 y 轴上，则点 Px212 y23的纵坐标是________．10答案 ±32解析 设椭圆的右焦点为 F2，由题意知 PF2⊥ x 轴，因为 a2＝12， b2＝3，所以 c2＝ a2－ b2＝9， c＝3.所以点 P 和点 F2的横坐标都为 3.故将 x＝3 代入椭圆方程，可得 y＝± .327．椭圆( m＋1) x2＋ my2＝1 的长轴长是________．答案 2mm解析 椭圆方程可化简为 ＋ ＝1，由题意知 m0，∴ b0)的左，右焦点， P 为直线 x＝ 上一点，△x2a2 y2b2 3a2F2PF1是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为________．答案 34解析 设直线 x＝ 与 x 轴交于点 M，则∠ PF2M＝60°，3a2在 Rt△ PF2M 中， PF2＝ F1F2＝2 c， F2M＝ － c，3a2故 cos60°＝ ＝ ＝ ，F2MPF2 3a2－ c2c 12解得 ＝ ，故离心率 e＝ .ca 34 34二、解答题12．已知椭圆 C1： ＋ ＝1，设椭圆 C2与椭圆 C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆x2100 y264C2的焦点在 y 轴上．(1)求椭圆 C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆 C2的方程，并研究其性质．解 (1)由椭圆 C1： ＋ ＝1 可得其长半轴长为 10，x2100 y264短半轴长为 8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率 e＝ .35(2)椭圆 C2： ＋ ＝1，性质：①范围：－8≤ x≤8，－10≤ y≤10；②对称性：关于 xy2100 x264轴、 y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)，焦点坐标(0,6)，(0，－6)；④离心率： e＝ .351213．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是 ，长轴长是 6；23(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6.解 (1)设椭圆的标准方程为＋ ＝1 ( ab0)或 ＋ ＝1 ( ab0)．x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由已知得 2a＝6， e＝ ＝ ，∴ a＝3， c＝2.ca 23∴ b2＝ a2－ c2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1.x29 y25 x25 y29(2)设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1 ( ab0)．x2a2 y2b2如图所示，△ A1FA2为等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2上的中线(高)，且OF＝ c， A1A2＝2 b，∴ c＝ b＝3，∴ a2＝ b2＋ c2＝18，故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.x218 y29三、探究与拓展14．已知椭圆 ＋ ＝1( ab0)的两个焦点分别为 F1(－ c,0)， F2(c,0)(c0)，过点 Ex2a2 y2b2的直线与椭圆相交于点 A， B 两点，且 F1A∥ F2B， F1A＝2 F2B，则椭圆的离心率为(a2c， 0)________．答案 33解析 由 F1A∥ F2B， F1A＝2 F2B，得 ＝ ＝ ，EF2EF1 F2BF1A 12从而 ＝ ，整理得 a2＝3 c2.故离心率 e＝ ＝ .a2c－ ca2c＋ c 12 ca 3315．已知椭圆 E 的中心为坐标原点 O，两个焦点分别为 A(－1，0)， B(1,0)，一个顶点为13H(2,0)．(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)对于 x 轴上的点 P(t,0)，椭圆 E 上存在点 M，使得 MP⊥ MH，求实数 t 的取值范围．解 (1)由题意可得， c＝1， a＝2，∴ b＝ .3∴所求椭圆 E 的标准方程为 ＋ ＝1.x24 y23(2)设 M(x0， y0)(x0≠±2)，则 ＋ ＝1.①x204 y203＝( t－ x0，－ y0)， ＝(2－ x0，－ y0)，MP→ MH→ 由 MP⊥ MH 可得 · ＝0，MP→ MH→ 即( t－ x0)(2－ x0)＋ y ＝0.②20由①②消去 y0，整理得t(2－ x0)＝－ x ＋2 x0－3.1420∵ x0≠2，∴ t＝ x0－ .14 32∵－2 x02，∴－2 t－1.∴实数 t 的取值范围为(－2，－1)．