2018-2019高中数学 第3章 空间向量与立体几何学案（打包8套）苏教版选修2-1.zip

13.1.1 空间向量及其线性运算学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律．知识点一 空间向量的概念思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量 a 的起点是 A，终点是B，则向量 a 也可记作 ，其模记为| a|或| |.AB→ AB→ (2)几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 规定长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0单位向量 模为 1 的向量称为单位向量相反向量 与向量 a 长度相等而方向相反的向量，称为 a 的相反向量，记为－ a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二 空间向量及其线性运算1．空间向量的线性运算已知空间向量 a， b，在空间任取一点 O，作 ＝ a， ＝ b， ＝ c，与平面向量的运算一样，OA→ OB→ AB→ 空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：＝ ＋ ＝ a＋ c；OB→ OA→ AB→ ＝ － ＝ a－ b＝－ c.BA→ OA→ OB→ 若 P 在直线 OA 上，则 ＝ λ a(λ ∈R)．OP→ 2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：(1)a＋ b＝ b＋ a；2(2)(a＋ b)＋ c＝ a＋( b＋ c)；(3)λ (a＋ b)＝ λ a＋ λ b(λ ∈R)．知识点三 共线向量(或平行向量)1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．若向量 a 与 b 平行，记作 a∥ b，规定零向量与任意向量共线．2．共线向量定理：对空间任意两个向量 a， b(a≠0)， b 与 a 共线的充要条件是存在实数λ ，使 b＝ λ a.1．在空间中，单位向量唯一．(×)2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(√)3．在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(√)4．空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(×)类型一 空间向量的概念及应用例 1 如图所示，以长方体 ABCD－ A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：(1)试写出与 相等的所有向量；AB→ (2)试写出 的相反向量；AA1—→ (3)若 AB＝ AD＝2， AA1＝1，求向量 的模．AC1—→ 解 (1)与向量 相等的所有向量(除它自身之外)有 ， 及 ，共 3 个．AB→ A1B1—→ DC→ D1C1—→ (2)向量 的相反向量有 ， ， ， ，共 4 个．AA1—→ A1A—→ B1B—→ C1C—→ D1D—→ (3)| |＝AC1—→ |AB→ |2＋ |AD→ |2＋ |AA1—→ |2 ＝ ＝ ＝3.22＋ 22＋ 12 9引申探究如图，在长方体 ABCD－ A′ B′ C′ D′中， AB＝3， AD＝2， AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：3(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为 的所有向量．5解 (1)由于长方体的高为 1，所以长方体的四条高所对应的向量 ， ， ， ，AA′—→ A′ A—→ BB′—→ B′ B—→ ， ， ， ，共 8 个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位CC′—→ C′ C——→ DD′—→ D′ D——→ 向量共有 8 个．(2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为 ，故模为 的向量有 ，5 5 AD′—→ ， ， ， ， ， ， .D′ A——→ A′ D——→ DA′—→ BC′—→ C′ B——→ B′ C——→ CB′—→ 反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练 1 给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量 a， b 满足| a|＝| b|，则 a＝ b；③在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，必有 ＝ ；AC→ A1C1→ ④若空间向量 m， n， p 满足 m＝ n， n＝ p，则 m＝ p.其中不正确的命题的序号为________．答案 ①②解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量 a， b满足| a|＝| b|，则不一定能判断出 a＝ b，故②不正确；在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，必有＝ 成立，故③正确；④显然正确．AC→ A1C1—→ 4类型二 空间向量的线性运算例 2 如图，已知长方体 ABCD－ A′ B′ C′ D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1) － ；AA′—→ CB→ (2) ＋ ＋ .AA′—→ AB→ B′ C′——→ 解 (1) － ＝ － ＝ ＋ ＝ .AA′—→ CB→ AA′—→ DA→ AA′—→ AD→ AD′—→ (2) ＋ ＋ ＝( ＋ )＋ ＝ ＋ ＝ .AA′—→ AB→ B′ C′——→ AA′—→ AB→ B′ C′——→ AB′—→ B′ C′——→ AC′—→ 向量 ， 如图所示．AD′—→ AC′—→ 引申探究利用本例题图，化简 ＋ ＋ ＋ .AA′—→ A′ B′——→ B′ C′——→ C′ A—→ 解 结合加法运算，得＋ ＝ ， ＋ ＝ ， ＋ ＝0.AA′—→ A′ B′——→ AB′—→ AB′—→ B′ C′——→ AC′—→ AC′—→ C′ A—→ 故 ＋ ＋ ＋ ＝0.AA′—→ A′ B′——→ B′ C′——→ C′ A—→ 反思与感悟 1.化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止．2．首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为 0.跟踪训练 2 在如图所示的平行六面体中，求证： ＋ ＋ ＝2 .AC→ AB′—→ AD′—→ AC′—→ 证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，AC→ AB→ AD→ AB′—→ AB→ AA′—→ AD′—→ AD→ AA′—→ 5∴ ＋ ＋AC→ AB′—→ AD′—→ ＝( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )AB→ AD→ AB→ AA′—→ AD→ AA′—→ ＝2( ＋ ＋ )．AB→ AD→ AA′—→ 又∵ ＝ ， ＝ ，AA′—→ CC′—→ AD→ BC→ ∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .AB→ AD→ AA′—→ AB→ BC→ CC′—→ AC→ CC′—→ AC′—→ ∴ ＋ ＋ ＝2 .AC→ AB′—→ AD′—→ AC′—→ 类型三 向量共线定理的理解与应用例 3 如图所示，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， E 在 A1D1上，且 ＝2 ， F 在对角线A1E—→ ED1—→ A1C 上，且 ＝ .A1F—→ 23FC—→ 求证： E， F， B 三点共线．证明 设 ＝ a， ＝ b， ＝ c，AB→ AD→ AA1—→ 因为 ＝2 ， ＝ ，A1E—→ ED1—→ A1F—→ 23FC→ 所以 ＝ ， ＝ ，A1E—→ 23A1D1—→ A1F—→ 25A1C—→ 所以 ＝ ＝ b，A1E—→ 23AD→ 23＝ ( － )＝ ( ＋ － )A1F—→ 25AC→ AA1—→ 25AB→ AD→ AA1—→ ＝ a＋ b－ c.25 25 25所以 ＝ － ＝ a＋ b－ c－ b＝ a－ b－ c＝ .EF→ A1F—→ A1E—→ 25 25 25 23 25 415 25 25(a－ 23b－ c)又 ＝ ＋ ＋ ＝－ b－ c＋ a＝ a－ b－ c，EB→ EA1—→ A1A—→ AB→ 23 23所以 ＝ ，EF→ 25EB→ 6又因为 与 有公共点 E，所以 E， F， B 三点共线．EF→ EB→ 反思与感悟 1.判定共线：判定两向量 a， b(b≠0)是否共线，即判断是否存在实数 λ ，使a＝ λ b.2．求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若 a∥ b，则a＝ λ b(λ ∈R)．3．判定或证明三点(如 P， A， B)是否共线(1)是否存在实数 λ ，使 ＝ λ .PA→ PB→ (2)对空间任意一点 O，是否有 ＝ ＋ t .OP→ OA→ AB→ (3)对空间任意一点 O，是否有 ＝ x ＋ y (x＋ y＝1)．OP→ OA→ OB→ 跟踪训练 3 如图，在四面体 ABCD 中，点 E， F 分别是棱 AD， BC 的中点，用 ， 表示向AB→ CD→ 量 .EF→ 解 ＝ －EF→ AF→ AE→ ＝ ( ＋ )－12AB→ AC→ 12AD→ ＝ － ( － )＝ － .12AB→ 12AD→ AC→ 12AB→ 12CD→ 1．下列说法中正确的是________．(填序号)①若| a|＝| b|，则 a， b 的长度相等，方向相同或相反；②若向量 a 是向量 b 的相反向量，则| a|＝| b|；③空间向量的减法满足结合律；④在四边形 ABCD 中，一定是 ＋ ＝ .AB→ AD→ AC→ 答案 ②解析 若| a|＝| b|，则 a， b 的长度相等，方向不确定，故①不正确；相反向量是指长度相7同，方向相反的向量，故②正确；空间向量的减法不满足结合律，故③不正确；在▱ ABCD中，才有 ＋ ＝ ，故④不正确．AB→ AD→ AC→ 2．在平行六面体 ABCD－ A′ B′ C′ D′的各条棱所在的向量中，与向量 相等的向量A′ B′→ 有________个．答案 33．在正方体 ABCDA1B1C1D1中，已知下列各式：①( ＋ )＋ ；②( ＋ )＋ ；③( ＋ )＋ ；④( ＋ )＋AB→ BC→ CC1—→ AA1—→ A1D1—→ D1C1—→ AB→ BB1—→ B1C1—→ AA1—→ A1B1—→ .其中运算的结果为 的有________个．B1C1—→ AC1—→ 答案 4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①( ＋ )AB→ BC→ ＋ ＝ ＋ ＝ ；CC1—→ AC→ CC1—→ AC1—→ ②( ＋ )＋ ＝ ＋ ＝ ；AA1—→ A1D1—→ D1C1—→ AD1—→ D1C1—→ AC1—→ ③( ＋ )＋ ＝ ＋ ＝ ；AB→ BB1—→ B1C1—→ AB1—→ B1C1—→ AC1—→ ④( ＋ )＋ ＝ ＋ ＝ .AA1—→ A1B1—→ B1C1—→ AB1—→ B1C1—→ AC1—→ 所以 4 个式子的运算结果都是 .AC1—→ 4．化简 2 ＋2 ＋3 ＋3 ＋ ＝________.AB→ BC→ CD→ DA→ AC→ 答案 0解析 2 ＋2 ＋3 ＋3 ＋ ＝2 ＋2 ＋2 ＋2 ＋ ＋ ＋ ＝0.AB→ BC→ CD→ DA→ AC→ AB→ BC→ CD→ DA→ CD→ DA→ AC→ 5．若非零空间向量 e1， e2不共线，则使 ke1＋ e2与 e1＋ ke2共线的 k＝________.考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用答案 ±1解析 由 ke1＋ e2与 e1＋ ke2共线，得 ke1＋ e2＝ λ (e1＋ ke2)，即Error! 故 k＝±1.8空间向量加法、减法运算的两个技巧：(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．9一、填空题1．下列命题中，假命题是________．(填序号)①任意两个向量都是共面向量；②空间向量的加法运算满足交换律及结合律；③只有零向量的模等于 0；④共线的单位向量都相等．答案 ④解析 容易判断④是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．已知空间四边形 ABCD 中， ＝ a， ＝ b， ＝ c，则 ＝________.(用 a， b， c 表示)AB→ BC→ AD→ CD→ 答案 c－ a－ b解析 如图，∵ ＋ ＋ ＋ ＝0，AB→ BC→ CD→ DA→ 即 a＋ b＋ － c＝0，CD→ ∴ ＝ c－ a－ b.CD→ 3．在长方体 ABCD－ A1B1C1D1中， － ＋ － ＝________.AB→ CD→ BC→ DA→ 答案 2 AC→ 解析 － ＋ － ＝( ＋ )－( ＋ )AB→ CD→ BC→ DA→ AB→ BC→ CD→ DA→ ＝ － ＝2 .AC→ CA→ AC→ 4．对于空间中的非零向量 ， ， ，有下列各式：AB→ BC→ AC→ ① AB＋ ＝ ；② － ＝ ；③| A |＋| B |＝| A |；④| A |－| A |＝| B |.其中一BC→ AC→ AB→ AC→ BC→ B→ C→ C→ B→ C→ C→ 定不成立的是____________．(填序号)答案 ②10解析 根据空间向量的加减法运算，对于①： A ＋ B ＝ A 恒成立；对于③：当 A ， BB→ C→ C→ B→ ， A 方向相同时，有| A |＋| B |＝| A |；对于④：当 B ， A ， A 在一条直线上C→ C→ B→ C→ C→ C→ B→ C→ 且 B 与 A ， A 方向相反时，有| A |－| A |＝| B |.C→ B→ C→ B→ C→ C→ 只有②一定不成立．5．在三棱锥 A－ BCD 中，若△ BCD 是正三角形， E 为其中心，则 ＋ － － 化简的结AB→ 12BC→ 32DE→ AD→ 果为________．答案 0解析 延长 DE 交边 BC 于点 F，则 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ＋AB→ 12BC→ AF→ 32DE→ AD→ DF→ AD→ ＝ ＋ ＝ ，AD→ DF→ AF→ 故 ＋ － － ＝ － ＝0.AB→ 12BC→ 32DE→ AD→ AF→ AF→ 6.如图，在平行六面体 ABCD－ A1B1C1D1中，＋ ＋ ＝________， － ＋ ＝________.AB→ AD→ AA1→ DD1→ AB→ BC→ 答案 AC1—→ BD1—→ 解析 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ，AB→ AD→ AA1—→ AB→ BC→ CC1—→ AC1—→ － ＋ ＝ －( － )DD1—→ AB→ BC→ DD1—→ AB→ AD→ ＝ － ＝ .DD1—→ DB→ BD1—→ 7．在直三棱柱 ABCA1B1C1中，若 C ＝ a， C ＝ b， C 1＝ c，则 ＝________.A→ B→ C→ A1B—→ 答案 － a＋ b－ c解析 如图，11＝ ＋ ＝ ＋( － )A1B—→ A1A—→ AB→ C1C—→ CB→ CA→ ＝－ ＋ － ＝－ c＋ b－ a.CC1—→ CB→ CA→ 8．在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， ＝ ， ＝ x ＋ y( ＋ )，则A1E— → 14A1C1—→ AE→ AA1—→ AB→ AD→ x＝________， y＝________.答案 1 14解析 ∵ ＝ ＋ ＝ ＋AE→ AA1—→ A1E—→ AA1—→ 14A1C1—→ ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )，AA1—→ 14AC→ AA1—→ 14AB→ AD→ ∴ x＝1， y＝ .149．已知正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，若点 F 是侧面 CD1的中心，且 ＝ ＋ m － n ，则AF→ AD→ AB→ AA1—→ m， n 的值分别是________．答案 ，－12 12解析 由于 ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )AF→ AD→ DF→ AD→ 12DC→ DD1—→ ＝ ＋ ＋ ，AD→ 12AB→ 12AA1—→ 所以 m＝ ， n＝－ .12 1210．在空间四边形 ABCD 中，若 E， F， G， H 分别为 AB， BC， CD， DA 边上的中点，则下列各式中成立的是________．(填序号)① ＋ ＋ ＋ ＝0；EB→ BF→ EH→ GH→ ② ＋ ＋ ＋ ＝0；EB→ FC→ EH→ GE→ ③ ＋ ＋ ＋ ＝0；EF→ FG→ EH→ GH→ ④ － ＋ ＋ ＝0.EF→ FB→ CG→ GH→ 12答案 ②解析 易知四边形 EFGH 为平行四边形，所以 ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋EB→ FC→ EH→ GE→ EB→ BF→ GE→ EH→ ＝ ＋ ＝0.EF→ GH→ 11.如图，已知在空间四边形 ABCD 中， ＝ a－2 c， ＝5 a＋6 b－8 c，对角线 AC， BD 的中AB→ CD→ 点分别为 E， F，则 ＝________.(用向量 a， b， c 表示)EF→ 答案 3 a＋3 b－5 c解析 设 G 为 BC 的中点，连结 EG， FG，则 ＝ ＋EF→ EG→ GF→ ＝ ＋12AB→ 12CD→ ＝ (a－2 c)＋ (5a＋6 b－8 c)12 12＝3 a＋3 b－5 c二、解答题12.如图所示，在平行六面体 ABCD－ A′ B′ C′ D′中，化简下列表达式．(1) ＋ ；AB→ BC→ 13(2) ＋ ＋ ；AB→ AD→ AA′—→ (3) ＋ ＋ ；AB→ CB→ AA′—→ (4) ＋ － .AC′—→ D′ B—→ DC→ 解 (1) ＋ ＝ .AB→ BC→ AC→ (2) ＋ ＋ ＝ ＋AB→ AD→ AA′—→ AC→ AA′—→ ＝ .AC′—→ (3) ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ .AB→ CB→ AA′—→ AB→ DA→ BB′—→ DA→ AB→ BB′—→ DB′—→ (4) ＋ － ＝( ＋ ＋ )＋( ＋ ＋ )－ ＝ .AC′—→ D′ B—→ DC→ AB→ BC→ CC′—→ DA→ DC→ C′ C—→ DC→ DC→ 13.如图，设 O 为▱ ABCD 所在平面外任意一点， E 为 OC 的中点，若 ＝ ＋ x ＋ y ，求AE→ 12OD→ OB→ OA→ x， y 的值．解 ∵ ＝ ＋ ＋AE→ AB→ BC→ CE→ ＝ － ＋ － －OB→ OA→ OC→ OB→ 12OC→ ＝－ ＋ ＝－ ＋ ( ＋ )OA→ 12OC→ OA→ 12OD→ DC→ ＝－ ＋ ( ＋ )OA→ 12OD→ AB→ ＝－ ＋ ＋ ( － )OA→ 12OD→ 12OB→ OA→ ＝－ ＋ ＋ ，32OA→ 12OD→ 12OB→ ∴ x＝ ， y＝－ .12 32三、探究与拓展14．设 e1， e2是空间两个不共线的向量，已知 ＝2 e1＋ ke2， ＝ e1＋3 e2， ＝2 e1－ e2，AB→ CB→ CD→ 且 A， B， D 三点共线，则 k＝________.14答案 －8解析 ∵ ＝ ＋ ＝(－ e1－3 e2)＋(2 e1－ e2)＝ e1－4 e2，BD→ BC→ CD→ 又∵ A， B， D 三点共线，∴ ＝ λ ，AB→ BD→ 即 2e1＋ ke2＝ λ (e1－4 e2)，∴Error! ∴ k＝－8.1515.如图，设点 A 是△ BCD 所在平面外的一点，点 G 是△ BCD 的重心．求证： ＝ ( ＋ ＋ )．AG→ 13AB→ AC→ AD→ 证明 连结 BG，延长后交 CD 于点 E，由点 G 为△ BCD 的重心，知 ＝ .BG→ 23BE→ ∵ E 为 CD 的中点，∴ ＝ ＋ .BE→ 12BC→ 12BD→ ∴ ＝ ＋ ＝ ＋AG→ AB→ BG→ AB→ 23BE→ ＝ ＋ ( ＋ )AB→ 13BC→ BD→ ＝ ＋ [( － )＋( － )]AB→ 13 AC→ AB→ AD→ AB→ ＝ ( ＋ ＋ )．13AB→ AC→ AD→ 13.1.2 共面向量定理学习目标 1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件．知识点一 共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量．知识点二 共面向量定理如果两个向量 a， b 不共线，那么向量 p 与向量 a， b 共面的充要条件是存在有序实数组(x， y)，使得 p＝ xa＋ yb，即向量 p 可以由两个不共线的向量 a， b 线性表示．知识点三 空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点 O，存在实数 x， y， z 使得＝ x ＋ y ＋ z ，且 x， y， z 满足 x＋ y＋ z＝1，则 A， B， C， D 四点共面．OA→ OB→ OC→ OD→ 1．实数与向量之间可进行加法、减法运算．(×)2．空间中任意三个向量一定是共面向量．(×)3．若 P， M， A， B 共面，则 ＝ x ＋ y .(×)MP→ MA→ MB→ 类型一 向量共面的判定例 1 给出以下命题：①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；②已知空间四边形 ABCD，则由四条线段 AB， BC， CD， DA 分别确定的四个向量之和为零向量；③若存在有序实数组( x， y)使得 ＝ x ＋ y ，则 O， P， A， B 四点共面；OP→ OA→ OB→ ④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；⑤若 a， b， c 三向量两两共面，则 a， b， c 三向量共面．其中正确命题的序号是________．答案 ③解析 ①错，空间中任意两个向量都是共面的；2②错，因为四条线段确定的向量没有强调方向；③正确，因为 ， ， 共面，OP→ OA→ OB→ ∴ O， P， A， B 四点共面；④错，没有强调零向量；⑤错，例如三棱柱的三条侧棱表示的向量．反思与感悟 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．跟踪训练 1 下列说法正确的是________．(填序号)①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；②设平行六面体的三条棱是 ， ， ，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是 ＋AB→ AA1—→ AD→ AB→ ＋ ；AA1—→ AD→ ③若 ＝ (P ＋ )成立，则 P 点一定是线段 AB 的中点；OP→ 12 A→ PB→ ④在空间中，若向量 与 是共线向量，则 A， B， C， D 四点共面；AB→ CD→ ⑤若 a， b， c 三向量共面，则由 a， b 所在直线所确定的平面与由 b， c 所在直线确定的平面是同一个平面．答案 ④类型二 向量共面的证明例 2 如图所示，若 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点，点 H 为 PC 上的点，且 ＝ ，PHHC 12点 G 在 AH 上，且 ＝ m，若 G， B， P， D 四点共面，求 m 的值．AGAH考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用解 连结 BG.因为 ＝ － ， ＝ ，AB→ PB→ PA→ AB→ DC→ 3所以 ＝ － ，DC→ PB→ PA→ 因为 ＝ ＋ ，PC→ PD→ DC→ 所以 ＝ ＋ － ＝－ ＋ ＋ .PC→ PD→ PB→ PA→ PA→ PB→ PD→ 因为 ＝ ，所以 ＝ ，PHHC 12 PH→ 13PC→ 所以 ＝ (－ ＋ ＋ )PH→ 13 PA→ PB→ PD→ ＝－ ＋ ＋ .13PA→ 13PB→ 13PD→ 又因为 ＝ － ，AH→ PH→ PA→ 所以 ＝－ ＋ ＋ ，AH→ 43PA→ 13PB→ 13PD→ 因为 ＝ m，AGAH所以 ＝ m ＝－ ＋ ＋ ，AG→ AH→ 4m3PA→ m3PB→ m3PD→ 因为 ＝－ ＋ ＝ － ＋ ，BG→ AB→ AG→ PA→ PB→ AG→ 所以 ＝ ＋ ＋ .BG→ (1－ 4m3)PA→ (m3－ 1)PB→ m3PD→ 又因为 G， B， P， D 四点共面，所以 1－ ＝0， m＝ .4m3 34即 m 的值是 .34反思与感悟 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．跟踪训练 2 如图，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， E， F 分别为 BB1和 A1D1的中点．证明：向量 ， ， 是共面向量．A1B—→ B1C—→ EF→ 证明 ＝ ＋ ＋EF→ EB→ BA1—→ A1F—→ ＝ － ＋12B1B—→ A1B—→ 12A1D1—→ 4＝ ( ＋ )－12B1B—→ BC→ A1B—→ ＝ － .12B1C—→ A1B—→ 又 ， 不共线，B1C—→ A1B—→ 由向量共面的充要条件知， ， ， 是共面向量．A1B—→ B1C—→ EF→ 类型三 共面向量定理的应用例 3 如图，在底面为正三角形的斜棱柱 ABC-A1B1C1中， D 为 AC 的中点，求证： AB1∥平面 C1BD.证明 记 ＝ a， ＝ b， ＝ c，则 ＝ a＋ c，AB→ AC→ AA1— → AB1— → DB→ ＝ － ＝ a－ b，AB→ AD→ 12＝ ＋ ＝ b＋ c，DC1— → DC→ CC1— → 12所以 ＋ ＝ a＋ c＝ ，又 与 不共线，DB→ DC1— → AB1— → DB→ DC1— → 所以 ， ， 共面．AB1— → DB→ DC1— → 又由于 AB1⊄平面 C1BD，所以 AB1∥平面 C1BD.反思与感悟 在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化．要熟悉其证明过程和证明步骤．跟踪训练 3 如图所示，已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1，设 ＝ a， ＝ b， ＝ c，在面对角AB→ AC→ AA1— → 线 AC1上和棱 BC 上分别取点 M， N，使 ＝ k ， ＝ k (0≤ k≤1)．AM→ AC1— → BN→ BC→ 5求证： MN∥平面 ABB1A1.证明 ＝ k· ＝ k( ＋ )＝ kb＋ kc，AM→ AC1— → AA1— → AC→ 又∵ ＝ ＋ ＝ a＋ k ＝ a＋ k(b－ a)＝(1－ k)a＋ kb，AN→ AB→ BN→ BC→ ∴ ＝ － ＝(1－ k)a＋ kb－ kb－ kcMN→ AN→ AM→ ＝(1－ k)a－ kc.又 a 与 c 不共线．∴ 与向量 a， c 是共面向量．MN→ 又 MN⊄平面 ABB1A1，∴ MN∥平面 ABB1A1.1．给出下列几个命题：①向量 a， b， c 共面，则它们所在的直线共面；②零向量的方向是任意的；③若 a∥b ，则存在唯一的实数 λ ，使 a＝ λ b.其中真命题的个数为________．答案 1解析 ①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；②真命题．这是关于零向量的方向的规定；③假命题．当 b＝0 时，则有无数多个 λ 使之成立．2．已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任一点 O， ＝ x ＋ ＋ ，则 x 的值为OM→ OA→ 13OB→ 13OC→ ________．答案 13解析 由题意知， x＋ ＋ ＝1，13 13所以 x＝ .133．下列命题中，正确命题的个数为________．①若 a∥ b，则 a 与 b 方向相同或相反；②若 ＝ ，则 A， B， C， D 四点共线；AB→ CD→ ③若 a， b 不共线，则空间任一向量 p＝ λ a＋ μ b(λ ， μ ∈R)．6答案 0解析 当 a， b 中有零向量时，①不正确； ＝ 时， A， B， C， D 四点共面不一定共线，AB→ CD→ 故②不正确；由 p， a， b 共面的充要条件知，当 p， a， b 共面时才满足p＝ λ a＋ μ b(λ ， μ ∈R)，故③不正确．4．已知 A， B， C 三点不共线， O 为平面 ABC 外一点，若由向量 ＝ ＋ ＋ λ 确定的OP→ 15OA→ 23OB→ OC→ 点 P 与 A， B， C 共面，那么 λ ＝________.答案 215解析 ∵ P 与 A， B， C 共面．∴ ＝ α ＋ β ，∴ ＝ α ( － )＋ β ( － )，即AP→ AB→ AC→ AP→ OB→ OA→ OC→ OA→ ＝ ＋ α － α ＋ β － β ＝(1－ α － β ) ＋ α ＋ β ，OP→ OA→ OB→ OA→ OC→ OA→ OA→ OB→ OC→ ∴1－ α － β ＋ α ＋ β ＝1.因此 ＋ ＋ λ ＝1，解得 λ ＝ .15 23 215共面向量定理的应用：(1)空间中任意两个向量 a， b 总是共面向量，空间中三个向量 a， b， c 则不一定共面．(2)空间中四点共面的条件空间点 P 位于平面 MAB 内，则存在有序实数对 x， y 使得 ＝ x ＋ y ，①MP→ MA→ MB→ 此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理， ， 实质就是平面 MAB 内平面向MA→ MB→ 量的一组基底．另外有 ＝ ＋ x ＋ y ，②OP→ OM→ MA→ MB→ 或 ＝ x ＋ y ＋ z (x＋ y＋ z＝1)，③OP→ OM→ OA→ OB→ ①②③均可作为证明四点共面的条件，但是①更为常用．一、填空题1．设 a， b 是两个不共线的向量， λ ， μ ∈R，若 λ a＋ μ b＝0，则λ ＝________， μ ＝________.答案 0 0解析 ∵ a， b 是两个不共线的向量，7∴ a≠0， b≠0，∴ λ ＝ μ ＝0.2．下列结论中，正确的是________．(填序号)①若 a， b， c 共面，则存在实数 x， y，使 a＝ xb＋ yc；②若 a， b， c 不共面，则不存在实数 x， y，使 a＝ xb＋ yc；③若 a， b， c 共面， b， c 不共线，则存在实数 x， y，使 a＝ xb＋ yc.答案 ②③解析 要注意共面向量定理给出的是一个充要条件，所以第②个命题正确；但定理的应用又有一个前提： b， c 是不共线向量，否则即使三个向量 a， b， c 共面，也不一定具有线性关系，故①不正确；③正确．3．空间的任意三个向量 a， b,3a－2 b，它们一定是________．答案 共面向量解析 如果 a， b 是不共线的两个向量，由共面向量定理知， a， b,3a－2 b 共面；若 a， b共线，则 a， b,3a－2 b 共线，当然也共面．4.如图，平行六面体 ABCD－ A1B1C1D1中， E， F 分别在 B1B 和 D1D 上，且BE＝ BB1， DF＝ DD1，若 ＝ x ＋ y ＋ z ，则 x＋ y＋ z＝________.13 23 EF→ AB→ AD→ AA1→ 答案 13解析 ＝ － ＝ ＋ －( ＋ )＝ ＋ － － ＝ － ＋ .EF→ AF→ AE→ AD→ DF→ AB→ BE→ AD→ 23DD1—→ AB→ 13BB1—→ AD→ AB→ 13AA1—→ ∴ x＝－1， y＝1， z＝ .∴ x＋ y＋ z＝ .13 135． i， j， k 是三个不共面的向量， ＝ i－2 j＋2 k， ＝2 i＋ j－3 k， ＝ λ i＋3 j－5 k，AB→ BC→ CD→ 且 A， B， C， D 四点共面，则 λ 的值为________．答案 1解析 若 A， B， C， D 四点共面，则向量 ， ， 共面，故存在不全为零的实数AB→ BC→ CD→ a， b， c，使得 a ＋ b ＋ c ＝0.AB→ BC→ CD→ 即 a(i－2 j＋2 k)＋ b(2i＋ j－3 k)＋ c(λ i＋3 j－5 k)＝0，∴( a＋2 b＋ λc )i＋(－2 a＋ b＋3 c)j＋(2 a－3 b－5 c)k＝0.8∵ i， j， k 不共面，∴Error! ∴Error!6.如图，在空间四边形 OABC 中， ＝ a， ＝ b， ＝ c，点 M 在 OA 上，且 OM＝2 MA， N 为OA→ OB→ OC→ BC 中点，则 ＝________.(用 a， b， c 表示)MN→ 答案 － a＋ b＋ c23 12 12解析 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋( － )＋ ＝ a＋( b－ a)＋ ( － )MN→ MA→ AB→ BN→ 13OA→ OB→ OA→ 12BC→ 13 12OC→ OB→ ＝ a＋( b－ a)＋ (c－ b)13 12＝－ a＋ b＋ c.23 12 127．平面 α 内有五点 A， B， C， D， E，其中无三点共线， O 为空间一点，满足＝ ＋ x ＋ y ， ＝2 x ＋ ＋ y ，则 x＋3 y＝________.OA→ 12OB→ OC→ OD→ OB→ OC→ 13OD→ OE→ 答案 76解析 由点 A， B， C， D 共面得 x＋ y＝ ，又由点 B， C， D， E 共面得 2x＋ y＝ ，联立方程12 23组解得 x＝ ， y＝ ，所以 x＋3 y＝ .16 13 768．已知 a＝(－2,1,3)， b＝(3，－4,2)， c＝(7， λ ，5)，若 a， b， c 共面，则实数 λ 的值为________．答案 －12313解析 易得 c＝ ta＋ μ b＝(－2 t＋3 μ ， t－4 μ ，3 t＋2 μ )，所以Error! 解得Error!9故 λ 的值为－ .123139．已知 P， A， B， C 四点共面且对于空间任一点 O 都有 ＝2 ＋ ＋ λ ，则OP→ OA→ 43OB→ OC→ λ ＝________.答案 －73解析 因为 P， A， B， C 四点共面，所以 ＝ x ＋ y ＋ z ，且 x＋ y＋ z＝1，所以OP→ OA→ OB→ OC→ 2＋ ＋ λ ＝1，得 λ ＝－ .43 7310．已知 i， j， k 是不共面向量， a＝2 i－ j＋3 k， b＝－ i＋4 j－2 k， c＝7 i＋5 j＋ λ k，若a， b， c 三个向量共面，则实数 λ ＝________.答案 657解析 ∵ a， b， c 三向量共面，∴存在实数 m， n，使得 c＝ ma＋ nb，即 7i＋5 j＋ λ k＝ m(2i－ j＋3 k)＋ n(－ i＋4 j－2 k)．∴Error! ∴ λ ＝ .65711．在以下命题中，不正确的命题的个数为________．①已知 A， B， C， D 是空间任意四点，则 ＋ ＋ ＋ ＝0；AB→ BC→ CD→ DA→ ②| a|－| b|＝| a＋ b|是 a， b 共线的充要条件；③若 a 与 b 共线，则 a 与 b 所在直线平行；④对空间任意一点 O 和不共线的三点 A， B， C，若 ＝ x ＋ y ＋ z (其中 x， y， z∈R)，OP→ OA→ OB→ OC→ 则 P， A， B， C 四点共面．答案 3解析 ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，①正确；AB→ BC→ CD→ DA→ AC→ CD→ DA→ AD→ DA→ 若 a， b 同向共线，则| a|－| b||a＋ b|，故②不正确；由向量平行知③不正确；由空间向量共面知④不正确．故共有 3 个命题不正确．二、解答题12.如图所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M， N 分别在对角线10BD， AE 上，且 BM＝ BD， AN＝ AE.13 13求证：向量 ， ， 共面．MN→ CD→ DE→ 证明 因为 M 在 BD 上，且 BM＝ BD，13所以 ＝ ＝ ＋ .MB→ 13DB→ 13DA→ 13AB→ 同理 ＝ ＋ .AN→ 13AD→ 13DE→ 所以 ＝ ＋ ＋MN→ MB→ BA→ AN→ ＝ ＋ ＋(13DA→ ＋ 13AB→ ) BA→ (13AD→ ＋ 13DE→ )＝ ＋ ＝ ＋ .23BA→ 13DE→ 23CD→ 13DE→ 又 与 不共线，根据向量共面的充要条件可知 ， ， 共面．CD→ DE→ MN→ CD→ DE→ 13．已知非零向量 e1， e2不共线，如果 ＝ e1＋ e2， ＝2 e1＋8 e2， ＝3 e1－3 e2，求证：AB→ AC→ AD→ A， B， C， D 共面．证明 方法一 令 λ (e1＋ e2)＋ μ (2e1＋8 e2)＋ v(3e1－3 e2)＝0，则( λ ＋2 μ ＋3 v)e1＋( λ ＋8 μ －3 v)e2＝0.因为 e1， e2不共线，所以Error!则Error! 是其中一组解，则－5 ＋ ＋ ＝0，AB→ AC→ AD→ 所以 A， B， C， D 共面．方法二 观察可得 ＋ ＝(2 e1＋8 e2)＋(3 e1－3 e2)＝5 e1＋5 e2＝5( e1＋ e2)＝5 ，所以AC→ AD→ AB→ ＝ ＋ .AB→ 15AC→ 15AD→ 由共面向量知， ， ， 共面．AB→ AC→ AD→ 又它们有公共点 A，所以 A， B， C， D 四点共面．三、探究与拓展14．如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中， AE＝3 EA1， AF＝ FD， AG＝ GB，过 E， F， G 三1211点的平面与对角线 AC1交于点 P，则 AP∶ PC1＝________.答案 316解析 设 ＝ m ，AP→ AC1—→ 因为 ＝ ＋ ＋AC1—→ AB→ BB1—→ B1C1—→ ＝ ＋ ＋AB→ AA1—→ AD→ ＝3 ＋ ＋2 ，AG→ 43AE→ AF→ 所以 ＝3 m ＋ m ＋2 m ，AP→ AG→ 43AE→ AF→ 又因为 E、 F、 G、 P 四点共面，所以 3m＋ m＋2 m＝1，43所以 m＝ ，所以 AP∶ PC1＝3∶16.31915.如图所示，在平行六面体 ABCD－ A1B1C1D1中， O 是 B1D1的中点，求证： ， ，B1C—→ OD→ 是共面向量．OC1—→ 证明 设 ＝ a，C1B1—→ ＝ b， ＝ c，C1D1—→ C1C—→ ∵四边形 B1BCC1为平行四边形，∴ ＝ c－ a，B1C—→ 又 O 是 B1D1的中点，∴ ＝ (a＋ b)，C1O—→ 12∴ ＝－ (a＋ b)，OC1—→ 1212＝ － ＝ b－ (a＋ b)＝ (b－ a)．OD1—→ C1D1—→ C1O—→ 12 12∵ D1D 綊 C1C，∴ ＝ c，D1D—→ ∴ ＝ ＋ ＝ (b－ a)＋ c.OD→ OD1—→ D1D—→ 12若存在实数 x， y，使 ＝ x ＋ y (x， y∈R)成立，则B1C—→ OD→ OC1—→ c－ a＝ x ＋ y[12b－ a＋ c] [－ 12a＋ b]＝－ (x＋ y)a＋ (x－ y)b＋ xc.12 12∵ a， b， c 不共线，∴Error!得Error!∴ ＝ ＋ ，又 与 不共线，B1C→ OD→ OC1—→ OD→ OC1—→ ∴ ， ， 是共面向量．B1C→ OD→ OC1—→