1、13.1.1 空间向量及其线性运算学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律知识点一 空间向量的概念思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量 a 的起点是 A，终点是B，则向量 a 也可记作 ，其模记为| a|或| |.AB AB (2)几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 规定长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0单位向
2、量 模为 1 的向量称为单位向量相反向量 与向量 a 长度相等而方向相反的向量，称为 a 的相反向量，记为 a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二 空间向量及其线性运算1空间向量的线性运算已知空间向量 a， b，在空间任取一点 O，作 a， b， c，与平面向量的运算一样，OA OB AB 空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为： a c；OB OA AB a b c.BA OA OB 若 P 在直线 OA 上，则 a( R)OP 2空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：(1)a b b a；2(2)(a b) c a( b c)；(
3、3) (a b) a b( R)知识点三 共线向量(或平行向量)1定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量若向量 a 与 b 平行，记作 a b，规定零向量与任意向量共线2共线向量定理：对空间任意两个向量 a， b(a0)， b 与 a 共线的充要条件是存在实数 ，使 b a.1在空间中，单位向量唯一()2在空间中，任意一个向量都可以进行平移()3在空间中，互为相反向量的两个向量必共线()4空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算()类型一 空间向量的概念及应用例 1 如图所示，以长方体 ABCD A1B1C1D1的八个顶点的两点为始
4、点和终点的向量中：(1)试写出与 相等的所有向量；AB (2)试写出 的相反向量；AA1 (3)若 AB AD2， AA11，求向量 的模AC1 解 (1)与向量 相等的所有向量(除它自身之外)有 ， 及 ，共 3 个AB A1B1 DC D1C1 (2)向量 的相反向量有 ， ， ， ，共 4 个AA1 A1A B1B C1C D1D (3)| |AC1 |AB |2 |AD |2 |AA1 |2 3.22 22 12 9引申探究如图，在长方体 ABCD A B C D中， AB3， AD2， AA1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：3(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为 的
5、所有向量5解 (1)由于长方体的高为 1，所以长方体的四条高所对应的向量 ， ， ， ，AA A A BB B B ， ， ， ，共 8 个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位CC C C DD D D 向量共有 8 个(2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为 ，故模为 的向量有 ，5 5 AD ， ， ， ， ， ， .D A A D DA BC C B B C CB 反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反跟踪训练 1 给出以下结论：
6、两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量 a， b 满足| a| b|，则 a b；在正方体 ABCD A1B1C1D1中，必有 ；AC A1C1 若空间向量 m， n， p 满足 m n， n p，则 m p.其中不正确的命题的序号为_答案 解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故不正确；若空间向量 a， b满足| a| b|，则不一定能判断出 a b，故不正确；在正方体 ABCD A1B1C1D1中，必有 成立，故正确；显然正确AC A1C1 4类型二 空间向量的线性运算例 2 如图，已知长方体 ABCD A B C D，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结
7、果的向量(1) ；AA CB (2) .AA AB B C 解 (1) .AA CB AA DA AA AD AD (2) ( ) .AA AB B C AA AB B C AB B C AC 向量 ， 如图所示AD AC 引申探究利用本例题图，化简 .AA A B B C C A 解 结合加法运算，得 ， ， 0.AA A B AB AB B C AC AC C A 故 0.AA A B B C C A 反思与感悟 1.化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止2首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指
8、向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为 0.跟踪训练 2 在如图所示的平行六面体中，求证： 2 .AC AB AD AC 证明 平行六面体的六个面均为平行四边形， ， ， ，AC AB AD AB AB AA AD AD AA 5 AC AB AD ( )( )( )AB AD AB AA AD AA 2( )AB AD AA 又 ， ，AA CC AD BC .AB AD AA AB BC CC AC CC AC 2 .AC AB AD AC 类型三 向量共线定理的理解与应用例 3 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 在 A1D1
9、上，且 2 ， F 在对角线A1E ED1 A1C 上，且 .A1F 23FC 求证： E， F， B 三点共线证明 设 a， b， c，AB AD AA1 因为 2 ， ，A1E ED1 A1F 23FC 所以 ， ，A1E 23A1D1 A1F 25A1C 所以 b，A1E 23AD 23 ( ) ( )A1F 25AC AA1 25AB AD AA1 a b c.25 25 25所以 a b c b a b c .EF A1F A1E 25 25 25 23 25 415 25 25(a 23b c)又 b c a a b c，EB EA1 A1A AB 23 23所以 ，EF 25EB
10、 6又因为 与 有公共点 E，所以 E， F， B 三点共线EF EB 反思与感悟 1.判定共线：判定两向量 a， b(b0)是否共线，即判断是否存在实数 ，使a b.2求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若 a b，则a b( R)3判定或证明三点(如 P， A， B)是否共线(1)是否存在实数 ，使 .PA PB (2)对空间任意一点 O，是否有 t .OP OA AB (3)对空间任意一点 O，是否有 x y (x y1)OP OA OB 跟踪训练 3 如图，在四面体 ABCD 中，点 E， F 分别是棱 AD， BC 的中点，用 ， 表示向AB CD 量 .EF 解
11、EF AF AE ( )12AB AC 12AD ( ) .12AB 12AD AC 12AB 12CD 1下列说法中正确的是_(填序号)若| a| b|，则 a， b 的长度相等，方向相同或相反；若向量 a 是向量 b 的相反向量，则| a| b|；空间向量的减法满足结合律；在四边形 ABCD 中，一定是 .AB AD AC 答案 解析 若| a| b|，则 a， b 的长度相等，方向不确定，故不正确；相反向量是指长度相7同，方向相反的向量，故正确；空间向量的减法不满足结合律，故不正确；在 ABCD中，才有 ，故不正确AB AD AC 2在平行六面体 ABCD A B C D的各条棱所在的向
12、量中，与向量 相等的向量A B 有_个答案 33在正方体 ABCDA1B1C1D1中，已知下列各式：( ) ；( ) ；( ) ；( )AB BC CC1 AA1 A1D1 D1C1 AB BB1 B1C1 AA1 A1B1 .其中运算的结果为 的有_个B1C1 AC1 答案 4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：( )AB BC ；CC1 AC CC1 AC1 ( ) ；AA1 A1D1 D1C1 AD1 D1C1 AC1 ( ) ；AB BB1 B1C1 AB1 B1C1 AC1 ( ) .AA1 A1B1 B1C1 AB1 B1C1 AC1 所以 4 个式子的运算结
13、果都是 .AC1 4化简 2 2 3 3 _.AB BC CD DA AC 答案 0解析 2 2 3 3 2 2 2 2 0.AB BC CD DA AC AB BC CD DA CD DA AC 5若非零空间向量 e1， e2不共线，则使 ke1 e2与 e1 ke2共线的 k_.考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用答案 1解析 由 ke1 e2与 e1 ke2共线，得 ke1 e2 (e1 ke2)，即Error! 故 k1.8空间向量加法、减法运算的两个技巧：(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接(2)巧用
14、平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果9一、填空题1下列命题中，假命题是_(填序号)任意两个向量都是共面向量；空间向量的加法运算满足交换律及结合律；只有零向量的模等于 0；共线的单位向量都相等答案 解析 容易判断是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量2已知空间四边形 ABCD 中， a， b， c，则 _.(用 a， b， c 表示)AB BC AD CD 答案 c a b解析 如图， 0，AB BC CD DA 即 a b c0，CD c a b.CD 3在长方体 ABCD A1B1C1D1中
15、， _.AB CD BC DA 答案 2 AC 解析 ( )( )AB CD BC DA AB BC CD DA 2 .AC CA AC 4对于空间中的非零向量 ， ， ，有下列各式：AB BC AC AB ； ；| A | B | A |；| A | A | B |.其中一BC AC AB AC BC B C C B C C 定不成立的是_(填序号)答案 10解析 根据空间向量的加减法运算，对于： A B A 恒成立；对于：当 A ， BB C C B ， A 方向相同时，有| A | B | A |；对于：当 B ， A ， A 在一条直线上C C B C C C B C 且 B 与 A
16、， A 方向相反时，有| A | A | B |.C B C B C C 只有一定不成立5在三棱锥 A BCD 中，若 BCD 是正三角形， E 为其中心，则 化简的结AB 12BC 32DE AD 果为_答案 0解析 延长 DE 交边 BC 于点 F，则 ， AB 12BC AF 32DE AD DF AD ，AD DF AF 故 0.AB 12BC 32DE AD AF AF 6.如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， _， _.AB AD AA1 DD1 AB BC 答案 AC1 BD1 解析 ，AB AD AA1 AB BC CC1 AC1 ( )DD1 AB BC DD1
17、 AB AD .DD1 DB BD1 7在直三棱柱 ABCA1B1C1中，若 C a， C b， C 1 c，则 _.A B C A1B 答案 a b c解析 如图，11 ( )A1B A1A AB C1C CB CA c b a.CC1 CB CA 8在正方体 ABCD A1B1C1D1中， ， x y( )，则A1E 14A1C1 AE AA1 AB AD x_， y_.答案 1 14解析 AE AA1 A1E AA1 14A1C1 ( )，AA1 14AC AA1 14AB AD x1， y .149已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，若点 F 是侧面 CD1的中心，且 m n ，
18、则AF AD AB AA1 m， n 的值分别是_答案 ，12 12解析 由于 ( )AF AD DF AD 12DC DD1 ，AD 12AB 12AA1 所以 m ， n .12 1210在空间四边形 ABCD 中，若 E， F， G， H 分别为 AB， BC， CD， DA 边上的中点，则下列各式中成立的是_(填序号) 0；EB BF EH GH 0；EB FC EH GE 0；EF FG EH GH 0.EF FB CG GH 12答案 解析 易知四边形 EFGH 为平行四边形，所以 EB FC EH GE EB BF GE EH 0.EF GH 11.如图，已知在空间四边形 ABC
19、D 中， a2 c， 5 a6 b8 c，对角线 AC， BD 的中AB CD 点分别为 E， F，则 _.(用向量 a， b， c 表示)EF 答案 3 a3 b5 c解析 设 G 为 BC 的中点，连结 EG， FG，则 EF EG GF 12AB 12CD (a2 c) (5a6 b8 c)12 123 a3 b5 c二、解答题12.如图所示，在平行六面体 ABCD A B C D中，化简下列表达式(1) ；AB BC 13(2) ；AB AD AA (3) ；AB CB AA (4) .AC D B DC 解 (1) .AB BC AC (2) AB AD AA AC AA .AC (
20、3) .AB CB AA AB DA BB DA AB BB DB (4) ( )( ) .AC D B DC AB BC CC DA DC C C DC DC 13.如图，设 O 为 ABCD 所在平面外任意一点， E 为 OC 的中点，若 x y ，求AE 12OD OB OA x， y 的值解 AE AB BC CE OB OA OC OB 12OC ( )OA 12OC OA 12OD DC ( )OA 12OD AB ( )OA 12OD 12OB OA ，32OA 12OD 12OB x ， y .12 32三、探究与拓展14设 e1， e2是空间两个不共线的向量，已知 2 e1
21、ke2， e13 e2， 2 e1 e2，AB CB CD 且 A， B， D 三点共线，则 k_.14答案 8解析 ( e13 e2)(2 e1 e2) e14 e2，BD BC CD 又 A， B， D 三点共线， ，AB BD 即 2e1 ke2 (e14 e2)，Error! k8.1515.如图，设点 A 是 BCD 所在平面外的一点，点 G 是 BCD 的重心求证： ( )AG 13AB AC AD 证明 连结 BG，延长后交 CD 于点 E，由点 G 为 BCD 的重心，知 .BG 23BE E 为 CD 的中点， .BE 12BC 12BD AG AB BG AB 23BE (
22、 )AB 13BC BD ( )( )AB 13 AC AB AD AB ( )13AB AC AD 13.1.2 共面向量定理学习目标 1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件知识点一 共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量知识点二 共面向量定理如果两个向量 a， b 不共线，那么向量 p 与向量 a， b 共面的充要条件是存在有序实数组(x， y)，使得 p xa yb，即向量 p 可以由两个不共线的向量 a， b 线性表示知识点三 空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点 O，存在实数 x， y， z 使得 x y z ，且 x， y， z 满足
23、x y z1，则 A， B， C， D 四点共面OA OB OC OD 1实数与向量之间可进行加法、减法运算()2空间中任意三个向量一定是共面向量()3若 P， M， A， B 共面，则 x y .()MP MA MB 类型一 向量共面的判定例 1 给出以下命题：用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；已知空间四边形 ABCD，则由四条线段 AB， BC， CD， DA 分别确定的四个向量之和为零向量；若存在有序实数组( x， y)使得 x y ，则 O， P， A， B 四点共面；OP OA OB 若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；若 a，
24、b， c 三向量两两共面，则 a， b， c 三向量共面其中正确命题的序号是_答案 解析 错，空间中任意两个向量都是共面的；2错，因为四条线段确定的向量没有强调方向；正确，因为 ， ， 共面，OP OA OB O， P， A， B 四点共面；错，没有强调零向量；错，例如三棱柱的三条侧棱表示的向量反思与感悟 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内判定向量共面的主要依据是共面向量定理跟踪训练 1 下列说法正确的是_(填序号)以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；设平行六面体的三条棱是 ， ， ，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是 AB AA1 AD AB ；AA1 AD
25、 若 (P )成立，则 P 点一定是线段 AB 的中点；OP 12 A PB 在空间中，若向量 与 是共线向量，则 A， B， C， D 四点共面；AB CD 若 a， b， c 三向量共面，则由 a， b 所在直线所确定的平面与由 b， c 所在直线确定的平面是同一个平面答案 类型二 向量共面的证明例 2 如图所示，若 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点，点 H 为 PC 上的点，且 ，PHHC 12点 G 在 AH 上，且 m，若 G， B， P， D 四点共面，求 m 的值AGAH考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用解 连结 BG.因为 ， ，AB PB PA A
26、B DC 3所以 ，DC PB PA 因为 ，PC PD DC 所以 .PC PD PB PA PA PB PD 因为 ，所以 ，PHHC 12 PH 13PC 所以 ( )PH 13 PA PB PD .13PA 13PB 13PD 又因为 ，AH PH PA 所以 ，AH 43PA 13PB 13PD 因为 m，AGAH所以 m ，AG AH 4m3PA m3PB m3PD 因为 ，BG AB AG PA PB AG 所以 .BG (1 4m3)PA (m3 1)PB m3PD 又因为 G， B， P， D 四点共面，所以 1 0， m .4m3 34即 m 的值是 .34反思与感悟 利用
27、向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系跟踪训练 2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别为 BB1和 A1D1的中点证明：向量 ， ， 是共面向量A1B B1C EF 证明 EF EB BA1 A1F 12B1B A1B 12A1D1 4 ( )12B1B BC A1B .12B1C A1B 又 ， 不共线，B1C A1B 由向量共面的充要条件知， ， ， 是共面向量A1B B1C EF 类型三 共面向量定理的应用例 3 如图，在底面为正三角形的斜棱柱 ABC-A1B1
28、C1中， D 为 AC 的中点，求证： AB1平面 C1BD.证明 记 a， b， c，则 a c，AB AC AA1 AB1 DB a b，AB AD 12 b c，DC1 DC CC1 12所以 a c ，又 与 不共线，DB DC1 AB1 DB DC1 所以 ， ， 共面AB1 DB DC1 又由于 AB1平面 C1BD，所以 AB1平面 C1BD.反思与感悟 在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化要熟悉其证明过程和证明步骤跟踪训练 3 如图所示，已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1，设 a， b， c，在面对角AB AC AA1 线 AC1上和棱 BC 上分别取点 M，
29、 N，使 k ， k (0 k1)AM AC1 BN BC 5求证： MN平面 ABB1A1.证明 k k( ) kb kc，AM AC1 AA1 AC 又 a k a k(b a)(1 k)a kb，AN AB BN BC (1 k)a kb kb kcMN AN AM (1 k)a kc.又 a 与 c 不共线 与向量 a， c 是共面向量MN 又 MN平面 ABB1A1， MN平面 ABB1A1.1给出下列几个命题：向量 a， b， c 共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若 ab ，则存在唯一的实数 ，使 a b.其中真命题的个数为_答案 1解析 假命题三个向量共面时，它
30、们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；真命题这是关于零向量的方向的规定；假命题当 b0 时，则有无数多个 使之成立2已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任一点 O， x ，则 x 的值为OM OA 13OB 13OC _答案 13解析 由题意知， x 1，13 13所以 x .133下列命题中，正确命题的个数为_若 a b，则 a 与 b 方向相同或相反；若 ，则 A， B， C， D 四点共线；AB CD 若 a， b 不共线，则空间任一向量 p a b( ， R)6答案 0解析 当 a， b 中有零向量时，不正确； 时， A， B， C， D 四点共面不一定共线，AB CD 故不正
31、确；由 p， a， b 共面的充要条件知，当 p， a， b 共面时才满足p a b( ， R)，故不正确4已知 A， B， C 三点不共线， O 为平面 ABC 外一点，若由向量 确定的OP 15OA 23OB OC 点 P 与 A， B， C 共面，那么 _.答案 215解析 P 与 A， B， C 共面 ， ( ) ( )，即AP AB AC AP OB OA OC OA (1 ) ，OP OA OB OA OC OA OA OB OC 1 1.因此 1，解得 .15 23 215共面向量定理的应用：(1)空间中任意两个向量 a， b 总是共面向量，空间中三个向量 a， b， c 则不一
32、定共面(2)空间中四点共面的条件空间点 P 位于平面 MAB 内，则存在有序实数对 x， y 使得 x y ，MP MA MB 此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理， ， 实质就是平面 MAB 内平面向MA MB 量的一组基底另外有 x y ，OP OM MA MB 或 x y z (x y z1)，OP OM OA OB 均可作为证明四点共面的条件，但是更为常用一、填空题1设 a， b 是两个不共线的向量， ， R，若 a b0，则 _， _.答案 0 0解析 a， b 是两个不共线的向量，7 a0， b0， 0.2下列结论中，正确的是_(填序号)若 a， b， c 共面，则存在
33、实数 x， y，使 a xb yc；若 a， b， c 不共面，则不存在实数 x， y，使 a xb yc；若 a， b， c 共面， b， c 不共线，则存在实数 x， y，使 a xb yc.答案 解析 要注意共面向量定理给出的是一个充要条件，所以第个命题正确；但定理的应用又有一个前提： b， c 是不共线向量，否则即使三个向量 a， b， c 共面，也不一定具有线性关系，故不正确；正确3空间的任意三个向量 a， b,3a2 b，它们一定是_答案 共面向量解析 如果 a， b 是不共线的两个向量，由共面向量定理知， a， b,3a2 b 共面；若 a， b共线，则 a， b,3a2 b 共
34、线，当然也共面4.如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别在 B1B 和 D1D 上，且BE BB1， DF DD1，若 x y z ，则 x y z_.13 23 EF AB AD AA1 答案 13解析 ( ) .EF AF AE AD DF AB BE AD 23DD1 AB 13BB1 AD AB 13AA1 x1， y1， z . x y z .13 135 i， j， k 是三个不共面的向量， i2 j2 k， 2 i j3 k， i3 j5 k，AB BC CD 且 A， B， C， D 四点共面，则 的值为_答案 1解析 若 A， B， C， D 四点共
35、面，则向量 ， ， 共面，故存在不全为零的实数AB BC CD a， b， c，使得 a b c 0.AB BC CD 即 a(i2 j2 k) b(2i j3 k) c( i3 j5 k)0，( a2 b c )i(2 a b3 c)j(2 a3 b5 c)k0.8 i， j， k 不共面，Error! Error!6.如图，在空间四边形 OABC 中， a， b， c，点 M 在 OA 上，且 OM2 MA， N 为OA OB OC BC 中点，则 _.(用 a， b， c 表示)MN 答案 a b c23 12 12解析 ( ) a( b a) ( )MN MA AB BN 13OA O
36、B OA 12BC 13 12OC OB a( b a) (c b)13 12 a b c.23 12 127平面 内有五点 A， B， C， D， E，其中无三点共线， O 为空间一点，满足 x y ， 2 x y ，则 x3 y_.OA 12OB OC OD OB OC 13OD OE 答案 76解析 由点 A， B， C， D 共面得 x y ，又由点 B， C， D， E 共面得 2x y ，联立方程12 23组解得 x ， y ，所以 x3 y .16 13 768已知 a(2,1,3)， b(3，4,2)， c(7， ，5)，若 a， b， c 共面，则实数 的值为_答案 1231
37、3解析 易得 c ta b(2 t3 ， t4 ，3 t2 )，所以Error! 解得Error!9故 的值为 .123139已知 P， A， B， C 四点共面且对于空间任一点 O 都有 2 ，则OP OA 43OB OC _.答案 73解析 因为 P， A， B， C 四点共面，所以 x y z ，且 x y z1，所以OP OA OB OC 2 1，得 .43 7310已知 i， j， k 是不共面向量， a2 i j3 k， b i4 j2 k， c7 i5 j k，若a， b， c 三个向量共面，则实数 _.答案 657解析 a， b， c 三向量共面，存在实数 m， n，使得 c
38、ma nb，即 7i5 j k m(2i j3 k) n( i4 j2 k)Error! .65711在以下命题中，不正确的命题的个数为_已知 A， B， C， D 是空间任意四点，则 0；AB BC CD DA | a| b| a b|是 a， b 共线的充要条件；若 a 与 b 共线，则 a 与 b 所在直线平行；对空间任意一点 O 和不共线的三点 A， B， C，若 x y z (其中 x， y， zR)，OP OA OB OC 则 P， A， B， C 四点共面答案 3解析 0，正确；AB BC CD DA AC CD DA AD DA 若 a， b 同向共线，则| a| b|a b|
39、，故不正确；由向量平行知不正确；由空间向量共面知不正确故共有 3 个命题不正确二、解答题12.如图所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M， N 分别在对角线10BD， AE 上，且 BM BD， AN AE.13 13求证：向量 ， ， 共面MN CD DE 证明 因为 M 在 BD 上，且 BM BD，13所以 .MB 13DB 13DA 13AB 同理 .AN 13AD 13DE 所以 MN MB BA AN (13DA 13AB ) BA (13AD 13DE ) .23BA 13DE 23CD 13DE 又 与 不共线，根据向量共面的充要条件可知 ， ，
40、 共面CD DE MN CD DE 13已知非零向量 e1， e2不共线，如果 e1 e2， 2 e18 e2， 3 e13 e2，求证：AB AC AD A， B， C， D 共面证明 方法一 令 (e1 e2) (2e18 e2) v(3e13 e2)0，则( 2 3 v)e1( 8 3 v)e20.因为 e1， e2不共线，所以Error!则Error! 是其中一组解，则5 0，AB AC AD 所以 A， B， C， D 共面方法二 观察可得 (2 e18 e2)(3 e13 e2)5 e15 e25( e1 e2)5 ，所以AC AD AB .AB 15AC 15AD 由共面向量知，
41、 ， ， 共面AB AC AD 又它们有公共点 A，所以 A， B， C， D 四点共面三、探究与拓展14如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中， AE3 EA1， AF FD， AG GB，过 E， F， G 三1211点的平面与对角线 AC1交于点 P，则 AP PC1_.答案 316解析 设 m ，AP AC1 因为 AC1 AB BB1 B1C1 AB AA1 AD 3 2 ，AG 43AE AF 所以 3 m m 2 m ，AP AG 43AE AF 又因为 E、 F、 G、 P 四点共面，所以 3m m2 m1，43所以 m ，所以 AP PC1316.31915.如图所
42、示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， O 是 B1D1的中点，求证： ， ，B1C OD 是共面向量OC1 证明 设 a，C1B1 b， c，C1D1 C1C 四边形 B1BCC1为平行四边形， c a，B1C 又 O 是 B1D1的中点， (a b)，C1O 12 (a b)，OC1 1212 b (a b) (b a)OD1 C1D1 C1O 12 12 D1D 綊 C1C， c，D1D (b a) c.OD OD1 D1D 12若存在实数 x， y，使 x y (x， yR)成立，则B1C OD OC1 c a x y12b a c 12a b (x y)a (x y)b xc.12 12 a， b， c 不共线，Error!得Error! ，又 与 不共线，B1C OD OC1 OD OC1 ， ， 是共面向量B1C OD OC1
