2018-2019学年高中数学 第二章 平面向量课后习题（打包11套）新人教A版必修4.zip

12.1 平面向量的实际背景及基本概念课后篇巩固探究1.有下列物理量: ① 质量; ② 速度; ③ 力; ④ 加速度; ⑤ 路程; ⑥ 功 .其中,不是向量的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析因为速度、力和加速度既有大小,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是 3.答案 C2.正 n边形有 n条边,它们对应的向量依次为 a1,a2,a3,…,an,则这 n个向量( )A.都相等 B.都共线C.都不共线 D.模都相等解析因为是正 n边形,所以 n条边的边长都相等,即这 n个向量的模都相等 .答案 D3.如图所示,在正三角形 ABC中, P,Q,R分别是 AB,BC,AC的中点,则与向量 相等的向量是 ( )𝑃𝑄A.𝑃𝑅与 𝑄𝑅B.𝐴𝑅与 𝑅𝐶2C.𝑅𝐴与 𝐶RD.𝑃𝐴与 𝑄𝑅解析向量相等要求模相等,方向相同,因此 都是和 相等的向量 .𝐴𝑅与 𝑅𝐶 𝑃𝑄答案 B4.若 | |=| |且 ,则四边形 ABCD的形状为 ( )𝐴𝐵𝐴𝐷𝐵𝐴=𝐶𝐷A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形解析由 知 AB=CD且 AB∥ CD,即四边形 ABCD为平行四边形 .又因为 | |=| |,所以四边形𝐵𝐴=𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐴𝐷ABCD为菱形 .答案 C5.如图,等腰梯形 ABCD中,对角线 AC与 BD交于点 P,点 E,F分别在两腰 AD,BC上, EF过点 P,且EF∥ AB,则下列等式成立的是( )A.𝐴𝐷=𝐵𝐶B.𝐴𝐶=𝐵𝐷C.𝑃𝐸=𝑃𝐹D.𝐸𝑃=𝑃𝐹解析根据相等向量的定义,A 中, 的方向不同,故 A错误;B 中, 的方向不同,故 B错误;C𝐴𝐷与 𝐵𝐶 𝐴𝐶与 𝐵𝐷中, 的方向相反,故 C错误;D 中, 的方向相同,且长度都等于线段 EF长度的一半,故𝑃𝐸与 𝑃𝐹 𝐸𝑃与 𝑃𝐹D正确 .答案 D36.如图,四边形 ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形, HE与 CG相交于点 M,则下列关系不一定成立的是( )A.| |=| |𝐴𝐵𝐸𝐹B. 共线𝐴𝐵与 𝐹𝐻C. 共线𝐵𝐷与 𝐸𝐻D. 共线𝐷𝐶与 𝐸𝐶解析依题意知,直线 BD与 EH不一定平行,因此 不一定与 共线,C 项错误 .𝐵𝐷 𝐸𝐻答案 C7.给出下列四个条件:① a=b;②| a|=|b|;③ a与 b方向相反; ④| a|=0或 |b|=0,其中能使 a∥b 成立的条件是 .(填序号) 解析 ② 中,由 |a|=|b|不能确定 a与 b的方向,所以不能使 a∥b .答案 ①③④8.如图,在△ ABC中,∠ ACB的平分线 CD交 AB于点 D.若 的模为 2, 的模为 3, 的模为 1,则𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐷的模为 . 𝐷𝐵解析如图,延长 CD,过点 A作 BC的平行线交 CD的延长线于点 E.因为∠ ACD=∠ BCD=∠ AED,4所以 | |=| |.𝐴𝐶 𝐴𝐸因为△ ADE∽△ BDC,所以 ,|𝐴𝐷||𝐷𝐵|=|𝐴𝐸||𝐵𝐶|=|𝐴𝐶||𝐵𝐶|故 | |= .𝐷𝐵32答案329.如图,四边形 ABCD和 ABDE都是边长为 1的菱形,已知下列说法:① 都是单位向量;𝐴𝐸,𝐴𝐵,𝐴𝐷,𝐶𝐷,𝐶𝐵,𝐷𝐸② ;𝐴𝐵∥𝐷𝐸,𝐷𝐸∥𝐷𝐶③ 与 相等的向量有 3个;𝐴𝐵④ 与 共线的向量有 3个;𝐴𝐸⑤ 与向量 大小相等、方向相反的向量为 .𝐷𝐶 𝐷𝐸,𝐶𝐷,𝐵𝐴其中正确的是 .(填序号) 解析 ① 由两菱形的边长都为 1,故 ① 正确; ② 正确; ③ 与 相等的向量是 ,故 ③ 错误; ④ 与 共𝐴𝐵 𝐸𝐷,𝐷𝐶 𝐴𝐸线的向量是 ,故 ④ 正确 ;⑤ 正确 .𝐸𝐴,𝐵𝐷,𝐷𝐵答案 ①②④⑤10. 导学号 68254062如图所示,4 ×3的矩形(每个小方格都是单位正方形),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与 相等的向量共有几个 ?𝐴𝐵5(2)与 平行且模为 的向量共有几个 ?𝐴𝐵 2(3)与 方向相同且模为 3 的向量共有几个?𝐴𝐵 2解(1)与向量 相等的向量共有 5个(不包括 本身) .𝐴𝐵 𝐴𝐵(2)与向量 平行且模为 的向量共有 24个 .𝐴𝐵 2(3)与向量 方向相同且模为 3 的向量共有 2个 .𝐴𝐵 211.如图所示的方格纸由若干个边长为 1的小正方形组成,方格纸中有两个定点 A,B,点 C为小正方形的顶点,且 | |= .𝐴𝐶 5(1)画出所有的向量 ;𝐴𝐶(2)求 | |的最大值与最小值 .𝐵𝐶解(1)画出所有的向量 如图所示 .𝐴𝐶(2)由(1)所画的图知,① 当点 C位于点 C1或 C2时, | |取得最小值 ;𝐵𝐶 12+22=5② 当点 C位于点 C5或 C6时, | |取得最大值 .𝐵𝐶 42+52=41∴| |的最大值为 ,最小值为 .𝐵𝐶 41 512.2.1 向量加法运算及其几何意义课后篇巩固探究A组 基础巩固1.在四边形 ABCD中, ,则四边形 ABCD是 ( )𝐴𝐵+𝐴𝐷=𝐴𝐶A.梯形 B.矩形C.正方形 D.平行四边形解析由平行四边形法则可得,四边形 ABCD是以 AB,AD为邻边的平行四边形 .答案 D2.如图所示,四边形 ABCD是梯形, AD∥ BC,AC与 BD交于点 O,则 =( )𝑂𝐴+𝐵𝐶+𝐴𝐵A. B.𝐶𝐷 𝑂𝐶C. D.𝐷𝐴 𝐶𝑂解析 .𝑂𝐴+𝐵𝐶+𝐴𝐵=𝑂𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝑂𝐶答案 B3.已知向量 a∥b,且 |a||b|0,则向量 a+b的方向 ( )A.与向量 a的方向相同 B.与向量 a的方向相反C.与向量 b的方向相同 D.不确定2解析若 a和 b方向相同,则它们的和的方向应该与 a(或 b)的方向相同;若它们的方向相反,而 a的模大于 b的模,则它们的和的方向与 a的方向相同 .答案 A4.如图,在正六边形 ABCDEF中, 等于( )𝐵𝐴+𝐶𝐷+𝐹𝐵A.0B.𝐵𝐸C.𝐴𝐷D.𝐶𝐹解析 ∵ ,𝐶𝐷=𝐴𝐹∴ =0.𝐵𝐴+𝐶𝐷+𝐹𝐵=𝐵𝐴+𝐴𝐹+𝐹𝐵答案 A5.向量( )+( )+ 化简后等于( )𝑃𝐴+𝑀𝐴𝐴𝑂+𝐴𝐶𝑂𝑀A. B.𝐴𝐶 𝑃𝐴C. D.𝑃𝐶 𝑃𝑀解析( )+( )+𝑃𝐴+𝑀𝐴𝐴𝑂+𝐴𝐶.𝑂𝑀=𝑃𝐴+𝐴𝑂+𝑂𝑀+𝑀𝐴+𝐴𝐶=𝑃𝑂+𝑂𝑀+𝑀𝐴+𝐴𝐶=𝑃𝑀+𝑀𝐴+𝐴𝐶=𝑃𝐴+𝐴𝐶=𝑃𝐶答案 C6.在矩形 ABCD中,若 AB=2,BC=1,则 | |= . 𝐴𝐵+𝐵𝐶解析因为 ABCD是矩形,所以对角线 AC= ,于是 | |=| |= .22+12=5 𝐴𝐵+𝐵𝐶 𝐴𝐶 5答案 57.如图,在平行四边形 ABCD中,写出下列各式的结果:3(1) = ; 𝐴𝐵+𝐴𝐷(2) = ; 𝐴𝐶+𝐶𝐷+𝐷𝑂(3) = ; 𝐴𝐵+𝐴𝐷+𝐶𝐷(4) = . 𝐴𝐶+𝐵𝐴+𝐷𝐴解析(1)由平行四边形法则可知为 ;𝐴𝐶(2) ;𝐴𝐶+𝐶𝐷+𝐷𝑂=A𝐷+𝐷𝑂=𝐴𝑂(3) ;𝐴𝐵+𝐴𝐷+𝐶𝐷=𝐴𝐶+𝐶𝐷=𝐴𝐷(4) =0.𝐴𝐶+𝐵𝐴+𝐷𝐴=𝐵𝐴+𝐴𝐶+𝐷𝐴=𝐵𝐶+𝐷𝐴答案(1) (2) (3) (4)0𝐴𝐶 𝐴𝑂 𝐴𝐷8.如图所示,若 P为△ ABC的外心,且 ,则∠ ACB= . 𝑃𝐴+𝑃𝐵=𝑃𝐶解析因为 P为△ ABC的外心,所以 PA=PB=PC,因为 ,由向量的线性运算可得四边形𝑃𝐴+𝑃𝐵=𝑃𝐶PACB是菱形,且∠ PAC=60°,所以∠ ACB=120°.答案 120°9.是否存在 a,b,使 |a+b|=|a|=|b|?请画出图形说明 .解存在,如图, =a, =b,𝑂𝐴𝑂𝐵OA=OB=OC,∠ AOB=120°,∠ AOC=∠ COB=60°.10.4如图所示, P,Q是△ ABC的边 BC上两点,且 BP=QC.求证: .𝐴𝐵+𝐴𝐶=𝐴𝑃+𝐴𝑄证明 ∵ ,𝐴𝐵=𝐴𝑃+𝑃𝐵,𝐴𝐶=𝐴𝑄+𝑄𝐶∴ .𝐴𝐵+𝐴𝐶=𝐴𝑃+𝑃𝐵+𝐴𝑄+𝑄𝐶∵ 大小相等 ,方向相反,𝑃𝐵与 𝑄𝐶∴ =0.𝑃𝐵+𝑄𝐶故 +0= .𝐴𝐵+𝐴𝐶=𝐴𝑃+𝐴𝑄𝐴𝑃+𝐴𝑄B组 能力提升1.已知四边形 ABCD为菱形,则下列等式中成立的是 ( )A. B.𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐶𝐴 𝐴𝐵+𝐴𝐶=𝐵𝐶C. D.𝐴𝐶+𝐵𝐴=𝐴𝐷𝐴𝐶+𝐴𝐷=𝐷𝐶解析因为四边形 ABCD是菱形,所以也是平行四边形,于是 ,故 C项正确 .𝐴𝐶+𝐵𝐴=𝐵𝐶=𝐴𝐷答案 C2.设 a=( )+( ),b是任一非零向量,则在下列结论中:𝐴𝐵+𝐶𝐷𝐵𝐶+𝐷𝐴① a∥b; ② a+b=a;③ a+b=b;④| a+b||a|+|b|;⑤| a+b|=|a|+|b|.正确结论的序号是( )A.①⑤ B.②④⑤ C.③⑤ D.①③⑤解析 ∵ a=( )+( )= =0,𝐴𝐵+𝐵𝐶 𝐶D+𝐷𝐴𝐴𝐶+𝐶𝐴又 b为任一非零向量, ∴①③⑤ 均正确 .答案 D3.5如图,已知电线 AO与天花板的夹角为 60°,电线 AO所受拉力 |F1|=24 N.绳 BO与墙壁垂直,所受拉力 |F2|=12 N,则 F1与 F2的合力大小为 ,方向为 . 解析以 为邻边作平行四边形 BOAC,则 F1+F2=F,𝑂𝐴,𝑂𝐵即 ,则∠ OAC=60°,𝑂𝐴+𝑂𝐵=𝑂𝐶| |=24,| |=| |=12,𝑂𝐴 𝐴𝐶 𝑂𝐵∴ ∠ ACO=90°,∴| |=12 .𝑂𝐶 3∴ F1与 F2的合力大小为 12 N,方向为竖直向上 .3答案 12 N 竖直向上34.如图,在△ ABC中, O为重心, D,E,F分别是 BC,AC,AB的中点,化简下列三式:(1) ;𝐵𝐶+𝐶𝐸+𝐸𝐴(2) ;𝑂𝐸+𝐴𝐵+𝐸𝐴(3) .𝐴𝐵+𝐹𝐸+𝐷𝐶解(1) .𝐵𝐶+𝐶𝐸+𝐸𝐴=𝐵𝐸+𝐸𝐴=𝐵𝐴(2) =( )+ .𝑂𝐸+𝐴𝐵+𝐸𝐴𝑂𝐸+𝐸𝐴𝐴𝐵=𝑂𝐴+𝐴𝐵=𝑂𝐵(3) .𝐴𝐵+𝐹𝐸+𝐷𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐷+𝐷𝐶=𝐴𝐷+𝐷𝐶=𝐴𝐶65.一艘船在水中航行,水流速度与船在静水中航行的速度均为 5 km/h.如果此船实际向南偏西30°方向行驶 2 km,然后又向西行驶 2 km,你知道此船在整个过程中的位移吗?解如图,用 表示船的第一次位移 ,用 表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知𝐴𝐶 𝐶𝐷,𝐴𝐷=𝐴𝐶+𝐶𝐷所以 可表示两次位移的和位移 .𝐴𝐷由题意知,在 Rt△ ABC中,∠ BAC=30°,则 BC= AC=1,AB= .12 3在等腰三角形 ACD中, AC=CD=2,所以∠ D=∠ DAC= ∠ ACB=30°,12所以∠ BAD=60°,AD=2AB=2 ,3所以两次位移的和位移的方向是南偏西 60°,位移的大小为 2 km.36.如图所示,一架飞机从 A地按北偏东 35°的方向飞行 800 km到达 B地,然后又从 B地按南偏东55°的方向飞行 600 km到达 C地,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据:sin 37°=0.6).解设 分别表示飞机从 A地按北偏东 35°的方向飞行 800 km,从 B地按南偏东 55°的方向飞𝐴𝐵,𝐵𝐶行 600 km,则飞机飞行的路程指的是 | |+| |;两次位移的和指的是 .依题意,有 |𝐴𝐵𝐵𝐶 𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐴𝐶|+| |=800+600=1 400(km),∠ ABC=35°+55°=90°.在 Rt△ ABC中, | |=𝐴𝐵𝐵𝐶 𝐴𝐶=1 000(km),其中∠ BAC=37°,所以方向为北偏东 35°+37°=72°.从|𝐴𝐵|2+|𝐵𝐶|2=8002+6002而飞机飞行的路程是 1 400 km,两次飞行的位移和的大小为 1 000 km,方向为北偏东 72°.12.2.2 向量减法运算及其几何意义课后篇巩固探究1.若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )A. B.𝐸𝐹=𝑂𝐹+𝑂𝐸𝐸𝐹=𝑂𝐹‒𝑂𝐸C. =- D. =-𝐸𝐹𝑂𝐹+𝑂𝐸 𝐸𝐹𝑂𝐹‒𝑂𝐸答案 B2.已知 ABCDEF 是一个正六边形, O 是它的中心,其中 =a, =b, =c,则 =( )𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶 𝐸𝐹A.a+b B.b-aC.c-b D.b-c解析 =b-c.𝐸𝐹=𝐶𝐵=𝑂𝐵‒𝑂𝐶答案 D3.下列不能化简为 的是( )𝑃𝑄A. B. +( )𝑄𝐶‒𝑄𝑃+𝐶𝑄 𝐴𝐵𝑃𝐴+𝐵𝑄C.( )+( ) D.𝐴𝐵+𝑃𝐶 𝐵𝐴‒𝑄𝐶 𝑃𝐴+𝐴𝐵‒𝐵𝑄2解析 D 项中, ,故选 D.𝑃𝐴+𝐴𝐵‒𝐵𝑄=𝑃𝐵‒𝐵𝑄≠𝑃𝑄答案 D4.如图,点 D,E,F 分别是△ ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则 ( )A. =0𝐴𝐷+𝐵𝐸+𝐶𝐹B. =0𝐵𝐷‒𝐶𝐸+𝐷𝐹C. =0𝐴𝐷+𝐶𝐸‒𝐶𝐹D. =0𝐵𝐷‒𝐵𝐸‒𝐹𝐶解析因为 =0,所以 A 项正确 .𝐴𝐷+𝐵𝐸+𝐶𝐹=𝐴𝐷+𝐷𝐹+𝐹𝐴答案 A5.平面上有三点 A,B,C,设 m= ,n= ,若 m,n 的长度恰好相等,则有( )𝐴𝐵+𝐵𝐶 𝐴𝐵‒𝐵𝐶A.A,B,C 三点必在同一条直线上B.△ ABC 必为等腰三角形,且∠ B 为顶角C.△ ABC 必为直角三角形,且∠ B=90°D.△ ABC 必为等腰直角三角形解析如图,因为 m,n 的长度相等,所以 | |=| |,即 | |=| |,𝐴𝐵+𝐵𝐶 𝐴𝐵‒𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐷所以 ABCD 是矩形,故△ ABC 是直角三角形,且∠ B=90°.答案 C6.若四边形 ABCD 为正方形,且边长为 2,则 | |= . 𝐴𝐵‒𝐶𝐵+𝐶𝐷3解析 | |=| +( )|=| |=| |=2.𝐴𝐵‒𝐶𝐵+𝐶𝐷𝐴𝐵𝐶𝐷‒𝐶𝐵 𝐴𝐵+𝐵𝐷𝐴𝐷答案 27.如图,已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点, =a, =b, =c,则 = . 𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐶 𝑂𝐷解析由已知得 ,𝐴𝐷=𝐵𝐶则 =a+c-b.𝑂𝐷=𝑂𝐴+𝐴𝐷=𝑂𝐴+𝐵𝐶=𝑂𝐴+𝑂𝐶‒𝑂𝐵答案 a+c-b8.如图,在正六边形 ABCDEF 中,与 相等的向量有 . 𝑂𝐴‒𝑂𝐶+𝐶𝐷① ;② ;③ ;𝐶𝐹 𝐴𝐷𝐵𝐸④ ;⑤ ;𝐷𝐸‒𝐹𝐸+𝐶𝐷𝐶𝐸+𝐵𝐶⑥ ;⑦ .𝐶𝐴‒𝐶𝐷𝐴𝐵+𝐴𝐸解析因为四边形 ACDF 是平行四边形,所以.𝑂A‒𝑂𝐶+𝐶𝐷=𝐶𝐴+𝐶𝐷=𝐶𝐹,𝐷𝐸‒𝐹𝐸+𝐶𝐷=𝐶𝐷+𝐷𝐸+𝐸𝐹=𝐶𝐹,𝐶𝐸+𝐵𝐶=𝐵𝐶+𝐶𝐸=𝐵𝐸,𝐶𝐴‒𝐶𝐷=𝐷𝐴因为四边形 ABDE 是平行四边形,所以 .𝐴𝐵+𝐴𝐸=𝐴𝐷综上知与 相等的向量是 ①④.𝑂𝐴‒𝑂𝐶+𝐶𝐷4答案 ①④9.已知向量 a,b 满足 |a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则 |a+b|的值为 . 解析如图,在平面内任取一点 A,作 =a, =b,以 AD,AB 为邻边作 ▱ABCD,𝐴𝐷𝐴𝐵则 =a+b, =a-b.𝐴𝐶 𝐵𝐷由题意,知 | |=| |=2,| |=1.𝐴𝐵𝐵𝐷 𝐴𝐷过点 B 作 BE⊥ AD 于点 E,过点 C 作 CF⊥ AB 交 AB 的延长线于点 F.因为 AB=BD=2,所以 AE=ED= AD= .12 12在 Rt△ ABE 中,cos∠ EAB= .𝐴𝐸𝐴𝐵=14易知∠ CBF=∠ EAB,所以 cos∠ CBF= .14所以 BF=BC·cos∠ CBF=1× .14=14所以 CF= .154所以 AF=AB+BF=2+ .14=94在 Rt△ AFC 中, AC= ,所以 |a+b|= .𝐴𝐹2+𝐶𝐹2=8116+1516=6 6答案 610. 导学号 682540665如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,且| |=| |=1, =0,cos∠ DAB= ,求 | |与 | |.𝐴𝐵𝐴𝐷 𝑂𝐴+𝑂𝐶=𝑂𝐵+𝑂𝐷12 𝐷𝐶+𝐵𝐶 𝐶𝐷+𝐵𝐶解 ∵ =0,𝑂𝐴+𝑂𝐶=𝑂𝐵+𝑂𝐷∴ .𝑂𝐴=𝐶𝑂,𝑂𝐵=𝐷𝑂∴ 四边形 ABCD 为平行四边形 .又 | |=| |=1,𝐴𝐵𝐴𝐷∴ ▱ABCD 为菱形 .∵ cos∠ DAB= ,∠ DAB∈(0,π),12∴ ∠ DAB= ,∴ △ ABD 为正三角形 .𝜋3∴| |=| |=| |=2| |= ,𝐷𝐶+𝐵𝐶 𝐴𝐵+𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴O 3| |=| |=| |=1.𝐶𝐷+𝐵𝐶 𝐵𝐷𝐴𝐵11.如图,在▱ ABCD 中, =a, =b.𝐴𝐵𝐴𝐷(1)当 a,b 满足什么条件时,a+b 与 a-b 所在的直线互相垂直?(2)a+b 与 a-b 有可能为相等向量吗?为什么?解(1) =a+b, =a-b.𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐷 𝐷𝐵=𝐴𝐵‒𝐴𝐷若 a+b 与 a-b 所在的直线互相垂直,则 AC⊥ BD.因为当 |a|=|b|时,四边形 ABCD 为菱形,此时 AC⊥ BD,故当 a,b 满足 |a|=|b|时,a+b 与 a-b 所在的直线互相垂直 .(2)不可能 .因为▱ ABCD 的两对角线不可能平行,所以 a+b 与 a-b 不可能为共线向量,更不可能为相等向量 .12.2.3 向量数乘运算及其几何意义课后篇巩固探究A组 基础巩固1. 等于( )13[12(2𝑎+8𝑏)-(4𝑎-2𝑏)]A.2a-b B.2b-aC.b-a D.a-b解析原式 = (2a+8b)- (4a-2b)= a+ b- a+ b=-a+2b=2b-a.16 13 13 43 43 23答案 B2.下列说法正确的个数为( )① 0·a=0;② 0·a=0;③a ·0=0;④a ·0=0.A.1 B.2 C.3 D.4解析本题考查数乘向量运算的理解,由于数乘向量的结果是一个向量而不是一个数,因此本题所给的四种说法中只有 ② 与 ③ 的结果是一个向量,因此选 B.答案 B3.在△ ABC中, D是线段 BC的中点,且 =4 ,则( )𝐴𝐵+𝐴𝐶𝐴𝐸A. =2 B. =4𝐴𝐷𝐴𝐸 𝐴𝐷𝐴𝐸C. =2 D. =4𝐴𝐷𝐸𝐴 𝐴𝐷𝐸𝐴解析由已知得 =2 ,所以 =2 .𝐴𝐵+𝐴𝐶𝐴𝐷 𝐴𝐷𝐴𝐸2答案 A4.已知 =a+5b, =-2a+8b, =3(a-b),则 ( )𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷A.A,C,D三点共线 B.B,C,D三点共线C.A,B,C三点共线 D.A,B,D三点共线解析因为 =(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,所以 .𝐵𝐷=𝐵𝐶+𝐶𝐷 𝐴𝐵=𝐵𝐷又 有公共点 B,𝐴𝐵与 𝐵𝐷所以 A,B,D三点共线 .答案 D5.在四边形 ABCD中, AB∥ CD,AB=3DC,E为 BC的中点,则 等于( )𝐴𝐸A.23𝐴𝐵+12𝐴𝐷B.12𝐴𝐵+23𝐴𝐷C.56𝐴𝐵+13𝐴𝐷D.13𝐴𝐵+56A𝐷解析 =- )=𝐵𝐶=𝐵𝐴+𝐴𝐷+𝐷𝐶23𝐴𝐵+𝐴𝐷,𝐴𝐸=𝐴𝐵+𝐵𝐸=𝐴𝐵+12𝐵𝐶=𝐴𝐵+12(𝐴𝐷‒23𝐴𝐵.23𝐴𝐵+12𝐴𝐷答案 A6.若 =5e, =-7e,且 | |=| |,则四边形 ABCD的形状是 . 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐷𝐵𝐶解析由已知得 =- ,因此 ,且 | |≠ | |,所以四边形 ABCD是梯形 .𝐴𝐵57𝐶𝐷 𝐴𝐵∥𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷3答案梯形7.已知向量 a,b是两个不共线的向量,且向量 ma-3b与 a+(2-m)b共线,则实数 m的值为 .解析因为向量 ma-3b与 a+(2-m)b共线且向量 a,b是两个不共线的向量,所以 m= ,解得 m=-1-32-𝑚或 m=3.答案 -1或 38. 导学号 68254069在△ ABC中,点 M为边 AB的中点,若 ,且𝑂𝑃∥𝑂𝑀=x +y (x≠0),则 = . 𝑂𝑃𝑂𝐴𝑂𝐵𝑦𝑥解析 ∵M 为 AB的中点, ∴ ).𝑂𝑀=12(𝑂𝐴+𝑂𝐵又 ,∴ 存在实数 λ ,使 =λ ,𝑂𝑃∥𝑂𝑀 𝑂𝑃𝑂𝑀∴ )= ,𝑂𝑃=𝜆2(𝑂𝐴+𝑂𝐵𝜆2𝑂𝐴+𝜆2𝑂𝐵∴x=y= ,𝜆2∴ =1.𝑦𝑥答案 19.如图,已知 D,E分别为△ ABC的边 AB,AC的中点,延长 CD到 M使 DM=CD,延长 BE至 N使 BE=EN,求证:M,A,N三点共线 .证明 ∵D 为 MC的中点,且 D为 AB的中点,∴ .𝐴𝐵=𝐴𝑀+𝐴𝐶∴ .𝐴𝑀=𝐴𝐵‒𝐴𝐶=𝐶𝐵同理可证明 .𝐴𝑁=𝐴𝐶‒𝐴𝐵=𝐵𝐶4∴ =- .𝐴𝑀𝐴𝑁∴ 共线, 又 有公共点 A.𝐴𝑀,𝐴𝑁 𝐴𝑀与 𝐴𝑁∴M ,A,N三点共线 .10.(1)已知 a=3i+2j,b=2i-j,求 +(2b-a);(13𝑎-𝑏)‒(𝑎-23𝑏)(2)已知向量 a,b,且 5x+2y=a,3x-y=b,求 x,y.解(1)原式 = a-b-a+ b+2b-a= a+ b=- a+ b.13 23 (13-1-1) (-1+23+2) 53 53∵ a=3i+2j,b=2i-j,∴ 原式 =- (3i+2j)+ (2i-j)= i+ j=- i-5j.53 53 (-5+103) (-103-53) 53(2)将 3x-y=b两边同乘 2,得 6x-2y=2b.与 5x+2y=a相加,得 11x=a+2b,∴ x= a+ b.111211∴ y=3x-b=3 -b= a- b.(111𝑎+211b) 311511B组 能力提升1.如图, AB是☉ O的直径,点 C,D是半圆弧 AB的两个三等分点, =a, =b,则 =( )𝐴𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐷A.a- b12B. a-b12C.a+ b12D. a+b125解析由已知易得四边形 AODC为菱形,所以 a+b.𝐴𝐷=𝐴𝑂+𝐴𝐶=12𝐴𝐵+𝐴𝐶=12答案 D2.已知点 P是△ ABC内的一点, ),则△ ABC的面积与△ PBC的面积之比为( )𝐴𝑃=13(𝐴𝐵+𝐴𝐶A.2 B.3 C. D.632解析设 BC的中点为 D,则 =2 .𝐴𝐵+𝐴𝐶𝐴𝐷∵ )= ,𝐴𝑃=13(𝐴𝐵+𝐴𝐶23𝐴𝐷如图,过点 A作 AE⊥ BC,交 BC于点 E,过点 P作 PF⊥ BC,交 BC于点 F,则 .|𝑃𝐹||𝐴𝐸|=|𝑃𝐷||𝐴𝐷|=13∴ =3.𝑆△ 𝐴𝐵𝐶𝑆△𝑃𝐵𝐶=12|𝐵𝐶|·|𝐴𝐸|12|𝐵𝐶|·|𝑃𝐹|答案 B3.已知 ,设 =λ ,则实数 λ 的值为 . 𝑂𝑀=23𝑂𝐴+13𝑂𝐵𝐴𝑀𝐴𝐵解析因为 ,所以 ,于是 ,即𝑂𝑀=23𝑂𝐴+13𝑂𝐵 23𝑂𝑀+13𝑂𝑀=23𝑂𝐴+13𝑂𝐵 23𝑂𝑀‒23𝑂𝐴=13𝑂𝐵‒13𝑂𝑀,所以 ,所以 ,故 λ= .23𝐴𝑀=13𝑀𝐵 𝐴𝑀=12𝑀𝐵 𝐴𝑀=13𝐴𝐵 13答案1364.在平行四边形 ABCD中, ,若 =λ +μ ,其中 λ ,μ ∈R,则 λ+μ= .𝐷𝐸=12𝐸𝐶,𝐵𝐹=𝐹𝐶𝐴𝐶𝐴𝐸𝐴𝐹解析由平面向量的加法运算,有 .𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐷因为 =λ +μ =λ ( )+μ ( )=λ +μ𝐴𝐶𝐴𝐸𝐴𝐹 𝐴𝐷+𝐷𝐸 𝐴𝐵+𝐵𝐹 (𝐴𝐷+13𝐴𝐵) (𝐴𝐵+12𝐴𝐷)= .(𝜆3+𝜇)𝐴𝐵+(𝜆+𝜇2)𝐴𝐷所以 ,𝐴𝐵+𝐴𝐷=(𝜆3+𝜇)𝐴𝐵+(𝜆+𝜇2)𝐴𝐷即 解得 故 λ+μ= .{𝜆3+𝜇=1,𝜆+𝜇2=1, {𝜆=35,𝜇=45, 75答案755.在△ ABC中,点 P是 AB上一点,且 ,Q是 BC的中点, AQ与 CP的交点为 M,且 =t𝐶𝑃=23𝐶𝐴+13𝐶𝐵 𝐶𝑀,求 t的值 .𝐶𝑃解 ∵ ,𝐶𝑃=23𝐶𝐴+13𝐶𝐵∴ 3 =2 ,即 2 -2 .𝐶𝑃𝐶𝐴+𝐶𝐵 𝐶𝑃𝐶𝐴=𝐶𝐵‒𝐶𝑃∴ 2 ,即 P为 AB的一个三等分点(靠近点 A),如图所示 .𝐴𝑃=𝑃𝐵∵A ,M,Q三点共线,∴ 设 =x +(1-x) +(x-1) ,𝐶𝑀𝐶𝑄𝐶𝐴=𝑥2𝐶𝐵 𝐴𝐶又 ,∴ .𝐶𝐵=𝐴𝐵‒𝐴𝐶𝐶𝑀=𝑥2𝐴𝐵+(𝑥2-1)𝐴𝐶7又 ,且 =t ,𝐶𝑃=𝐴𝑃‒𝐴𝐶=13𝐴𝐵‒𝐴𝐶𝐶𝑀𝐶𝑃∴ =t .𝑥2𝐴𝐵+(𝑥2-1)𝐴𝐶(13𝐴𝐵-𝐴𝐶)∴ 解得 t= .{𝑥2=𝑡3,𝑥2-1=-𝑡, 346. 导学号 68254070已知△ OBC中,点 A是线段 BC的中点,点 D是线段 OB的一个三等分点(靠近点 B),设 =a, =b.𝐴𝐵𝐴𝑂(1)用向量 a与 b表示向量 ;𝑂𝐶(2)若 ,判断 C,D,E是否共线,并说明理由 .𝑂𝐸=35𝑂𝐴解(1) ∵ =a, =b,点 A是 BC的中点,𝐴𝐵𝐴𝑂∴ =-a.𝐴𝐶∴ =-a-b.𝑂𝐶=𝑂𝐴+𝐴𝐶(2)假设存在实数 λ ,使 =λ .𝐶𝐸𝐶𝐷∵ =a+b+ (-b)=a+ b,𝐶𝐸=𝐶𝑂+𝑂𝐸35 25𝐶𝐷=𝐶𝐵+𝐵𝐷=𝐶𝐵+13B𝑂= )𝐶𝐵+13(𝐵𝐴+𝐴𝑂=2a+ (-a+b)= a+ b,13 53 13∴ a+ b=λ ,25 (53𝑎+13𝑏)8∴ 此方程组无解 ,{53𝜆=1,13𝜆=25,∴ 不存在实数 λ ,满足 =λ .∴C ,D,E三点不共线 .𝐶𝐸𝐶𝐷12.3.1 平面向量基本定理课后篇巩固探究A组 基础巩固1.在正方形 ABCD中, 的夹角等于( )𝐴𝐶与 𝐶𝐷A.45° B.90° C.120° D.135°解析如图,将 平移到 ,则 的夹角即为 的夹角,且夹角为 135°.𝐴𝐶 𝐶𝐸𝐶𝐸与 𝐶𝐷 𝐴𝐶与 𝐶𝐷答案 D2.设向量 e1与 e2不共线,若 3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数 x,y的值分别为( )A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4解析因为向量 e1与 e2不共线,所以 {3𝑥=4𝑦-7,10-𝑦=2𝑥,解得 {𝑥=3,y=4.答案 D3.如图,e 1,e2为互相垂直的单位向量,向量 a+b+c可表示为( )2A.3e1-2e2 B.-3e1-3e2C.3e1+2e2 D.2e1+3e2答案 C4.若点 D在△ ABC的边 BC上,且 =4 =r +s ,则 3r+s的值为( )𝐶𝐷𝐷𝐵𝐴𝐵𝐴𝐶A. B. C. D.165 125 85 45解析 ∵ =4 =r +s ,𝐶𝐷𝐷𝐵𝐴𝐵𝐴𝐶∴ )=r +s ,𝐶𝐷=45𝐶𝐵=45(𝐴𝐵‒𝐴𝐶𝐴𝐵𝐴𝐶∴r= ,s=- ,∴ 3r+s=3× .45 45 45‒45=85答案 C5.如图,平面内的两条相交直线 OP1和 OP2将该平面分割成四个部分 Ⅰ ,Ⅱ ,Ⅲ ,Ⅳ (不包含边界) .设=m +n ,且点 P落在第 Ⅲ 部分,则实数 m,n满足( )𝑂𝑃𝑂𝑃1 𝑂𝑃2A.m0,n0 B.m0,n0 D.m0;𝑂𝐴与 𝑂𝑃1方向相反 ,则 n0.𝑂𝐵与 𝑂𝑃2答案 B6.已知 a=xe1+2e2与 b=3e1+ye2共线,且 e1,e2不共线,则 xy的值为 . 解析由已知得,存在 λ ∈R,使得 a=λ b,即 xe1+2e2=3λ e1+λy e2,所以 故 xy=3λ · =6.{𝑥=3𝜆,2=𝜆𝑦, 2𝜆答案 67.如图, C,D是△ AOB中边 AB的三等分点,设 =e1, =e2,以 e1,e2为基底来表示 = 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶, = . 𝑂𝐷解析𝑂𝐶=𝑂𝐴+𝐴𝐶=𝑂𝐴+13𝐴𝐵=e1+ (e2-e1)= e1+ e2,13 23 13𝑂𝐷=𝑂𝐶+𝐶𝐷=𝑂𝐶+13𝐴𝐵= (e2-e1)= e1+ e2.(23𝑒1+13𝑒2)+13 13 23答案 e1+ e2 e1+ e223 13 13 2348.已知非零向量 a,b,c满足 a+b+c=0,向量 a,b的夹角为 120°,且 |b|=2|a|,则向量 a与 c的夹角为 . 解析由题意可画出图形,在△ OAB中,∠ OAB=60°,又 |b|=2|a|,∴ ∠ ABO=30°.∴ ∠ BOA=90°,a与 c的夹角为 180°-∠ BOA=90°.答案 90°9.设 e1,e2是两个不共线的非零向量,且 a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b 可以作为一组基底;(2)以 a,b为基底,求向量 c=3e1-e2的分解式 .(1)证明假设 a,b共线,则 a=λ b(λ ∈R),则 e1-2e2=λ (e1+3e2).由 e1,e2不共线,得{ 𝜆=1,3𝜆=-2,即 {𝜆=1,𝜆=-23.所以 λ 不存在,故 a,b不共线,即 a,b可以作为一组基底 .(2)解设 c=ma+nb(m,n∈R),则 3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以 {3=𝑚+𝑛,-1=-2𝑚+3𝑛,解得 {𝑚=2,𝑛=1.故 c=2a+b.10.5导学号 68254073如图,在△ ABC中, D,F分别是 BC,AC的中点, =a, =b.𝐴𝐸=23𝐴𝐷,𝐴𝐵𝐴𝐶(1)用 a,b表示 ;𝐴𝐷,𝐴𝐸,𝐴𝐹,𝐵𝐸,𝐵𝐹(2)求证: B,E,F三点共线 .(1)解如图,延长 AD到点 G,使 =2 ,连接 BG,CG,得到平行四边形 ABGC,则𝐴𝐺𝐴𝐷=a+b, (a+b), (a+b),𝐴𝐺𝐴𝐷=12𝐴𝐺=12 𝐴𝐸=23𝐴𝐷=13b,𝐴𝐹=12𝐴𝐶=12(a+b)-a= (b-2a),𝐵𝐸=𝐴𝐸‒𝐴𝐵=13 13b-a= (b-2a).𝐵𝐹=𝐴𝐹‒𝐴𝐵=12 12(2)证明由(1)知, ,∴ 共线 .𝐵𝐸=23𝐵𝐹𝐵𝐸,𝐵𝐹又 有公共点 B,𝐵𝐸,𝐵𝐹∴B ,E,F三点共线 .B组 能力提升1.若 O是平面内一定点, A,B,C是平面内不共线的三点,若点 P满足+λ (λ ∈(0, +∞ )),则点 P的轨迹一定通过 △ ABC的( )𝑂𝑃=𝑂𝐵+𝑂𝐶2 𝐴𝑃A.外心 B.内心C.重心 D.垂心6解析设线段 BC的中点为 D,则有 ),因此由已知得 +λ ,即 =λ ,于𝑂𝐷=12(𝑂𝐵+𝑂𝐶 𝑂𝑃=𝑂𝐷𝐴𝑃𝑂𝑃‒𝑂𝐷𝐴𝑃是 =λ ,则 ,因此 P点在直线 AD上,又 AD是△ ABC的 BC边上的中线,因此点 P的轨迹一𝐷𝑃𝐴𝑃𝐷𝑃∥𝐴𝑃定经过三角形 ABC的重心 .答案 C2.设 D,E分别是△ ABC的边 AB,BC上的点, AD= AB,BE= BC,若 =λ 1 +λ 2 (λ 1,λ 2为实数),12 23 𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐶则 λ 1+λ 2的值为 . 解析如图,由题意知, D为 AB的中点, ,𝐵𝐸=23𝐵𝐶∴𝐷𝐸=𝐷𝐵+𝐵𝐸=12𝐴𝐵+23𝐵𝐶= )=- .12𝐴𝐵+23(𝐴𝐶‒A𝐵 16𝐴𝐵+23𝐴𝐶∴λ 1=- ,λ 2= .∴λ 1+λ 2=- .16 23 16+23=12答案123.如图,平面内有三个向量 ,其中 的夹角为 120°, 的夹角为 30°,且 | |=|𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐶 𝑂𝐴与 𝑂𝐵 𝑂𝐴与 𝑂𝐶 𝑂𝐴|=1,| |=2 ,若 =λ +μ (λ ,μ ∈R),则 λ+μ 的值等于 . 𝑂𝐵 𝑂𝐶 3 𝑂𝐶𝑂𝐴𝑂𝐵解析如图,以 OA,OB所在射线为邻边, OC为对角线作平行四边形 ODCE,则 .𝑂𝐶=𝑂𝐷+𝑂𝐸在 Rt△ OCD中,因为 | |=2 ,∠ COD=30°,∠ OCD=90°,所以 | |=4,| |=2,𝑂𝐶 3 𝑂𝐷 𝐶𝐷7故 =4 =2 ,𝑂𝐷𝑂𝐴,𝑂𝐸𝑂𝐵即 λ= 4,μ= 2,所以 λ+μ= 6.答案 64.如图,在△ ABC中,点 M是 BC的中点,点 N在边 AC上,且 AN=2NC,AM与 BN交于点 P,求 AP∶PM 的值 .解设 =e1, =e2,𝐵𝑀𝐶𝑁则 =-3e2-e1, =2e1+e2.𝐴𝑀=𝐴𝐶+𝐶𝑀 𝐵𝑁=𝐵𝐶+𝐶𝑁∵A ,P,M和 B,P,N分别共线,∴ 存在实数 λ ,μ ,使 =λ =-λ e1-3λ e2,𝐴𝑃𝐴𝑀=μ =2μ e1+μ e2,𝐵𝑃𝐵𝑁∴ =(λ+ 2μ )e1+(3λ+μ )e2.𝐵𝐴=𝐵𝑃‒𝐴𝑃又 =2e1+3e2,𝐵𝐴=𝐵𝐶+𝐶𝐴∴{𝜆+2𝜇=2,3𝜆+𝜇=3,解得 {𝜆=45,𝜇=35.∴ ,即 AP∶PM= 4∶ 1.𝐴𝑃=45𝐴𝑀5. 导学号 68254074如图,已知△ OAB,若正实数 x,y满足 x+y1,且有 =x +y .𝑂𝑃𝑂𝐴𝑂𝐵证明:点 P必在△ OAB内部 .8证明由题意可设 x+y=t,t∈(0,1),则 =1.设 P'为平面内一点,且 ,则𝑥𝑡+𝑦𝑡 𝑂𝑃'=𝑥𝑡𝑂𝐴+𝑦𝑡𝑂𝐵)= ,所以点 P'在直线 AB上 .又 ∈(0,1),所𝐴𝑃'=𝑂𝑃'‒𝑂𝐴=(𝑥𝑡-1)𝑂𝐴+y𝑡𝑂𝐵=𝑦𝑡(𝑂𝐵‒𝑂𝐴𝑦𝑡𝐴𝐵 𝑦𝑡以点 P'在线段 AB上(异于端点) .因为 =x +y =t ,t∈(0,1),𝑂𝑃𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝑃'即点 P在线段 OP'上(异于端点),所以点 P必在△ OAB内部 .