1、12.1 平面向量的实际背景及基本概念课后篇巩固探究1.有下列物理量: 质量; 速度; 力; 加速度; 路程; 功 .其中,不是向量的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析因为速度、力和加速度既有大小,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是 3.答案 C2.正 n边形有 n条边,它们对应的向量依次为 a1,a2,a3,an,则这 n个向量( )A.都相等 B.都共线C.都不共线 D.模都相等解析因为是正 n边形,所以 n条边的边长都相等,即这 n个向量的模都相等 .答案 D3.如图所示,在正三角形 ABC中, P,Q,R分别是
2、 AB,BC,AC的中点,则与向量 相等的向量是 ( )A.与 B.与 2C.与 RD.与 解析向量相等要求模相等,方向相同,因此 都是和 相等的向量 .与 答案 B4.若 | |=| |且 ,则四边形 ABCD的形状为 ( )=A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形解析由 知 AB=CD且 AB CD,即四边形 ABCD为平行四边形 .又因为 | |=| |,所以四边形= ABCD为菱形 .答案 C5.如图,等腰梯形 ABCD中,对角线 AC与 BD交于点 P,点 E,F分别在两腰 AD,BC上, EF过点 P,且EF AB,则下列等式成立的是( )A.=B.=C.=D.=解析根据相等向
3、量的定义,A 中, 的方向不同,故 A错误;B 中, 的方向不同,故 B错误;C与 与 中, 的方向相反,故 C错误;D 中, 的方向相同,且长度都等于线段 EF长度的一半,故与 与 D正确 .答案 D36.如图,四边形 ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形, HE与 CG相交于点 M,则下列关系不一定成立的是( )A.| |=| |B. 共线与 C. 共线与 D. 共线与 解析依题意知,直线 BD与 EH不一定平行,因此 不一定与 共线,C 项错误 . 答案 C7.给出下列四个条件: a=b;| a|=|b|; a与 b方向相反; | a|=0或 |b|=0,其中能使 ab 成立的条件
4、是 .(填序号) 解析 中,由 |a|=|b|不能确定 a与 b的方向,所以不能使 ab .答案 8.如图,在 ABC中, ACB的平分线 CD交 AB于点 D.若 的模为 2, 的模为 3, 的模为 1,则 的模为 . 解析如图,延长 CD,过点 A作 BC的平行线交 CD的延长线于点 E.因为 ACD= BCD= AED,4所以 | |=| |. 因为 ADE BDC,所以 ,|=|=|故 | |= .32答案329.如图,四边形 ABCD和 ABDE都是边长为 1的菱形,已知下列说法: 都是单位向量;, ;, 与 相等的向量有 3个; 与 共线的向量有 3个; 与向量 大小相等、方向相反
5、的向量为 . ,其中正确的是 .(填序号) 解析 由两菱形的边长都为 1,故 正确; 正确; 与 相等的向量是 ,故 错误; 与 共 , 线的向量是 ,故 正确 ; 正确 .,答案 10. 导学号 68254062如图所示,4 3的矩形(每个小方格都是单位正方形),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与 相等的向量共有几个 ?5(2)与 平行且模为 的向量共有几个 ? 2(3)与 方向相同且模为 3 的向量共有几个? 2解(1)与向量 相等的向量共有 5个(不包括 本身) . (2)与向量 平行且模为 的向量共有 24个 . 2(3)与向量 方向相同且模为 3 的向量共有 2个
6、 . 211.如图所示的方格纸由若干个边长为 1的小正方形组成,方格纸中有两个定点 A,B,点 C为小正方形的顶点,且 | |= . 5(1)画出所有的向量 ;(2)求 | |的最大值与最小值 .解(1)画出所有的向量 如图所示 .(2)由(1)所画的图知, 当点 C位于点 C1或 C2时, | |取得最小值 ; 12+22=5 当点 C位于点 C5或 C6时, | |取得最大值 . 42+52=41| |的最大值为 ,最小值为 . 41 512.2.1 向量加法运算及其几何意义课后篇巩固探究A组 基础巩固1.在四边形 ABCD中, ,则四边形 ABCD是 ( )+=A.梯形 B.矩形C.正方
7、形 D.平行四边形解析由平行四边形法则可得,四边形 ABCD是以 AB,AD为邻边的平行四边形 .答案 D2.如图所示,四边形 ABCD是梯形, AD BC,AC与 BD交于点 O,则 =( )+A. B. C. D. 解析 .+=+=答案 B3.已知向量 ab,且 |a|b|0,则向量 a+b的方向 ( )A.与向量 a的方向相同 B.与向量 a的方向相反C.与向量 b的方向相同 D.不确定2解析若 a和 b方向相同,则它们的和的方向应该与 a(或 b)的方向相同;若它们的方向相反,而 a的模大于 b的模,则它们的和的方向与 a的方向相同 .答案 A4.如图,在正六边形 ABCDEF中, 等
8、于( )+A.0B.C.D.解析 ,= =0.+=+答案 A5.向量( )+( )+ 化简后等于( )+A. B. C. D. 解析( )+( )+.=+=+=+=+=答案 C6.在矩形 ABCD中,若 AB=2,BC=1,则 | |= . +解析因为 ABCD是矩形,所以对角线 AC= ,于是 | |=| |= .22+12=5 + 5答案 57.如图,在平行四边形 ABCD中,写出下列各式的结果:3(1) = ; +(2) = ; +(3) = ; +(4) = . +解析(1)由平行四边形法则可知为 ;(2) ;+=A+=(3) ;+=+=(4) =0.+=+=+答案(1) (2) (3
9、) (4)0 8.如图所示,若 P为 ABC的外心,且 ,则 ACB= . +=解析因为 P为 ABC的外心,所以 PA=PB=PC,因为 ,由向量的线性运算可得四边形+=PACB是菱形,且 PAC=60,所以 ACB=120.答案 1209.是否存在 a,b,使 |a+b|=|a|=|b|?请画出图形说明 .解存在,如图, =a, =b,OA=OB=OC, AOB=120, AOC= COB=60.10.4如图所示, P,Q是 ABC的边 BC上两点,且 BP=QC.求证: .+=+证明 ,=+,=+ .+=+ 大小相等 ,方向相反,与 =0.+故 +0= .+=+B组 能力提升1.已知四边
10、形 ABCD为菱形,则下列等式中成立的是 ( )A. B.+= +=C. D.+=+=解析因为四边形 ABCD是菱形,所以也是平行四边形,于是 ,故 C项正确 .+=答案 C2.设 a=( )+( ),b是任一非零向量,则在下列结论中:+ ab; a+b=a; a+b=b;| a+b|a|+|b|;| a+b|=|a|+|b|.正确结论的序号是( )A. B. C. D.解析 a=( )+( )= =0,+ D+又 b为任一非零向量, 均正确 .答案 D3.5如图,已知电线 AO与天花板的夹角为 60,电线 AO所受拉力 |F1|=24 N.绳 BO与墙壁垂直,所受拉力 |F2|=12 N,则
11、 F1与 F2的合力大小为 ,方向为 . 解析以 为邻边作平行四边形 BOAC,则 F1+F2=F,即 ,则 OAC=60,+=| |=24,| |=| |=12, ACO=90,| |=12 . 3 F1与 F2的合力大小为 12 N,方向为竖直向上 .3答案 12 N 竖直向上34.如图,在 ABC中, O为重心, D,E,F分别是 BC,AC,AB的中点,化简下列三式:(1) ;+(2) ;+(3) .+解(1) .+=+=(2) =( )+ .+=+=(3) .+=+=+=65.一艘船在水中航行,水流速度与船在静水中航行的速度均为 5 km/h.如果此船实际向南偏西30方向行驶 2 k
12、m,然后又向西行驶 2 km,你知道此船在整个过程中的位移吗?解如图,用 表示船的第一次位移 ,用 表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知 ,=+所以 可表示两次位移的和位移 .由题意知,在 Rt ABC中, BAC=30,则 BC= AC=1,AB= .12 3在等腰三角形 ACD中, AC=CD=2,所以 D= DAC= ACB=30,12所以 BAD=60,AD=2AB=2 ,3所以两次位移的和位移的方向是南偏西 60,位移的大小为 2 km.36.如图所示,一架飞机从 A地按北偏东 35的方向飞行 800 km到达 B地,然后又从 B地按南偏东55的方向飞行 600 km到达
13、C地,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据:sin 37=0.6).解设 分别表示飞机从 A地按北偏东 35的方向飞行 800 km,从 B地按南偏东 55的方向飞,行 600 km,则飞机飞行的路程指的是 | |+| |;两次位移的和指的是 .依题意,有 | +=|+| |=800+600=1 400(km), ABC=35+55=90.在 Rt ABC中, | |= =1 000(km),其中 BAC=37,所以方向为北偏东 35+37=72.从|2+|2=8002+6002而飞机飞行的路程是 1 400 km,两次飞行的位移和的大小为 1 000 km,方向为北偏东 72.12.
14、2.2 向量减法运算及其几何意义课后篇巩固探究1.若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )A. B.=+=C. =- D. =-+ 答案 B2.已知 ABCDEF 是一个正六边形, O 是它的中心,其中 =a, =b, =c,则 =( ) A.a+b B.b-aC.c-b D.b-c解析 =b-c.=答案 D3.下列不能化简为 的是( )A. B. +( )+ +C.( )+( ) D.+ +2解析 D 项中, ,故选 D.+=答案 D4.如图,点 D,E,F 分别是 ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则 ( )A. =0+B. =0+C. =0+D. =0解析因为
15、 =0,所以 A 项正确 .+=+答案 A5.平面上有三点 A,B,C,设 m= ,n= ,若 m,n 的长度恰好相等,则有( )+ A.A,B,C 三点必在同一条直线上B. ABC 必为等腰三角形,且 B 为顶角C. ABC 必为直角三角形,且 B=90D. ABC 必为等腰直角三角形解析如图,因为 m,n 的长度相等,所以 | |=| |,即 | |=| |,+ 所以 ABCD 是矩形,故 ABC 是直角三角形,且 B=90.答案 C6.若四边形 ABCD 为正方形,且边长为 2,则 | |= . +3解析 | |=| +( )|=| |=| |=2.+ +答案 27.如图,已知 O 为平
16、行四边形 ABCD 内一点, =a, =b, =c,则 = . 解析由已知得 ,=则 =a+c-b.=+=+=+答案 a+c-b8.如图,在正六边形 ABCDEF 中,与 相等的向量有 . + ; ; ; ; ;+ ; .+解析因为四边形 ACDF 是平行四边形,所以.A+=+=,+=+=,+=+=,=因为四边形 ABDE 是平行四边形,所以 .+=综上知与 相等的向量是 .+4答案 9.已知向量 a,b 满足 |a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则 |a+b|的值为 . 解析如图,在平面内任取一点 A,作 =a, =b,以 AD,AB 为邻边作 ABCD,则 =a+b, =a-b. 由题
17、意,知 | |=| |=2,| |=1. 过点 B 作 BE AD 于点 E,过点 C 作 CF AB 交 AB 的延长线于点 F.因为 AB=BD=2,所以 AE=ED= AD= .12 12在 Rt ABE 中,cos EAB= .=14易知 CBF= EAB,所以 cos CBF= .14所以 BF=BCcos CBF=1 .14=14所以 CF= .154所以 AF=AB+BF=2+ .14=94在 Rt AFC 中, AC= ,所以 |a+b|= .2+2=8116+1516=6 6答案 610. 导学号 682540665如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O
18、,且| |=| |=1, =0,cos DAB= ,求 | |与 | |. +=+12 + +解 =0,+=+ .=,= 四边形 ABCD 为平行四边形 .又 | |=| |=1, ABCD 为菱形 . cos DAB= , DAB(0,),12 DAB= , ABD 为正三角形 .3| |=| |=| |=2| |= ,+ + O 3| |=| |=| |=1.+ 11.如图,在 ABCD 中, =a, =b.(1)当 a,b 满足什么条件时,a+b 与 a-b 所在的直线互相垂直?(2)a+b 与 a-b 有可能为相等向量吗?为什么?解(1) =a+b, =a-b.=+ =若 a+b 与
19、a-b 所在的直线互相垂直,则 AC BD.因为当 |a|=|b|时,四边形 ABCD 为菱形,此时 AC BD,故当 a,b 满足 |a|=|b|时,a+b 与 a-b 所在的直线互相垂直 .(2)不可能 .因为 ABCD 的两对角线不可能平行,所以 a+b 与 a-b 不可能为共线向量,更不可能为相等向量 .12.2.3 向量数乘运算及其几何意义课后篇巩固探究A组 基础巩固1. 等于( )1312(2+8)-(4-2)A.2a-b B.2b-aC.b-a D.a-b解析原式 = (2a+8b)- (4a-2b)= a+ b- a+ b=-a+2b=2b-a.16 13 13 43 43 2
20、3答案 B2.下列说法正确的个数为( ) 0a=0; 0a=0;a 0=0;a 0=0.A.1 B.2 C.3 D.4解析本题考查数乘向量运算的理解,由于数乘向量的结果是一个向量而不是一个数,因此本题所给的四种说法中只有 与 的结果是一个向量,因此选 B.答案 B3.在 ABC中, D是线段 BC的中点,且 =4 ,则( )+A. =2 B. =4 C. =2 D. =4 解析由已知得 =2 ,所以 =2 .+ 2答案 A4.已知 =a+5b, =-2a+8b, =3(a-b),则 ( ) A.A,C,D三点共线 B.B,C,D三点共线C.A,B,C三点共线 D.A,B,D三点共线解析因为 =
21、(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,所以 .=+ =又 有公共点 B,与 所以 A,B,D三点共线 .答案 D5.在四边形 ABCD中, AB CD,AB=3DC,E为 BC的中点,则 等于( )A.23+12B.12+23C.56+13D.13+56A解析 =- )=+23+,=+=+12=+12(23.23+12答案 A6.若 =5e, =-7e,且 | |=| |,则四边形 ABCD的形状是 . 解析由已知得 =- ,因此 ,且 | | | |,所以四边形 ABCD是梯形 .57 3答案梯形7.已知向量 a,b是两个不共线的向量,且向量 ma-3b与 a+(2-m)b共线,则实数
22、m的值为 .解析因为向量 ma-3b与 a+(2-m)b共线且向量 a,b是两个不共线的向量,所以 m= ,解得 m=-1-32-或 m=3.答案 -1或 38. 导学号 68254069在 ABC中,点 M为边 AB的中点,若 ,且=x +y (x0),则 = . 解析 M 为 AB的中点, ).=12(+又 , 存在实数 ,使 = , )= ,=2(+2+2x=y= ,2 =1.答案 19.如图,已知 D,E分别为 ABC的边 AB,AC的中点,延长 CD到 M使 DM=CD,延长 BE至 N使 BE=EN,求证:M,A,N三点共线 .证明 D 为 MC的中点,且 D为 AB的中点, .=
23、+ .=同理可证明 .=4 =- . 共线, 又 有公共点 A., 与 M ,A,N三点共线 .10.(1)已知 a=3i+2j,b=2i-j,求 +(2b-a);(13-)(-23)(2)已知向量 a,b,且 5x+2y=a,3x-y=b,求 x,y.解(1)原式 = a-b-a+ b+2b-a= a+ b=- a+ b.13 23 (13-1-1) (-1+23+2) 53 53 a=3i+2j,b=2i-j, 原式 =- (3i+2j)+ (2i-j)= i+ j=- i-5j.53 53 (-5+103) (-103-53) 53(2)将 3x-y=b两边同乘 2,得 6x-2y=2b
24、.与 5x+2y=a相加,得 11x=a+2b, x= a+ b.111211 y=3x-b=3 -b= a- b.(111+211b) 311511B组 能力提升1.如图, AB是 O的直径,点 C,D是半圆弧 AB的两个三等分点, =a, =b,则 =( ) A.a- b12B. a-b12C.a+ b12D. a+b125解析由已知易得四边形 AODC为菱形,所以 a+b.=+=12+=12答案 D2.已知点 P是 ABC内的一点, ),则 ABC的面积与 PBC的面积之比为( )=13(+A.2 B.3 C. D.632解析设 BC的中点为 D,则 =2 .+ )= ,=13(+23如
25、图,过点 A作 AE BC,交 BC于点 E,过点 P作 PF BC,交 BC于点 F,则 .|=|=13 =3. =12|12|答案 B3.已知 ,设 = ,则实数 的值为 . =23+13解析因为 ,所以 ,于是 ,即=23+13 23+13=23+13 2323=1313,所以 ,所以 ,故 = .23=13 =12 =13 13答案1364.在平行四边形 ABCD中, ,若 = + ,其中 , R,则 += .=12,=解析由平面向量的加法运算,有 .=+因为 = + = ( )+ ( )= + + + (+13) (+12)= .(3+)+(+2)所以 ,+=(3+)+(+2)即 解
26、得 故 += .3+=1,+2=1, =35,=45, 75答案755.在 ABC中,点 P是 AB上一点,且 ,Q是 BC的中点, AQ与 CP的交点为 M,且 =t=23+13 ,求 t的值 .解 ,=23+13 3 =2 ,即 2 -2 .+ = 2 ,即 P为 AB的一个三等分点(靠近点 A),如图所示 .=A ,M,Q三点共线, 设 =x +(1-x) +(x-1) ,=2 又 , .=2+(2-1)7又 ,且 =t ,=13 =t .2+(2-1)(13-) 解得 t= .2=3,2-1=-, 346. 导学号 68254070已知 OBC中,点 A是线段 BC的中点,点 D是线段
27、 OB的一个三等分点(靠近点 B),设 =a, =b.(1)用向量 a与 b表示向量 ;(2)若 ,判断 C,D,E是否共线,并说明理由 .=35解(1) =a, =b,点 A是 BC的中点, =-a. =-a-b.=+(2)假设存在实数 ,使 = . =a+b+ (-b)=a+ b,=+35 25=+=+13B= )+13(+=2a+ (-a+b)= a+ b,13 53 13 a+ b= ,25 (53+13)8 此方程组无解 ,53=1,13=25, 不存在实数 ,满足 = .C ,D,E三点不共线 .12.3.1 平面向量基本定理课后篇巩固探究A组 基础巩固1.在正方形 ABCD中,
28、的夹角等于( )与 A.45 B.90 C.120 D.135解析如图,将 平移到 ,则 的夹角即为 的夹角,且夹角为 135. 与 与 答案 D2.设向量 e1与 e2不共线,若 3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数 x,y的值分别为( )A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4解析因为向量 e1与 e2不共线,所以 3=4-7,10-=2,解得 =3,y=4.答案 D3.如图,e 1,e2为互相垂直的单位向量,向量 a+b+c可表示为( )2A.3e1-2e2 B.-3e1-3e2C.3e1+2e2 D.2e1+3e2答案 C4.若点 D在 ABC的边 BC
29、上,且 =4 =r +s ,则 3r+s的值为( )A. B. C. D.165 125 85 45解析 =4 =r +s , )=r +s ,=45=45(r= ,s=- , 3r+s=3 .45 45 4545=85答案 C5.如图,平面内的两条相交直线 OP1和 OP2将该平面分割成四个部分 , , , (不包含边界) .设=m +n ,且点 P落在第 部分,则实数 m,n满足( )1 2A.m0,n0 B.m0,n0 D.m0;与 1方向相反 ,则 n0.与 2答案 B6.已知 a=xe1+2e2与 b=3e1+ye2共线,且 e1,e2不共线,则 xy的值为 . 解析由已知得,存在
30、R,使得 a= b,即 xe1+2e2=3 e1+y e2,所以 故 xy=3 =6.=3,2=, 2答案 67.如图, C,D是 AOB中边 AB的三等分点,设 =e1, =e2,以 e1,e2为基底来表示 = , = . 解析=+=+13=e1+ (e2-e1)= e1+ e2,13 23 13=+=+13= (e2-e1)= e1+ e2.(231+132)+13 13 23答案 e1+ e2 e1+ e223 13 13 2348.已知非零向量 a,b,c满足 a+b+c=0,向量 a,b的夹角为 120,且 |b|=2|a|,则向量 a与 c的夹角为 . 解析由题意可画出图形,在 O
31、AB中, OAB=60,又 |b|=2|a|, ABO=30. BOA=90,a与 c的夹角为 180- BOA=90.答案 909.设 e1,e2是两个不共线的非零向量,且 a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b 可以作为一组基底;(2)以 a,b为基底,求向量 c=3e1-e2的分解式 .(1)证明假设 a,b共线,则 a= b( R),则 e1-2e2= (e1+3e2).由 e1,e2不共线,得 =1,3=-2,即 =1,=-23.所以 不存在,故 a,b不共线,即 a,b可以作为一组基底 .(2)解设 c=ma+nb(m,nR),则 3e1-e2=m(e1-2e2)+
32、n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以 3=+,-1=-2+3,解得 =2,=1.故 c=2a+b.10.5导学号 68254073如图,在 ABC中, D,F分别是 BC,AC的中点, =a, =b.=23,(1)用 a,b表示 ;,(2)求证: B,E,F三点共线 .(1)解如图,延长 AD到点 G,使 =2 ,连接 BG,CG,得到平行四边形 ABGC,则=a+b, (a+b), (a+b),=12=12 =23=13b,=12=12(a+b)-a= (b-2a),=13 13b-a= (b-2a).=12 12(2)证明由(1)知, , 共线 .=23,又 有公
33、共点 B,B ,E,F三点共线 .B组 能力提升1.若 O是平面内一定点, A,B,C是平面内不共线的三点,若点 P满足+ ( (0, + ),则点 P的轨迹一定通过 ABC的( )=+2 A.外心 B.内心C.重心 D.垂心6解析设线段 BC的中点为 D,则有 ),因此由已知得 + ,即 = ,于=12(+ =是 = ,则 ,因此 P点在直线 AD上,又 AD是 ABC的 BC边上的中线,因此点 P的轨迹一定经过三角形 ABC的重心 .答案 C2.设 D,E分别是 ABC的边 AB,BC上的点, AD= AB,BE= BC,若 = 1 + 2 ( 1, 2为实数),12 23 则 1+ 2的
34、值为 . 解析如图,由题意知, D为 AB的中点, ,=23=+=12+23= )=- .12+23(A 16+23 1=- , 2= . 1+ 2=- .16 23 16+23=12答案123.如图,平面内有三个向量 ,其中 的夹角为 120, 的夹角为 30,且 | |=|, 与 与 |=1,| |=2 ,若 = + ( , R),则 + 的值等于 . 3 解析如图,以 OA,OB所在射线为邻边, OC为对角线作平行四边形 ODCE,则 .=+在 Rt OCD中,因为 | |=2 , COD=30, OCD=90,所以 | |=4,| |=2, 3 7故 =4 =2 ,即 = 4,= 2,
35、所以 += 6.答案 64.如图,在 ABC中,点 M是 BC的中点,点 N在边 AC上,且 AN=2NC,AM与 BN交于点 P,求 APPM 的值 .解设 =e1, =e2,则 =-3e2-e1, =2e1+e2.=+ =+A ,P,M和 B,P,N分别共线, 存在实数 , ,使 = =- e1-3 e2,= =2 e1+ e2, =(+ 2 )e1+(3+ )e2.=又 =2e1+3e2,=+2=2,3+=3,解得 =45,=35. ,即 APPM= 4 1.=455. 导学号 68254074如图,已知 OAB,若正实数 x,y满足 x+y1,且有 =x +y .证明:点 P必在 OAB内部 .8证明由题意可设 x+y=t,t(0,1),则 =1.设 P为平面内一点,且 ,则+ =+)= ,所以点 P在直线 AB上 .又 (0,1),所=(-1)+y=( 以点 P在线段 AB上(异于端点) .因为 =x +y =t ,t(0,1),即点 P在线段 OP上(异于端点),所以点 P必在 OAB内部 .
