1、康杰中学 20172018 学年度第一学期月考高三数学（理）试题2017.9（满分 100 分，时间 90 分钟）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合 ，则 A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合 ,则 ,故选 A.点睛: 集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.本题利用了指数函数的单调性求解不
2、等式.在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2. 已知命题 ；命题 若 ，则 . 则下列命题为真命题的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：显然命题 是真命题；命题 若 ，则 是假命题，所以 是真命题，故 为真命题.考点：命题的真假.3. 已知函数 是 上的减函数，那么 的取值范围是A. （0，3） B. C. （0，2） D. 【答案】D【解析】试题分析：因为函数 是 上的减函数，所以解得 .故选 D.考点：1、函数的基本性质；2、分段函数.4. 若 ，则 的大小关系是A. B. C. D【答案】C【解析】 , ,又,所以 ,故选 C.5. 如
3、图所示的图象对应的函数解析式可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数过原点，所有 排除，当 时函数只有一个零点，而 ，应该有无数个，所有 排除，当 时， ，所有 排除，只有 成立，故选 D.【点睛】本题考查了由图象选解析式的问题，也是高考考察的重点，首先从左向右观察函数的图象，确定函数的定义域，以及一些特殊点，排除选项，其次，观察函数的变化趋势，分析函数的单调性，以及函数值的趋向，最后还包含函数性质，比如奇偶性，对称性，有时也会结合导数的几何意义判断.6. 已知 ，则 的值是A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ,又,故选 D.7. 定义在 R 上的函数 满足 ，且 时，
4、 ，则=A. 1 B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为 ，所以 ，从而 ，则由已知有:，故选 C考点：1函数的奇偶性;2函数的周期性8. 已知函数 ，则函数 在（1，3）上不单调的一个充分不必要条件是A. B. C. D. 【答案】D【解析】解： ，若 f(x)在(1,3)上不单调，令 g(x)=2ax24ax1，则函数 g(x)=2ax24axl 与 x 轴在(1,3)有交点，a=0 时，显然不成立，a0 时,只需 ，解得： .本题选择 D 选项.9. 已知偶函数 的导函数为 ，且满足 ，当 时， ，则使成立的 的取值范围为A. B. C. D. 【答案】B【解析】构造函数 ,
5、因为 是偶函数,所以 ,即 g(x)是偶函数, 又 ,当 时, ,即 在 上单调递减,且, 的解为 , 的解为 ,又偶函数 ,所以使成立的 的取值范围为 ,故选 B.10. 设 是定义在 R 上的偶函数，对任意的 ，都有 ，且当时， ，若在区间 内关于 的方程恰有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 是定义在 R 上的偶函数,所以 ,又 ，所以函数关于 x=2 轴对称,即 , ,函数的周期为 4,且当时， ，分别画出 y=f(x)和 g(x)= 的图象,使其恰有三个交点,则需满足 ,即 ,解得 ,故选 C.11. 函数 的定义域为 ，图象如图（1
6、）所示，函数 的定义域为 ，图象如图（2）所示，方程 有 个实数根，方程 有 个实数根，则 =A. 6 B. 8 C. 10 D. 12【答案】C【解析】由图象可知若 ，则 或 或 .由图 2 知当 时， 或 ；当 时， 的值有 3 个；当 时，或 ，故 .若 ，则 或 或 .由图 1 知与 均无解；当 时， ， 或 ，故 ，故 .故选 C.12. 已知函数 ，若 ，且 对任意的 恒成立，则 的最大值为A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】由 ,则 = 可化简为 ,构造函数 ,令 ,即 在单调递增,设 ,因为 , ,所以 ,且,故 在 上单调递减, 上单调递增,所以,又 ,
7、,即 k 的最小值为 4,故选 B.点睛:本题考查函数的恒成立和有解问题,属于较难题目.首先根据自变量 x 的范围,分离参数和变量,转化为新函数 g(x)的最值,通过构造函数求导判断单调性,可知 在 上单调递减, 上单调递增,所以 ,且 , ,通过对最小值化简得出 的范围,进而得出 k 的范围.二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)13. 已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 _.【答案】-1【解析】 ,则 ,解得 ,故填-1.14. _.【答案】【解析】因为 ,由定积分的几何意义可知, 表示以原点为圆心，以 1 为半径的上半圆的面积， ;由微积
8、分基本定理, ,所以原式 ,故填 .15. 若 ，则 _.【答案】【解析】由 可得 ,解得 ,又 ，可得,所以 = ,故填 .16. 已知函数 ，给出下列 3 个命题：若 ，则 的最大值为 16；：不等式 的解集为集合 的真子集；：当 时，若 恒成立，则 ，那么，这 3 个命题中所有的真命题是_.【答案】【解析】对于 ： ,当且仅当 x=0取等号,命题正确;对于 ：在同一坐标系下作出图象 ，如图所示, , ,所以 的解集为 的真子集,命题正确;.综上可知,应填 .三、解答题：（本大题共 4 个题，要求写出必要的推理、证明、计算过程）17. 已知 ，设 成立；成立. 如果“ ”为真， “ ”为假
9、，求实数 的取值范围.【答案】【解析】试题分析:若命题 p 为真,通过分离参变量求出函数 ，在时的最小值 ,可得 m 的取值范围;若命题 q 为真,则 在 有解,构造函数 ，求出函数的最大值 ,可得 m 的取值范围 ; “ ”为真， “ ”为假,即 与 一真一假,分类讨论解出 m 的范围.试题解析:若 为真，则对 恒成立. 设 ，配方得 ， 在 上的最小值为3， 解得 ， 为真时， .若 为真，则 成立，即 成立. 设 ，则 在 上是增函数， 的最大值为 ， 为真时， “ ”为真， “ ”为假， 与 一真一假. 当 真 假时， , 当 假 真时， 综上所述，实数 的取值范围是 .点睛: 本题考
10、查全特称命题的真假判断以及通过恒成立有解问题转化的函数最值问题.对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；对原命题的结论进行否定.判定全称命题“ xM，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中的每个元素 x，证明 p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合 M 中的一个特殊值 x0，使 p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个 xx 0，使 p(x0)成立即可，否则就是假命题.18. 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 ，且（1）求角 A 的大小；（2）求 的取值范围.【答
11、案】(1) ;(2) 【解析】试题分析：（1）由正弦定理，可化简已知条件得 ，由此求得 ；（2）用诱导公式和降次公式，化简条件得 ，由于 ，故 ，由此求得 ，进而求得取值范围得 .试题解析：（1）由正弦定理可得， ,从而可得,又 为三角形的内角, 所以 ,于是,又 为三角形的内角, 因此 .（2） ,由 可知,从而 ,因此 ,故 的取值范围为 .考点：解三角形，三角恒等变换19. 已知函数（1）当 时，求函数 的单调递增区间；（2）在区间 内至少存在一个实数 ，使得 成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) 和 ;(2) 【解析】试题分析：（1）当 时，得 ，由 ，即可求解函数的单调区间；（2
12、）由 ，分离参数 ，构造函数 ，求出 的导函数，判断 在区间 内的饿单调性，求出 的最小值，即可求解实数 的取值范围试题解析：（1）当 时， ，当 ，得 或 ，所以函数 在 与 上为增函数（2） （ ） ，当 ，即 时， ， 在 上为增函数，故 ，所以 ， ，这与 矛盾；当 ，即 时，若 ， ；若 ， ，所以 时， 取最小值，因此有 ，即 ，解得 ，这与 矛盾；当 ，即 时， ， 在 上为减函数，所以 ，所以 ，解得 ，这符合 综上所述， 的取值范围为 考点：导数在函数中的综合应用【方法点晴】本题主要考查了导数在导数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性与极值、最值，导数的
13、几何意义的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及分离参数思想和分类讨论思想的应用，此类问题解答的关键在于分类参数，构造新函数，合理利用新函数的导数研究函数的最小值是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题20. 已知函数 满足 ，其中 且（1）对于函数 ，当 时， ，求实数 的取值范围；（2）当 时， 的值恒为负数，求 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析:(1)由换元法求出函数 f(x)的解析式,根据奇偶性的定义判断出函数为奇函数,利用单调性和奇偶性求解不等式;(2)根据函数的单调性可得 ，代入解析式解出 a 的取值范围.试题解析:（1）令 ，
14、则 ， 在定义域内为奇函数.又 在定义域内为增函数. 由 可得,解得 ,故实数 的取值范围是 （2）由（1）可知 是单调递增函数，当 时， ，即 ， ，整理得 ，解得 ， 的取值范围是 .21. 已知 （ 为自然对数的底数， ）.（1）设 为 的导函数，证明：当 时， 的最小值小于 0；（2）若 恒成立，求符合条件的最小整数【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析: (1)构造函数 ，则 , 令求导判断单调性得出最值,即可证得成立; (2) 恒成立，等价于 恒成立.令 ，求导判断单调性, 求出 g（x）的零点所在区间，得到 f（x）的单调区间和最小值，所以 恒成立,且 再由参数分离和
15、构造函数法，即可得到 b 的范围，进而得到最小整数 b.试题解析:（1） 【证明】令 ，则因为 ，令 ，则 . 所以当 时， 单调递减；当 时， 单调递增. 则 令 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.所以 ，所以 成立. （2） 【解】 恒成立，等价于 恒成立.令 ，则 因为 ，所以 ，所以 单调递增.又 ，所以存在 ，使得 . 则 时， 单调递减；时， 单调递增.所以 恒成立. 且 由得 恒成立. 又由得 ，所以，所以 ，所以 单调递增，所以 ，所以符合条件的最小整数 . 请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对
16、应题号右侧的方框涂黑22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 ： （ 为参数） ，曲线 ： （ 为参数）.（1）设 与 相交于 A，B 两点，求 ：（2）若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 ，纵坐标压缩为原来的 ，得到曲线 ，设点 P 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最小值.【答案】(1) |AB|=1;(2) .【解析】试题分析：(1)由圆心到直线的距离确定直线与圆的位置关系即可；(2)伸缩变换后圆变为椭圆，设出椭圆的参数方程，利用点到直线的距离公式结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果.试题解析：（I） 所以直线与曲线相离 （II）变化后的曲线方程是 设点 则点到直线
17、的距离是 故点 到直线 的距离的最小值为点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数 使 成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由题意得， ，解得 ，再由已知不等式的解集为 ，可得到 的值；（2）在（1）的条件下， ，即，即 ，求得 的最小值为 ，可得的范围.试题解析：（1）由 ，得 ， ，即 ， ， （2）由（1）知 ，令 ，则 的最小值为 4，故实数 的取值范围是 考点：1.绝对值不等式的解法；2.函数最值的应用.
