1、八市学评 2017-2018（下）高三第一次测评理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数 满足 ,其中 为虚数单位，则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 由题意得 ，所以 ，则 ，故选 D2. 集合 , ,若 只有一个元素，则实数 的值为（ ）A. 1 B. -1 C. 2 D. -2【答案】B【解析】因为 只有一个元素，而 ， 所以 或，选 B.3. 已知 满足约束条件 ,则 的最小值是( )A. 1 B. C. D. 【答案】C【解析】 画出约束条件所表示的
2、平面区域，如图所示，设 ，则 ，表示可行域内点与原点的连线的斜率，由图象可知，当取点 时， 取得最大值，由 ，解得 ，此时 的最大值为 ，所以 的最小值为 ，故选 C4. 某校对高二一班的数学期末考试成绩进行了统计，发现该班学生的分数都在 90 到 140 分之间，其频率分布直方图如图所示，若 130140 分数段的人数为 2，则 100120 分数段的人数为（ ）A. 12 B. 28 C. 32 D. 40【答案】B【解析】100120 分数段对应纵坐标为 ，根据对应关系得 ，选 B. 5. 已知 ，则 ( )A. B. C. D. 6【答案】A【解析】 由题意可知 ，则 ，所以 ，故选
3、A6. 某几何体的三视图如图所示，则改几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 由给定的三视图可知，原几何体上半部分，表示一个半径为 的四分一个球，下半部分表示一个底面半径为 ，高为 的半个圆锥，所以该几何体的体积为 ，故选 C7. 已知函数 ,若 ,则 ( )A. B. C. 或 D. 0【答案】D【解析】 由函数的解析式可知，当 时，令 ，解得 ；当 时，令 ，解得 （舍去） ，综上若 ，则 ，故选 D8. 设等差数列 的首项 大于 0，公差为 ,则“ ”是“ 为递减数列”的( )A. 充要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4、【答案】A【解析】 由题意 ，当 时， ，所以 ，即数列 为递减数列；若数列 为递减数列，则 ，因为 ，所以 ，所以 是数列 为递减数列的充要条件，故选 A9. 双曲线 的右焦点为 ,过点 斜率为 的直线为 ,设直线 与双曲线的渐近线的交点为 为坐标原点，若 的面积为 ,则双曲线 的离心率为( )A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】 过点 且斜率为 的直线方程为 ，与双曲线的渐近线 联立， 得到 ，因为 的面积为 ，所以 ，所以 ，所以双曲线的离心率为 ，故选 D10. 设函数 与 且 )在区间 具有不同的单调性，则与 的大小关系是 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】
5、 由题意，因为 与 在区间 具有不同的单调性，则 ，所以 ， ，所以 ，故选 D11. 记实数 种的最小数为 ,若函数 的最小正周期为 1，则 的值为( )A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】 由题意，如图所示，函数 和 的图象关于 对称，则函数 的周期为 的周期的一半，若 的最小正周期为 ，则 的周期为 ，即 ，解得 ，故选 C点睛：本题考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的周期求解问题，解答中根据函数 和 的图象之间的关系，得到函数 与 和的关系即可求解，其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力12. 已知函数 ,若函数 有 4 个不同的零
6、点，则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 当 时， 当 时， 作图可知， 选 C.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为-8，则输出 的值为_【答案】4【解析】 执行如图所示的程序酷图，可得 ，满足条件 ，
7、；满足条件 ， ；不满足条件 ，输出 14. 直线 与曲线 在第一象限内围成的封闭图形的面积为_【答案】1【解析】 由题意直线与 与曲线 所成围成的封闭图形，如图所示，又由 ，解得 或 ，所以封闭图形的面积为 15. 的展开式中， 的系数是_ （用数字填写答案）【答案】-280【解析】 由题意，二项式 的展开式为 ，当 时， ，即 的系数是 点睛：本题主要考查二项式定理的通项与系数问题，试题比较基础，属于简单题 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二
8、项式定理的应用16. 已知抛物线 与圆 ,直线 与 交于 两点，与 交于两点，且 位于 轴的上方，则 _【答案】1【解析】圆 ，直线 过抛物线焦点 所以 ，由 得 ，即 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，边 的对角分别为 ，且满足 .(1)求角 的大小；(2)若 ，求 面积的最大值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由正弦定理，画出 ，即可化简得到 ，再借助 ，即可得到角 的大小；（2）由（1）和余弦定理和基本不等式，即可得到 ，即可求解三角形面积的最大值试题解析：（1）由 及正弦定理 .所以 ,即
9、 .所以 或 （舍）所以 ，又 ，所以 .(2)由 及余弦定理得 ,得 ，所以 ,当且仅当 等号成立.所以 面积的最大值为 .18. 已知在四棱锥 中， 为正三角形， ，底面 为平行四边形，平面平面 ，点 是侧棱 的中点，平面 与棱 交于点 .(1)求证： ；(2)若 ，求平面 与平面 所成二面角（锐角）的余弦值 .【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）由底面 是平行四边形，利用线面平行的判定定理得 面，在利用线面平行的性质定理，即可证得 (2)建立空间直角坐标系 ，求得平面 和平面 的一个法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求解平面 和平面 的二面角的余弦值试题解析：（1
10、）底面 是平行四边形， ，又 面 面 ， 面 ，又 四点共面，且平面 平面 ,.(2)取 中点 ，连接 侧面 为正三角形，故 ，又 平面平面 ，且平面 平面 , 平面 , 在平行四边形 中， ，故 为菱形， 且 是 中点，.如图，建立空间直角坐标系 ,因为 ,则 ,又 ,点 是棱 中点， 点 是棱 中点， ,，设平面 的法向量为 ,则有 , 不妨令 ,则平面 的一个法向量为 平面是平面 的一个法向量，,平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .19. 某中学准备在开学时举行一次高三年级优秀学生座谈会，拟请 20 名来自本校高三(1)(2)(3)(4)班的学生参加，各班邀请的学生数如下表所示；班
11、级 高三（1） 高三（2） 高三（3） 高三（4）人数 4 6 4 6(1)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言，求这 3 名学生中任意两个均不属于同一班级的概率；(2)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言，设来自高三（3）的学生数为 ，求随机变量的概率分布列和数学期望.【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）从 名学生随机选出 名的方法数为 , 选出 人中任意两个均不属于同一班级的方法数，利用古典概型及其概率公式，即可求解(2)由 可能的取值为 ，求得随机变量 每个值对应的概率，列出分布列，利用公式求解数学期望试题解析：（1）从 20 名学生随机选出 3 名
12、的方法数为 , 选出 3 人中任意两个均不属于同一班级的方法数为设 3 名学生中任意两个均不属于同一班级的事件为所以(2) 可能的取值为 0,1,2,3,.所以 的分布列为0 1 2 3所以20. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上.(1)求椭圆 的方程；(2)若不过原点 的直线 与椭圆 相交于 两点，与直线 相较于点 ，且 是线段 的中点，求 面积的最大值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由椭圆的方程的离心率和椭圆上的点代入方程，列出方程组，求得 的值，得到椭圆的方程；（2）当直线 的斜率不存在时， 的中点不在直线 上，故直线 的斜率存在.设直线 的方程为 与椭圆的
13、方程联立，求得 ，进而得到点 的坐标，因为 在直线 上，解得 ，以及利用 ，求得实数 ，把三角形的面积表达成实数 的表示，即可求解面积的最大值试题解析：(1) 由椭圆 的离心率为 ,点 在椭圆 上得 解得所以椭圆 的方程为 .(2)易得直线 的方程为 .当直线 的斜率不存在时， 的中点不在直线 上，故直线 的斜率存在.设直线 的方程为 ,与 联立消 得,所以 .设 ,则 , .由 ,所以 的中点 , 因为 在直线 上，所以 ,解得所以 ,得 ,且 ,又原点 到直线 的距离 ,所以 ，当且仅当 时等号成立，符合 ,且 .所以 面积的最大值为： .点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线
14、的位置关系,解答此类题目，通常利用 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数的性质求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等21. 已知函数 .(1)若函数 有一个极小值点和一个极大值点，求 的取值范围；(2)设 ，若存在 ,使得当 时， 的值域是 ,求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）求出函数 的导数，由函数 有两个极值点，得到关于 的不等式组，求得实
15、数 ，再作出验算即可（2）求出 的导数，通过讨论 的范围确定函数的单调区间，得到关于 的不等式，解出即可试题解析：(1) ,则令 ,若函数 有两个极值点，则方程 必有两个不等的正根，于是 解得当 时， 有两个不相等的正实根，设为 ,不妨设 ,则 . 当 时， 在 上为减函数；当 时, 在 上为增函数；当 时， 函数 在 上为减函数.由此， 是函数 的极小值点， 是函数 的极大值点.符合题意.综上，所求实数 的取值范围是（2）当 时， .当 时， 在 上为减函数；当 时， 在 上为增函数.所以，当 时， 的值域是 .不符合题意.当 时， .(i)当 ,即 时， , 当且仅当 时取等号.所以 在
16、上为减函数从而 在 上为减函数符合题意(ii)当 ,即 时，当 变化时， 的变化情况如下表：1- 0 + 0 -减函数 极小值 0 增函数 极大值 减函数若满足题意，只需满足 ,且 (若 ，不符合题意 ),即 ,且 .又 ,所以 ,此时所以实数 的取值范围是点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决
17、函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中 中，直线 ,圆 的参数方程为 为参数)，以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求直线 和圆 的极坐标方程；(2)若直线 与圆 交于 两点，且 的面积是 ，求实数 的值.【答案】 （1）直线 l: 圆 的极坐标方程为 ；（2）或 .【解析】试题分析：（1）根据 将直线 直角坐标方程化为极坐标方程，先根据三角函数平方关系将圆 的参数方程化为普通方程，再根据将圆 的直角坐标方程化为极坐标方程， （
18、2）先根据三角形面积求 ，再得圆心到直线距离，最后根据点到直线距离公式求实数 的值.试题解析：（1）由 得 ，所以将 化为直角坐标方程为 ,所以 .将 代入上式得 .圆 的极坐标方程为 .(2)因为 ,得或 ，当 时， .由（1）知直线 的极坐标方程为 ,代入圆 的极坐标方程得.所以 ,化简得 ,解得 或 .当 时， ,同理计算可得 或 .综上： 的取值为 或 或 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .(1)若 ,求 的取值集合；(2)若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集， （2）先根据绝对值定义分类讨论，再参变分离转化为对应函数最值，最后根据最值得 的取值范围.试题解析：（1）当 时， ,解得 ；当 时， ,解得 ；当 时， ,解得 ；综合得 的取值集合为 .（2）分两种情况讨论：当 时，原不等式转化为 ,即 恒成立，当 时，原不等式转化为 ,即 恒成立， .综上可知： .点睛：不等式的恒成立问题可转化为最值问题，即 恒成立 ， 恒成立 .
