1、1专题 6.10 与圆周运动相关的功能问题一选择题1(2018安徽第三次联考)如图所示，光滑轨道由 AB、 BCDE 两段细圆管平滑连接组成，其中 AB 段水平，BCDE 段为半径为 R 的四分之三圆弧，圆心 O 及 D 点与 AB 等高，整个轨道固定在竖直平面内，现有一质量为 m，初速度 v0 的光滑小球水平进入圆管 AB，设小球经过轨道交接处无能量损失，圆管孔径远小10gR2于 R，则(小球直径略小于圆管内径)( )A小球到达 C 点时的速度大小 vC3gR2B小球能通过 E 点且抛出后恰好落至 B 点C无论小球的初速度 v0为多少，小球到达 E 点时的速度都不能为零D若将 DE 轨道拆除
2、，则小球能上升的最大高度与 D 点相距 2R【参考答案】B2.（2018天津）滑雪运动深受人民群众喜爱，某滑雪运动员（可视为质点）由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道 AB ， 从滑道的 A 点滑行到最低点 B 的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿 AB 下滑过程中（ ）2A.所受合外力始终为零B.所受摩擦力大小不变C.合外力做功一定为零D.机械能始终保持不变【参考答案】C 考查了曲线运动合力特点；受力分析，圆周运动向心力公式；动能定理；机械能守恒条件。3.(2017全国卷，14)如图 4 所示，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环。小环由大圆环的
3、最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力( )图 43A.一直不做功 B.一直做正功C.始终指向大圆环圆心 D.始终背离大圆环圆心【参考答案】A4.如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度 v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为（重力加速度为 g） （ ）A. B. C. D. 【参考答案】B 【名师解析】设半圆的半径为 R，根据动能定理得：，离开最高点做平抛运动，有：2R= ，x=vt，联立解得：x= = 可知当 R= 时，水平位移最大，故 B 正确，ACD
4、错误故选：B【分析】根据动能定理得出物块到达最高点的速度，结合高度求出平抛运动的时间，从而得出水平位移的4表达式，结合表达式，运用二次函数求极值的方法得出距离最大时对应的轨道半径5. (2015海南单科)如图 10 所示，一半径为 R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为 m 的质点自轨道端点 P 由静止开始滑下，滑到最低点 Q 时，对轨道的正压力为 2mg，重力加速度大小为 g。质点自 P 滑到 Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( )图 10A. mgR B. mgR14 13C. mgR D. mgR12 4【参考答案】C6.(2017山西四校联考)(多选)如图 2 所示，摆球
5、质量为 m，悬绳长为 L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从 A 点运动到 B 点的过程中空气阻力 F 阻 的大小不变，重力加速度大小为 g。则下列说法正确的是( )图 2A.重力做功为 mgLB.绳的拉力做功为 mgLC.空气阻力 F 阻 做功为 mgL5D.空气阻力 F 阻 做功为 F 阻 L12【参考答案】AD7. (2016湖南衡阳五校高三联考)如图所示，内壁光滑半径大小为 R 的圆轨道竖直固定在桌面上，一个质量为 m 的小球静止在轨道底部 A 点。现用小锤沿水平方向快速击打小球，击打后迅速移开，使小球沿轨道在竖直面内运动。当小球回到 A 点时，再次用小锤沿运动方向击打小球，通过两次
6、击打，小球才能运动到圆轨道的最高点。已知小球在运动过程中始终未脱离轨道，在第一次击打过程中小锤对小球做功 W1，第二次击打过程中小锤对小球做功 W2。设先、后两次击打过程中小锤对小球做功全部用来增加小球的动能，则 的值可能是( )W1W2A. B. 12 23C. D134【参考答案】AB 8.(2016河北唐山高三期末)如图所示，两个 圆弧轨道固定在水平地面上，半径 R 相同， A 轨道由金属凹34槽制成， B 轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道。在两轨道右侧的正上方分别将金属小球 A 和 B 由静止释放，小球距离地面的高度分别用 hA和 hB表示，则下列说法正确的( )6A若 hA hB
7、2 R，则两小球都能沿轨道运动到最高点B若 hA hB ，由于机械能守恒，两个小球沿轨道上升的最大高度均为3R2 3R2C适当调整 hA和 hB,，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处D若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出， A 小球的最小高度为 ， B 小球在 hB2 R 的任何高度均可5R2【参考答案】D 【名师解析】 A 球能够通过最高点的最小速度为 v ，由机械能守恒定律得， mg(hA2 R) mv2， A 球下gR12落的最小高度为 R； B 小球只要在最高点的速度大于零即可， B 球下落高度 hB2 R 的任何高度均可让 B 球52通过最高点，故 A、B 错误，D
8、正确；小球 A 能从 A 飞出的最小速度为 v ，从最高点飞出后下落 R 高gR度时，水平位移的最小值为 xA vt R R，则小球 A 落在轨道右端口外侧；适当调整 hB， BgR2Rg 2可以落在轨道右端口处，故 C 错误。9.(2017湖北名校联考)如图 7 所示，一个可视为质点的滑块从高 H12 m 处的 A 点由静止沿光滑的轨道AB 滑下，进入半径为 r4 m 的竖直圆环，圆环内轨道与滑块间的动摩擦因数处处相同，当滑块到达圆环顶点 C 时，滑块对轨道的压力恰好为零，滑块继续沿 CFB 滑下，进入光滑轨道 BD，且到达高度为 h 的 D 点时速度为零，则 h 的值可能为(重力加速度大小
9、 g10 m/s 2)( )图 7A.8 m B.9 m C.10 m D.11 m【参考答案】B710.一小球以一定的初速度从图示 5 位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道 1，再进入圆轨道 2，圆轨道1 的半径为 R，圆轨道 2 的半径是轨道 1 的 1.8 倍，小球的质量为 m，若小球恰好能通过轨道 2 的最高点B，则小球在轨道 1 上经过 A 处时对轨道的压力为( )图 5A.2mg B.3mg C.4mg D.5mg【参考答案】C【名师解析】小球恰好能通过轨道 2 的最高点 B 时，有 mg m ，小球在轨道 1 上经过 A 处时，有 F mg m ，根据机械能守恒定律，有 1.6m
10、gR mv mv ，解得 F4 mg，由牛顿第三定律可知，小球对轨12 2B 12 2A道的压力 F F4 mg，选项 C 正确。11.如图 6 所示，质量相同的可视为质点的甲、乙两小球，甲从竖直固定的 光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，14轨道半径为 R，圆弧底端切线水平，乙从高为 R 的光滑斜面顶端由静止滑下。下列判断正确的是( )图 6A.两小球到达底端时速度相同8B.两小球由静止运动到底端的过程中重力做功不相同C.两小球到达底端时动能相同D.两小球到达底端时，甲小球重力做功的瞬时功率大于乙小球重力做功的瞬时功率【参考答案】C二计算题1.（2018卷）如图，在竖直平面内，一半径为 R 的光滑圆
11、弧轨道 ABC 和水平轨道 PA 在 A 点相切。 BC 为圆弧轨道的直径。O 为圆心，OA 和 OB 之间的夹角为 ，sin= ，一质量为 m 的小球沿水平轨道向右运动，经 A 点沿圆弧轨道通过 C 点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在 C 点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为 g。求：（1）水平恒力的大小和小球到达 C 点时速度的大小； （2）小球到达 A 点时动量的大小； （3）小球从 C 点落至水平轨道所用的时间。 【名师解析】 （1）解:设水平恒力的大小为 F0 ， 小球到达 C 点
12、时所受合力的大小为 F。由力的合成法则有9设小球到达 C 点时的速度大小为 v ， 由牛顿第二定律得由式和题给数据得（3）解:小球离开 C 点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为 g。设小球在竖直方向的初速度为 ，从 C 点落至水平轨道上所用时间为 t。由运动学公式有由 式和题给数据得 【分析】 （1）由力的合成法则及在 C 点由牛顿第二定律可求出水平恒力 F0及小球到达 C 点的速度。（2）从 A 到 C 有动能定理，几何关系和动量的表达式可求出小球到达 A 点时的动量。（3）从 C 落至水平轨道，在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，由运动学公式可得落至水平轨道所用的时
13、间。102 （20 分） （2018 四川四市二诊）如图所示，在倾角 37的光滑斜面上用装置 T 锁定轨道 ABCDAB为平行于斜面的粗糙直轨道，CD 为光滑的四分之一圆孤轨道，AB 与 CD 在 C 点相切，质量 m0.5kg 的小物块（可视为质点）从轨道的 A 端由静止释放，到达 D 点后又沿轨道返回到直轨道 AB 中点时速度为零已知直轨道 AB 长 L1m，轨道总质量 M0.1kg，重力加速度 g10m/s 2，sin370.6，cos370.8。（1）求小物块与直轨道的动摩擦因数 ；（2）求小物块对圆弧轨道的最大压力；（ 3） 若 小 物 块 第 一 次 返 回 C 点 时 ， 解 除
14、 轨 道 锁 定 ， 求 从 此 时 起 到 小 物 块 与 轨 道 速 度 相 同 时 所 用 的 时 间 。【 名 师 解 析 】 （1）小物块在从 ABDC直轨 AB 中点的过程中，根据能量守恒cos)2(sin2LmggL（2 分）解得： 0.25（1 分）（2）设圆轨道的半径为 R，小物块在从 ABD 的过程中，根据动能定理mg（Lsin Rcos Rsin ）mgLcos 0 （2 分）解得：R2m设四分之一圆弧轨道的最低点为 P，小物块从 D 点返回 C 点的过程中，经过 P 点时，小物块对圆轨的压力最大，设速度为 vp，轨道对小球的最大支持力大小为 F，小物块对圆轨道的最大压力
15、为 F，则21)sin(mmg（1 分）RvFp2（2 分）FF（1 分）解得：F9N（1 分）11解得：v C2 m/s， 18m/s 2， 24m/s 2t 6（2 分）3.（2018 名校模拟）某工厂车间通过图示装置把货物运送到二楼仓库， AB 为水平传送带， CD 为倾角=37、长 s=3m 的倾斜轨道， AB 与 CD 通过长度忽略不计的圆弧轨道平滑连接， DE 为半径 r=0.4m 的光滑圆弧轨道， CD 与 DE 在 D 点相切， OE 为竖直半径， FG 为二楼仓库地面（足够长且与 E 点在同一高度），所有轨道在同一竖直平面内当传送带以恒定速率 v=10m/s 运行时，把一质量
16、 m=50kg 的货物（可视为质点）由静止放入传送带的 A 端，货物恰好能滑入二楼仓库，已知货物与传送带、倾斜轨道及二楼仓库地面间的动摩擦因素均为 =0.2，取 g=10m/s2，sin37=0.6，cos37=0.8求：（1）货物在二楼仓库地面滑行的距离；（2）传送带把货物从 A 端运送到 B 端过程中因摩擦而产生的内能【名师解析】（1）因贷物恰好能滑入二楼仓库，则在圆轨道的最高点 E，向心力恰好由重力提供，得：mg=m 代入数据解得： vE=2m/s 货物到达仓库后在运动的过程中只有摩擦力做功，做匀减速运动，设货物在二楼仓库地面滑行的距离为s由动能定理得：- mgs=0- 12代入数据得：
17、 s=1m 货物从开始运动到速度等于 8m/s 的过程中的位移为 x，则：2ax= 代入数据得： x=16m 该过程中的时间： t= = =4s 该过程中传送带的位移： x= vt=104=40m 货物相对于传送带的位移： x=x- x=40-16=24m 所以传送带把货物从 A 端运送到 B 端过程中因摩擦而产生的内能： Q= mg x=0.2501024=2400J 答：（1）货物在二楼仓库地面滑行的距离是 1m；（2）传送带把货物从 A 端运送到 B 端过程中因摩擦而产生的内能是 2400J 4.如图 3 所示，倾角 45的粗糙平直导轨 AB 与半径为 R 的光滑圆环轨道相切，切点为 B
18、，整个轨道处在竖直平面内。一质量为 m 的小滑块(可以看作质点)从导轨上离地面高为 h3 R 的 D 处无初速度下滑进入圆环轨道。接着小滑块从圆环最高点 C 水平飞出，恰好击中导轨上与圆心 O 等高的 P 点，不计空气阻力，已知重力加速度为 g。求：图 3(1)滑块运动到圆环最高点 C 时的速度大小；(2)滑块运动到圆环最低点时对圆环轨道压力的大小；13(3)滑块在斜面轨道 BD 间运动的过程中克服摩擦力做的功。(2)小滑块在最低点时速度为 v，由动能定理得 mg2R mv mv212 20 12解得 v 5gR在最低点由牛顿第二定律得FN mg m v2R解得 FN6 mg由牛顿第三定律得
19、FN6 mg(3)从 D 到最低点过程中，设 DB 过程中克服摩擦阻力做功 Wf，由动能定理得mgh Wf mv2012解得 Wf mgR12答案 (1) (2)6 mg (3) mgRgR125.如图 7 所示，在某竖直平面内，光滑曲面 AB 与水平面 BC 平滑连接于 B 点， BC 右端连接内、外壁光滑、半径 r0.2 m 的四分之一细圆管 CD，管口 D 端正下方直立一根劲度系数为 k100 N/m 的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口 D 端平齐。一个质量为 1.0 kg 的小滑块(可视为质点)放在曲面 AB 上，现从14距 BC 的高度为 h0.6 m 处由静止释放小滑块，它与
20、 BC 间的动摩擦因数 0.5，小滑块进入管口 C 端时，它对上管壁有 FN2.5 mg 的相互作用力，通过 CD 后，在压缩弹簧过程中小滑块速度最大时弹簧的弹性势能为 Ep0.5 J。取重力加速度 g10 m/s2。求：图 7(1)小滑块在 C 处受到的向心力大小；(2)在压缩弹簧过程中小滑块的最大动能 Ekm；(3)小滑块最终停止的位置。【名师解析】(1)小滑块进入管口 C 端时它与圆管外管壁有大小为 FN2.5 mg 的相互作用力，故小滑块在 C点受到的向心力大小为 F 向 2.5 mg mg35 N。(2)在压缩弹簧过程中小滑块速度最大时，所受合力为零。设此时小滑块离 D 端的距离为 x0，则有 kx0 mg解得 x0 0.1 mmgk在 C 点合外力提供向心力，有 F 向 m 得 v 7 m 2/s22C小滑块从 C 点运动到速度最大位置的过程中，由机械能守恒定律得mg(r x0) mv Ekm Ep12 2C联立解得 Ekm mg(r x0) mv Ep6 J。12 2C15答案 (1)35 N (2)6 J (3)距 B 点 0.2 m
