1、河北省唐山市迁安市第三中学 2018届高三第一学期期中数学（理科）期中备考复习（3）一.选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解二次不等式求出集合 N，再求出集合 M 的补集，最后求出并集即可.【详解】解二次不等式得： 或 ，全集 R 中集合 M 的补集为： ，则与集合 N 的交集为： .故选 B.【点睛】本题考查二次不等式的求解以及集合间的基本运算.运算时注意等号的取舍以及计算的先后顺序.2.2.已知命题 有解，命题 ，则下列选项中是假命题
2、的为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：对于 m 命题 p：方程 x2-mx-1=0，则=m 2+4 0，因此：m R，x 2-mx-1=0 有解，可得：命题 p 是真命题对于命题 q：由 x2-x-10，解得 ， ，因此存在 x=0，1N ，使得 x2-x-10 成立，因此是真命题下列选项中是假命题的为 ，故选： B考点：复合命题的真假3.3.已知 ， ， ， ，则 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ， ,且 ，又 ，故选：A4.4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D【解析】【分析
3、】由三视图可知该几何体为四棱锥，底面与俯视图轮廓相同，高与正视图的高一致，由棱锥的体积公式即可求得体积.【详解】三视图中有两个三角形可确定其为锥体，另一个图为四边形，故可确定为四棱锥，底面积为正方形面积： ，高为正视图的高，所以体积为： .故选 D.【点睛】本题考查三视图还原以及锥体的体积，当三视图中有两个三角形时，几何体一般为锥体，当三视图中有两个矩形时，几何体一般为柱体，另一图形为多边形，则为棱锥或棱柱，另一图形为圆时，为圆锥或圆柱.5.5.函数 的单调递减区间是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由辅助角公式可将解析式化为 的形式，将 代入正弦函数的递减区间内，解出
4、 x 的范围，再结合定义域求出 x 的范围，即为该函数的单调递减区间.【详解】化简解析式： ，将 代入正弦函数的递减区间： ，解得： ，所以： .故选 C.【点睛】本题考查三角函数的化简以及三角函数的单调区间，求单调区间一般将解析是化为 的形式，结合正弦的单调区间求解，或化为二次函数类型由复合函数单调性确定单调区间.6.6. 满足约束条件 目标函数 ，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由线性约束条件画出可行域，将目标函数化为直线的形式，在图中平移，找出最优解，最终代入目标函数，求出最值.【详解】由线性约束条件画出可行域，目标函数化为： ，如图：由图像可知，点
5、 A 处取得最优 ，解得： ，所以： 为最小值，所以 .故选 C.【点睛】本题考查线性规划问题，运用数形结合的方法求出最值即可得到目标函数取值范围，注意可行域不一定为封闭区域.7.7.非零向量 满足 ，且 ，则与 夹角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由垂直关系可利用向量乘积为 0 列出等式，将等式化简，通过两向量模的关系将模化为同一向量的模，最后消去，求出夹角余弦值，由余弦值求出夹角.【详解】由垂直可知： ，化简得： ，将两向量模的关系代入： ，解得： ，所以 .故选 D.【点睛】本题考查向量的垂直的数量积的运算，由定理直接列式化简即可的出余弦值，注意向量夹角的
6、取值范围.8.8.曲线 y 与直线 y2x1 及 x轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数解析式作出函数简图，由图像可知封闭图形的面积为曲线与 x 轴围成的曲边三角形OCB 的面积与 的面积之差，由积分与三角形面积的公式求出面积即可.【详解】由解析式作出如图所示简图：由图像可知封闭图形面积为曲线与 x 轴围成曲边三角形 OCB 的面积与 的面积之差.联立两函数解析式，求出交点 C 的坐标为： ，则点 B 的坐标为： ，求出直线与 x 轴交点 A 坐标为： ，则曲边三角形的面积为： ，的面积为： ，所以两线与 x 轴围成图形的面积为： .故选 A
7、.【点睛】本题考查利用定积分求面积，若图形不是由两曲线所围成的，需将图形进行割补，求出面积，求面积时注意有的规则图形可不用积分求面积.9.9.设 x、y 均为正实数，且 ，则 xy 的最小值为（ ）A. 4 B. C. 9 D. 16【答案】D【解析】【分析】去分母后化简式子，结合基本不等式，将加法化为乘法，解不等式即可求出结果.【详解】将等式化简可得： ，解得： ，所以 ，所以最小值为 16.故选 D.【点睛】本题考查基本不等式，将式子化简，根据基本不等式即可得出结果，注意等号成立的条件.10.10.已知 为等差数列，公差为 d，且0d1， , ，则数列 的公差为 的值为 （ ）A. B.
8、C. D. 【答案】B【解析】【分析】将等式变形，利用平方差公式后结合和差化积公式进一步变形，根据等差数列性质，将 、转化为 与 d，最终解出 d 的值.【详解】将等式变形： ，结合和差化积公式： ，由二倍角公式： ，所以 ，结合 d 的范围，解得： .故选 B.【点睛】本题考查三角恒等变换与数列的基本性质相结合，难点在于结合和差化积的公式，注意化简与求值时结合题目中给定的范围.11.11.若函数 有三个不同零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对 a 的正负进行分类讨论，确定只有当 时存在三个零点，令函数等于 0，将式子看作两函数相等，求两函数的交点，当
9、 时必有交点，分析当 时的交点个数，运用反证法，求 两函数至多有一个交点的情况下 a 的范围，最后解出相反情况下 a 的范围.【详解】当 时，易知函数恒大于 0，故没有零点；当 时，将零点看作 与 的交点，作出两函数的简图：当 时必有一个交点，所以当 时需要有两个交点，假设时 两函数至多有一个交点，则 恒成立，分离参数： 恒成立，设 ，则 ，由导函数性质，当 时函数单调递减，当 时函数单调递增，所以 ，所以 ，由于 函数需要有两个交点，所以 .故选 A.【点睛】本题考查函数零点问题，将零点问题转化为函数交点问题为零点问题的一种解法，也可利用函数的单调性解决零点问题，或者利用方程的根的个数以及零
10、点存在性定理等 .12.12.在三棱锥 A-BCD中，ACBD3，ADBC4，ABCDm，则 m的取值范围是（ ）A. (1，5) B. (1，7) C. ( ，7) D. ( ，5)【答案】D【解析】【分析】将三棱锥放置于长方体中，由长方体棱长和面对角线的关系以及 为锐角两个条件限制求出 m 的范围.【详解】将三棱锥放置于长方体中，如图所示：设长方体三棱长分别为 a、b、c，则由勾股定理：，所以： ，解得： ；由 为锐角可知： ，解得： ，所以： .故选 D.【点睛】本题考查棱锥的结构特证，需要根据棱锥的棱长性质及角度限制 m 的范围，考察了空间想象能力，运用了数学中的转化思想.二.填空题（
11、每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.13.已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，有下列四个命题：若 ， ，则 ；若 ，则 ；若 ，则；若 是异面直线， ，则 其中正确的命题有_ （填写所有正确命题的编号）【答案】【解析】试题分析：由空间中点线面的位置关系易知，为真命题.考点：空间中点线面位置关系14.14.已知定义在实数集 R上的函数 满足 且 导函数 则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】将导函数不等式移项，得出小于 0 的式子，将其看作新函数的导函数，由新函数的单调性列出不等式，即可解得 x 的范围.【详解】设 ，则 ，所以函数 单调递减，则将不等式变形： ，即：
12、 ，由单调性： ，解得： .【点睛】本题考查函数的构造及单调性的应用，当不等式中含有导函数时，一般需要构造函数，将不等式看作某函数的导函数与 0 的关系，由单调性解题.15.15.等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ，则 =_【答案】 【解析】试题分析：因为 ， ，所以， ，解之得 ，所以 ，所以 ，所以 ，故应填 考点：1、等差数列的前 项和； 2、等差数列的性质；3、三角函数求值【思路点晴】本题主要考查了等差数列的性质、等差数列的前 项和和三角函数求值，考查学生综合知识运用能力，属中高档题其解题的一般思路为：首先由已知等式， ，可解出 ， 的值，进而得出 的值，然后运用等差数列的性质可知
13、 可求出所求的结果16.16. 中， ， 为边 的中点， ，则 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用极限思想，分别分析当 C 无限接近 A 时与当 B 无限接近 A 时线段的长度，从而得到线段和的范围.【详解】当 C 无限接近 A 时，BC 无限趋近于 AB，所以 AB 近似等于 2AM，此时2AB+AC 长度趋近于 ；当 B 无限接近 A 时，BC 无限趋近于 AC，则 AC 近似等于 2AM，此时 2AB+AC 长度趋近于 .【点睛】本题考查极限思想，令一边趋近于 0，判断另一边的极限值，由此得到两范围.三.解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步
14、骤.） 17.17.函数 的部分图象如图所示(1)求函数 的解析式； (2)当 时，求 的最大值.最小值及取得最大值.最小值时相应 的值.【答案】 （1） ；（2） 时 取最大值 1， ，时 取最小值 .【解析】【分析】（1）由最值可求得 A，由特殊点可求出周期，由周期求出参数 ，将特殊点代入解析式求得值；（2）由定义域确定 的范围，由其范围结合正弦三角函数的性质求出最值及最值点.【详解】(1)由图象得 A1，,则 ，把 代入得 ，又 ，所以 ， ，因此函数 .（2） ， ，时 取最大值 1，时 取最小值 .【点睛】本题考查三角函数图像及其性质，要熟练掌握各参数的求法，求最值时注意定义域，可结
15、合函数图像求最值.18.18.正项等差数列 满足 ，且 成等比数列， 的前 n项和为 （1）求数列 的通项公式； （2）令 ，求数列 的前 项和 【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）假设公差，由等比中项列式，解出公差由等差数列通项公式即可求出；（2）求出 ，表示出 ，由其特点，利用裂项相消的方法求前 n 项和.【详解】 （1）设数列 公差为 ，由已知得： ，化简得： ，解得： 或 （舍） ，所以 （2）因为 ，所以 ，所以 【点睛】本题考查数列通项公式及前 n 项和的求法，求通项时若已知数列类型可设首项及公差或公比然后列式解方程，求和时若通项为分式类型，则可考虑尝试裂项相消的求法.
16、19.19.在 中,角 、 、 所对的边分别为、 、, 且 .（1 ）求角 的大小；（2 ）求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由正弦定理，可化简已知条件得 ，由此求得 ；（2）用诱导公式和降次公式，化简条件得 ，由于 ，故 ，由此求得，进而求得取值范围得 .试题解析：（1 ）由正弦定理可得， ,从而可得,又 为三角形的内角 , 所以 ,于是 ,又为三角形的内角, 因此 .（2 ）,由 可知,从而 ,因此 ,故 的取值范围为 .考点：解三角形20.20.在四棱锥 中， 为等边三角形，底面 为等腰梯形，满足 ， ，且平面 平面 （1）证明： 平面 ； （2）求二
17、面角 的余弦值 【答案】 （1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）在梯形内作 BC 的平行线，构造平行四边形，由长度关系利用直径所对圆周角为直角判断垂直，再由垂直性质，证出线面垂直.（2）以 AD 中点为坐标原点建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角余弦值 .【详解】 （1）在梯形 中，取 中点 ，连结 ，则 ，且 故 ，即点 在以 为直径的圆上，所以 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 （2）取 中点 ，连接 ，则 ，连接 ，则 ， 以 为原点，分别以 为 轴， 轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得，则 ， ， ， ， 取平面 的一个法向量为 ，设平面 的一个法向量
18、为 ，由 ， 得：令 ，得 ，所以 ，因为二面角 的平面角为钝角，所以二面角 的余弦值为 【点睛】本题考查空间立体几何中垂直的证明与二面角余弦值的求法，注意求法向量时可以利用已知与平面垂直的向量作为法向量，求二面角余弦值时需要先对二面角是锐角还是钝角进行判断，决定余弦值符号.21.21.已知曲线 在点 处的切线是 。（1）求实数 的值；（2）若 对任意 恒成立，求实数 的最大值.【答案】 （1） ；（2）1【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，由 及 求出两个参数值；（2）将不等式变式分离参数，分析不等号一侧的函数，通过求导分析函数的单调性，通过其最值确定恒成立问题中 k 的最值.【详解】
19、（1） ，则 ；（2）由题 恒成立，即 恒成立。令显然 单调递增，且有唯一零点 ，所以 在 内单调递减，在 内单调激增，所以 ，所以 ，故 的最大值为 1.【点睛】本题考查函数的切线与恒成立问题求参数，解决恒成立问题时可将所有式子移至不等号一侧，分析函数的零点，或者可将参数分离，分析一侧的函数最值，从而确定参数的范围或最值.22.22.已知函数为常数 （1）当 在 处取得极值时，若关于 x 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围.（2）若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）对函数 ，令 ，可得的值，
20、利用导数研究 的单调性，然后求得的最值，即可得到 的取值范围；（2）利用导数求出 在 上的最大值，则问题等价于对对任意 ，不等式 成立，然后构造新函数 ，再对 求导，然后讨论 ，得出 的单调性，即可求出 的取值范围.试题解析：（1） ，即 ，又 所以 ，此时 ，所以 上递减， 上递增，又 ，所以（2）因为 ，所以 ，即所以 在 上单调递增，所以问题等价于对任意 ，不等式 成立设 ，则当 时， ，所以 在区间 上单调递减，此时所以 不可能使 恒成立，故必有，因为若 ，可知 在区间 上单调递增，在此区间上有 满足要求若 ，可知 在区间 上递减，在此区间上有 ，与恒成立相矛盾，所以实数 的取值范围是 .点睛：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题.在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会.
