1、 第四节 二维平面流动的流函数知识点二维平面 流动的流 函数 二维平面流动的流函数 二维平面流动的流函数 二维平面流动的流函数1.流函数的引入2.流函数的性质3.和 的关系第四节 二维平面流动的流函数 1、流函数的引入 对于流体的平面流动，其流线的微分方程为将其改写成下列形式=dxudyvv x u y+=d d 0 在不可压缩流体的平面流动中，速度场必须满足不可压缩流体的连续性方程uxvy+=0=uxvy-vdx+udy 成为某函数全微分的充分必要条件第四节 二维平面流动的流函数=+d d dxxyy 表示该函数 x y（，），=uyvx 函数 称为流场的流函数=+d d d v x u y
2、yx 第四节 二维平面流动的流函数uy=vx=常数，可得流线微分方程式 由此可见,=常数的曲线即为流线，若给定一组常数值，就可得到流线簇。或者说，只要给定流场中某一固定点的坐标（x0，y0）代 入 流 函 数，便 可 得到 一 条 过 该 点 的 确 定 的 流 线。因此，借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场。v x u y+=d d 0 对于极坐标系，可写成1rvr=vr=+rv r v r d d d 第四节 二维平面流动的流函数 等流函数线与流线等同，仅在平面流动时成立。对于三维流动，不存在流函数，也就不存在等流函数线，但流线还是存在的。流函数 存在的条件：在不可压缩平面流动中，只要
3、流动满足不可压缩流体的连续性方程，不论流场是否有旋，流动是否定常，流体是理想流体还是黏性流体，必然存在流函数。在已知速度分布的情况下，流函数的求法与速度势函数一样，可由曲线积分得出。第四节 二维平面流动的流函数，=uyvxuxvy+=0（1）对于不可压缩流体的平面流动，流函数 永远 满足连续性方程。代入到2 2=y x x y2、流函数的性质第四节 二维平面流动的流函数 不可压缩流体平面无旋流动的流函数也满足拉普拉斯方程，也是一个调和函数。zvxuy=120 z=0vxuy=0 x y+=222220（2）对于不可压缩流体的平面势流，流函数 满足拉普拉斯方程，流函数也是调和函数。对于平面无旋流
4、动，=uyvx代入上式：第四节 二维平面流动的流函数 在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题，可以转化为求解一个满足边界条件的 拉普拉斯方程.x y+=22220边界条件，u v第四节 二维平面流动的流函数 平面流动中两条流线间通过的流量等于这两条流线上的流函数之差。q u y v xyyxxVyyxxyyxxd(d)d d12121212=+=+x yx y=d1 12 2(,),2 1（3）平面流动中，通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积流量等于两条流线的流函数之差。这就是流函数的物理意义。在两流线间任一曲线AB，则通过单位厚度的体积流量为第四节 二维平面流动的流函数 3、和 的关系，=
5、ux yvy x（1）满足柯西-黎曼条件（C-R条件）如果是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在着速度势函数和流函数。x x y y+=0，=x y y x柯西 黎 曼（C-R）条件 第四节 二维平面流动的流函数 当势函数 和流函数 二者知其一时，则可用下式求出。和 互为共轭调和函数，这就有可能使我们利用复变函数这样一种有力的工具求解此类问题。=x yy x第四节 二维平面流动的流函数（2）流线与等势线正交若在同一流场中绘出相应的一系列流线和等势线，则它们必然构成正交网格，称为流网。（，）=x y C（，）=x y C x x y y+=0互相正交（，）=x y C（，）=x y C第四节
6、 二维平面流动的流函数【例4-3】有一不 可压 流体平面 流动 的速度分 布为。该平面流动是否存在流 函数和 速度势 函数；若存 在，试 求出其 表达式；若在流场中A（1m，1m）处的绝 对压强 为，流体的密度，则B（2m，5m）处的 绝对压 强是多 少？，=4 4 u x v y 1.4 105Pakg m 1.2/3uxvy xxyy+=+=(4)(4)0zvxuyyxxy=12124 40)()(x y=0【解】（1）由不可压流体平面流动的连续性方程该流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。由于是平面流动该流动无旋，存在速度势函数。第四节 二维平面流动的流函数【例4-3】有一不 可
7、压 流体平面 流动 的速度分 布为。该平面流动是否存在流 函数和 速度势 函数；若存 在，试 求出其 表达式；若在流场中A（1m，1m）处的绝 对压强 为，流体的密度，则B（2m，5m）处的 绝对压 强是多 少？，=4 4 u x v y 1.4 105Pakg m 1.2/3（2）由流函数的全微分得：=+=+=+d d d d d 4 d 4 dxxyy v x u y y x x yyxyx)y,x(积分 4=+xy C由速度势函数的全微分得：=+=+=d d d d d 4 d 4 dxxyy u x v y x x y y积分2 22()=+x y C第四节 二维平面流动的流函数【例4
8、-3】有一不 可压 流体平面 流动 的速度分 布为。该平面流动是否存在流 函数和 速度势 函数；若存 在，试 求出其 表达式；若在流场中A（1m，1m）处的绝 对压强 为，流体的密度，则B（2m，5m）处的 绝对压 强是多 少？，=4 4 u x v y 1.4 105Pakg m 1.2/3（3）由于，因此，A 和B 处的速度分别为=+V u v2 2 2=+=V m sA2 2 2 2 2(4 1)(4 1)32()=+=V m sB2 2 2 2 2(4 2)(4 5)464()由伯努里方程+=+p V p V1212A A2B B2=+=+=p p V V Pa22()1.4 10 1.2(32 464)139740.8()11B A A B2 2 5第四节 二维平面流动的流函数【例4-4】已知不可压缩流体平面势流，其速度势，试求速度分量和流函数。=uxy=vyx=uyy=vxx=yy=+y f x212()()=xxf x x()122=+f x x C2 212()=+y x C=xy【解】由速度势可求得速度分量(1)根据速度和流函数的关系(2)将式 对y积分(3)将式(3)对x 求偏导数，根据速度和流函数的关系（4）对式（4）积分，得(5)代入式（3）第四节 二维平面流动的流函数
