1、7概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确(),nTArnxxAAAE可 逆 的 列 （ 行 ） 向 量 线 性 无 关 的 特 征 值 全 不 为 0 只 有 零 解 ， 0总 有 唯 一 解是 正 定 矩 阵 R12,sipnBEAB 是 初 等 阵存 在 阶 矩 阵 使 得 或：全体 维实向量构成的集合 叫做 维向量空间.注 nR()ArnxA不 可 逆 0的 列 （ 行 ） 向 量 线 性 相 关 是 的 特 征 值 有 非 零 解 ,其 基 础 解 系 即 为 关 于 0的 特 征 向 量注()abrEAnaEbAx 有 非 零 解=- :具 有向 量 组 等 价矩
2、 阵 等 价 ()反 身 性 、 对 称 性 、 传 递 性矩 阵 相 似矩 阵 合 同 关于 ：12,ne称为 的标准基， 中的自然基，单位坐标向量 ；:n:87p教 材 线性无关；12,ne ； ；tr=E任意一个 维向量都可以用 线性表示.n12,ne8行列式的定义 121212121()12 nnnnjn jjjnnaaDa 行列式的计算：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.若 都是方阵（不必同阶）,则 （拉普拉斯展开式）AB与 =()mnAOABB
3、1上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.关于副对角线： （即：所有取自不同行(1)21122 111 nnnnnnaOaaa 不同列的 个元素的乘积的代数和）范德蒙德行列式： 122112nijjinnnxxx矩阵的定义 由 个数排成的 行 列的表 称为 矩阵.记作： 或m121212nmmnaaA ijmnAamnA伴随矩阵 ， 为 中各个元素的代数余子式.1212*12nTijnnA ijA 逆矩阵的求法:9 ： 1A注 1abdbcdca主 换 位副 变 号 1()()E 初 等 行 变 换 1231213aaa 3211123 aaa 方阵的幂的性质： mnA()mnn
4、A 设 的列向量为 , 的列向量为 ，,mnsB12,nB12,s则 ， 为msAC112212 21, ,sn snnsbbc iAc(,)is12i的解 可由 线性表ixc12212,s sA 12,s 12,n示.即： 的列向量能由 的列向量线性表示， 为系数矩阵.CB同理： 的行向量能由 的行向量线性表示， 为系数矩阵.BT即： 12112212nnmnmaac 12122122nmmnaac 用对角矩阵 乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 向量；左 行用对角矩阵 乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 向量.右 列 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线
5、上的对应元素相乘. 分块矩阵的转置矩阵：TTABCD分块矩阵的逆矩阵： 11 11ABB1ACAOBB11OOC10分块对角阵相乘： ,1122,AB12AB12nA分块对角阵的伴随矩阵： *A*()()mnmnB 矩阵方程的解法( )：设法化成 0AXBXAB(I) 或 (I)E 初 等 行 变 换(I的 解 法 ： 构 造TTX)的 解 法 ： 将 等 式 两 边 转 置 化 为 ， 用 (I)的 方 法 求 出 ， 再 转 置 得 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数
6、变动） 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） 两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 .14p教 材 向量组 中任一向量 都是此向量组的线性组合.12,ni(1)n 向量组 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示.n向量组 线性无关 向量组中每一个向量 都不能由其余 个向量线性表示.12,n i1 维列向量组 线性相关 ；m,()rAn维列向量组 线性无关 .12n 若 线性无关，而 线性相关,则 可由 线性表示,且表示法唯一.12,n 12,n 12,n 矩阵的行向量组的秩 列向量组的秩 矩阵的秩. 行阶梯形
7、矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线0后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在列的其他元素都是 时，称为 行最简形矩阵0 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.11 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对 施行一次初等 变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵 乘 ；A行 左 A对 施行一次初等 变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵 乘 .列 右矩阵的秩 如果矩阵
8、存在不为零的 阶子式，且任意 阶子式均为零，则称矩阵 的秩为 .记作rr1r()Ar向量组的秩 向量组 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作 12,n 12(,n矩阵等价 经过有限次初等变换化为 . 记作：ABAB向量组等价 和 可以相互线性表示 . 记作：12,n12,n 1212,nn 矩阵 与 等价 ， 可逆 作为向量组等价,即：秩相BPQ,(),r AB为 同 型 矩 阵等的向量组不一定等价.矩阵 与 作为向量组等价A1212(,)(,)nnrr1212(,)nnr矩阵 与 等价.B 向量组 可由向量组 线性表示 有解12,s12,nAXB12(,)=nr .(,)ns
9、r(,)sr12(,)nr 向量组 可由向量组 线性表示,且 ，则 线性相关.12,s12,ns12,s向量组 线性无关,且可由 线性表示,则 .s 向量组 可由向量组 线性表示,且 ,则两向量组等价；12,s12,n 12(,)sr12(,)nrp教 材 94,例 0 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 设 是 矩阵,若 ， 的行向量线性无关；Amn()rAm若 ， 的列向量线性无关,即： 线性无关.n12,n 矩阵的秩的性质：12 ()AOr若
10、 1()0AOr若 ()mnrAi(,)()Trp教 材 01,例 5 ()kk 若 (), 0mns rABnABr x 若 若 0的 列 向 量 全 部 是 的 解 ()ri(), 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩. ()rBA若 可 逆若 可 逆若 ；()()mnxrBr ABOC 只 有 零 解 在 矩 阵 乘 法 中 有 左 消 去 律若 ()()nsrArB 在 矩 阵 乘 法 中 有 右 消 去 律 . 等价标准型.()r rEOEAO若 与 唯 一 的 等 价 ， 称 为 矩 阵 的 rAB()rmax(),AB(,)()rBp教 材 70 ()OrAB Cr131212 12, 0
11、, (),Ann AnAxnxAxrAx 当 为 方 阵 时当 为 方 阵 时有 无 穷 多 解 表 示 法 不 唯 一线 性 相 关 有 非 零 解 可 由 线 性 表 示 有 解 有 唯 一 组 解 克 莱 姆 法 则表 示 法 唯 一 线12 7(), 1(n xrAxA 教 材 2 讲 义 8性 无 关 只 有 零 解 不 可 由 线 性 表 示 无 解 ：注Ax有 无 穷 多 解 其 导 出 组 有 非 零 解有 唯 一 解 其 导 出 组 只 有 零 解 线性方程组的矩阵式 向量式 Ax 12nxx1211122212,nmmnnmaabAx 12,jjmj1212(,)nx 14
12、矩阵转置的性质： ()TA()TAB()TkATA()TTAB11()(TA()TTA矩阵可逆的性质： 1111111kk伴随矩阵的性质： 2()n()()nkn*()11()A()kk ()1()10 nrArAn若若若 ABnAkABA（无条件恒成立）E15线性方程组解的性质：121212121212(),3, ,(4), ,5, ,6kkAxAxAxAx 是 的 解 也 是 它 的 解是 的 解 对 任 意 也 是 它 的 解 齐 次 方 程 组 是 的 解 对 任 意 个 常 数 也 是 它 的 解 是 的 解 是 其 导 出 组 的 解 是 的 解是 的 两 个 解 是 其 导 出
13、组 的 解 121212 12,(7), ,00kk kxA 是 的 解 则 也 是 它 的 解 是 其 导 出 组 的 解是 的 解 则 也 是 的 解是 的 解 设 为 矩阵,若 一定有解，Amn()rAm()r当 时,一定不是唯一解 ,则该向量组线性相关.方 程 个 数 未 知 数 的 个 数向 量 维 数 向 量 个 数是 的上限.()r和 判断 是 的基础解系的条件：12,s Ax 线性无关；12,s 都是 的解；s x .()snrA每 个 解 向 量 中 自 由 未 知 量 的 个 数 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. 若 是 的一个解， 是 的一个解 线性无关Ax1,s x
14、1,s 与 同解（ 列向量个数相同）,则：BAB 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. 两个齐次线性线性方程组 与 同解 .AxB()ArrB 两个非齐次线性方程组 与 都有解，并且同解 . ()Ar16 矩阵 与 的行向量组等价 齐次方程组 与 同解 （左乘可逆矩阵 ） ；mnAlBAxBPABP10p教 材矩阵 与 的列向量组等价 （右乘可逆矩阵 ）.l QQ 关于公共解的三中处理办法： 把(I)与(II)联立起来求解； 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设 是(I)的基础解
15、系, 是(II)的基础解系，则 (I)与123,45,(II)有公共解 基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即： 1231231425(,)(,)rrc当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设 是(I)的通解， 是(II)的通解，两方程12c23c组有公共解 可由 线性表示. 即：231c2, 1211(,)(,)rr 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。标准正交基 个 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为 1.n向量 与 的内积 12,Tna 12,Tnb 121(,)ni nabab.
16、记为：与 正 交 (,)0向量 的长度 12,Tna 22211(,)ni naa是单位向量 . 即长度为 的向量.(,)1 内积的性质： 正定性： ,0,()且 对称性： () 双线性： 1212,(,),)()(,(,)cc17的特征矩阵 .AEA的特征多项式 .() 是矩阵 的特征多项式()O的特征方程 . AEA0AxAx (为 非 零 列 向 量 ) 与 线 性 相 关 ， 称为矩阵 的 迹 .12n 1nitr 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的 各元素.n 若 ,则 为 的特征值,且 的基础解系即为属于 的线性无关的特征向量.0AAx0 一定可分解为 = 、 ,从
17、而 的特征值为：()1r122,nnabb212()nAababA, .112Aabatr 23n 0p指 南 358为 各行的公比， 为 各列的公比.注 2,Tn 1,b A 若 的全部特征值 ， 是多项式,则:12,n ()f 若 满足 的任何一个特征值必满足AO()if0 的全部特征值为 ； .()f 12(),()nff 12()nAff 初等矩阵的性质： (,)Eij1()Eik,()Eijk,(,)Tij ()Ti,()Tjik1()ij 1()ki 1()ijk*,(,)Eij*1()Ei*,()Eijk 设 ，对 阶矩阵 规定： 为110()mfxaxax nA110()mfa
18、AaAE18的一个多项式.A 12312,TAmmkkAababEAA 是 的 特 征 值 则 :分 别 有 特 征 值 . 12312, AmmkkabaAbExAx 是 关 于 的 特 征 向 量 则 也 是 关 于 的 特 征 向 量 . 的特征向量不一定是 的特征向量.2,mAA 与 有相同的特征值，但特征向量不一定相同.T与 相似 （ 为可逆矩阵） 记为：B1PBPAB:与 正交相似 （ 为正交矩阵）AA可以相似对角化 与对角阵 相似. 记为： （称 是 的 相似标准形 ）: 可相似对角化 为 的重数 恰有 个线性无关的特征向量. 这时, 为 的特()iinrEkiiAnPA征向量拼
19、成的矩阵， 为对角阵,主对角线上的元素为 的特征值.设 为对应于 的线性无关的特征向量,1PA ii则有：.1212121212(,)(,)(,)(,)nnnnnP PAA 19：当 为 的重的特征值时， 可相似对角化 的重数 基础解系的个数.注 i0AAi()nrAx 若 阶矩阵 有 个互异的特征值 可相似对角化.n 若 可相似对角化,则其非零特征值的个数（重根重复计算） .()r 若 = ，A:k1P 121 1()()() ()nggAPPg 相似矩阵的性质： ,从而 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.EABA是 关于 的特征向量, 是 关于 的特征向量.注 x01PxB0 tr 从
20、而 同时可逆或不可逆AB, ()r ； （若 均可逆） ；T:1,AB*B: （ 为整数） ； ，kAB()ff:()fAf ,CDD:前四个都是必要条件.注 数量矩阵只与自己相似. 实对称矩阵的性质： 特征值全是实数,特征向量是实向量； 不同特征值对应的特征向量必定正交；：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；注一定有 个线性无关的特征向量.n若 有重的特征值,该特征值 的重数= ；Ai()inrEA20必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；两个实对称矩阵相似 有相同的特征值.正交矩阵 TAE
21、为正交矩阵 的 个行（列）向量构成 的一组标准正交基.nn: 正交矩阵的性质： ；1TA ；E 正交阵的行列式等于 1 或-1； 是正交阵,则 ， 也是正交阵；ATA 两个正交阵之积仍是正交阵； 的行（列）向量都是单位正交向量组.二次型 ，即 为对称矩阵，121(,)nTnijifxxAax ijjiaA12(,)Tnxx与 合同 . 记作： （ ）ABTCBB:,C为 实 对 称 矩 阵 为 可 逆 矩 阵正惯性指数 二次型的规范形中正项项数 负惯性指数 二次型的规范形中负项项数p rp符号差 ( 为二次型的秩)2pr 两个矩阵合同 它们有相同的正负惯性指数 他们的秩与正惯性指数分别相等.
22、两个矩阵合同的充分条件是： AB: 两个矩阵合同的必要条件是： ()r 经过 化为 标准形 .12(,)Tnfxx 正 交 变 换 合 同 变 换可 逆 线 性 变 换 xCy21nifdy 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由 唯一确定的.()rA正 惯 性 指 数 负 惯 性 指 数 当标准形中的系数 为-1 或 0 或 1 时,称为二次型的 规范形 .id 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.21 惯性定理：任一实对称矩阵 与唯一对角阵 合同.A110 用正交变换化二次型为标准形: 求出 的特征值、特征向量；A 对 个特征向量正交规范
23、化；n 构造 （正交矩阵）,作变换 ,则CxCy新的二次型为 ,1 12221() TTTTnndyyAyYAyd 21nifdy的主对角上的元素 即为 的特征值.id施密特正交规范化 线性无关,123,121233231(,),(,)()正 交 化单位化： 123技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量. 例如： 取 ， .123x01 21正定二次型 不全为零， .12,nx 12(,)nf22正定矩阵 正定二次型对应的矩阵. 为正定二次型 （之一成立）：()TfxA ， ；Tx0 的特征值全大于 ； 的正惯性指
24、数为 ；fn 的所有顺序主子式全大于 ；A0 与 合同，即存在可逆矩阵 使得 ；ECTAE 存在可逆矩阵 ，使得 ；PTA 存在正交矩阵 ，使得 （ 大于 ）.121T n i0 合同变换不改变二次型的正定性. 为正定矩阵 ； .Aia0A 为正定矩阵 也是正定矩阵.1,T 与 合同，若 为正定矩阵 为正定矩阵BB 为正定矩阵 为正定矩阵，但 不一定为正定矩阵.,AA,A行列式中出现的公式和要熟记的结论1、 行 列 式1. 行列式共有 个元素，展开后有 项，可分解为 行列式；n2n!n2n2. 代数余子式的性质：、 和 的大小无关；ijAija、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式
25、为 0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 ；A3. 代数余子式和余子式的关系： (1)(1)ij ijiji ijiMAM 4. 设 行列式 ：nD将 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 ，则 ；1D(1)21nD23将 顺时针或逆时针旋转 ，所得行列式为 ，则 ；D90 2D(1)22nD将 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 ，则 ；33将 主副角线翻转后，所得行列式为 ，则 ；445. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积 ；(1)2n、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积； 、 和 ：副对角元素的乘积 ； (1)2
26、n、拉普拉斯展开式： 、AOCABB(1)mnOABC:、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6. 对于 阶行列式 ，恒有： ，其中 为 阶主子式；nA1()nknESkS7. 证明 的方法：0、 ；、反证法；、构造齐次方程组 ，证明其有非零解；0Ax、利用秩，证明 ；()rn、证明 0 是其特征值；2、 矩 阵1. 是 阶可逆矩阵：An（是非奇异矩阵）；（是满秩矩阵）()r的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 有非零解；0x， 总有唯一解；nbRAb与 等价；E可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为 0；是正定矩阵；T的行（列）向量组是 的一组基；AnR是 中某两组基的过渡
27、矩阵；nR2. 对于 阶矩阵 ： 无条件恒成立；*AE3. 1*111*()()()TTA A *11TBBB4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 、 可逆：24若 ，则：12sA、 ；12、 ；1121sA、 ；（主对角分块）11OB、 ；（副对角分块）1A、 ；（拉普拉斯）11CCBOB、 ；（拉普拉斯）111AOA3、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组1. 一个 矩阵 ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： ；mn rmnEOF等价类：所有与 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准
28、形为其形状最简单的矩阵；A对于同型矩阵 、 ，若 ；B()rAB:2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）若 ，则 可逆，且 ；(,)(,)rAEX:A1XA、对矩阵 做初等行变化，当 变为 时， 就变成 ，即： ；BEB1A 1(,),)cBEA、求解线形方程组：对于 个未知数 个方程 ，如果 ，则 可逆，且 ；nxb(,)rbx:1xb4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初
29、等列矩阵；、 ，左乘矩阵 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元素； 12nAiiA、对调两行或两列，符号 ，且 ，例如： ；(,)Eij1(,)(,)ijEij125、倍乘某行或某列，符号 ，且 ，例如： ；()Eik1()()ikEi1(0)kk、倍加某行或某列，符号 ,且 ，如： ；()ijk1()()ijkijk 1(0)k5. 矩阵秩的基本性质：、 ；0()min(,)rA、 ；T、若 ，则 ；B:()r、若 、 可逆，则 ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）PQ()()rPAQrPA、 ；（）ax(),(,AB、 ；（）)rr、 ；（）()min(,B、如果 是 矩阵， 是 矩阵，且 ，
30、则：（）ns0A、 的列向量全部是齐次方程组 解（转置运算后的结论）；X、 ()rA、若 、 均为 阶方阵，则 ；B()()rBrn6. 三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） 行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如 的矩阵：利用二项展开式；0acb二项展开式： ；01 10() nnnmnnmnaCabCababCab 注：、 展开后有 项；b、 0(1)()!123() :m nnmCn、组合的性质： ；11 0 2 nnmmrnrrn nCCCC、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：、伴随矩阵的秩： ；*()()110nrArAn、伴随矩阵的特征值：
31、 ；*1*(, )AXX 、 、*1A1*n8. 关于 矩阵秩的描述：、 ， 中有 阶子式不为 0， 阶子式全部为 0；（两句话）()rn1n26、 ， 中有 阶子式全部为 0；()rAn、 ， 中有 阶子式不为 0；9. 线性方程组： ，其中 为 矩阵，则：xbAmn、 与方程的个数相同，即方程组 有 个方程；mxb、 与方程组得未知数个数相同，方程组 为 元方程；nAn10. 线性方程组 的求解：A、对增广矩阵 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；B、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由 个未知数 个方程的方程组构成 元线性方程：nmn、 ；1211222
32、12nmnmaxaxb 、 （向量方程， 为 矩阵， 个方程， 个未知数）112122nmmmaaxbAx Amnn、 （全部按列分块，其中 ）；1212nxaa 12nb、 （线性表出）12nxx、有解的充要条件： （ 为未知数的个数或维数）(),)rAn4、 向 量 组 的 线 性 相 关 性1. 个 维列向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；mn12,m n12(,)mA个 维行向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；B12,TTm 12TTmB含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）0Ax、向量的线性表出 是否有解；（线性
33、方程组）b、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）XB3. 矩阵 与 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 和 同解；( 例 14)mnAlB 0AxB10P4. ；( 例 15)()Trr10P5. 维向量线性相关的几何意义：、 线性相关 ；、 线性相关 坐标成比例或共线（平行）；,、 线性相关 共面；276. 线性相关与无关的两套定理：若 线性相关，则 必线性相关；12,s 121,s若 线性无关，则 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若 维向量组 的每个向量上添上 个分量，构成 维向量组 ：rAnrnB若 线性无关，则 也线性无关；反之若 线性相关，则 也线性相关
34、；（向量组的维数加加减减）BBA简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组 （个数为 ）能由向量组 （个数为 ）线性表示，且 线性无关，则 (二版 定理 7)；rs rs74P向量组 能由向量组 线性表示，则 ；（ 定理 3）AB()rAB86P向量组 能由向量组 线性表示有解；X（ 定理 2）(),)r85P向量组 能由向量组 等价 （ 定理 2 推论）AB()(,)rABr85P8. 方阵 可逆 存在有限个初等矩阵 ，使 ；12,lP 12lA、矩阵行等价： （左乘， 可逆） 与 同解r0xB、矩阵列等价： （右乘， 可逆）；cABQ、矩阵等价： （ 、 可逆）；P9. 对于矩
35、阵 与 ：mnl、若 与 行等价，则 与 的行秩相等；ABAB、若 与 行等价，则 与 同解，且 与 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；0xAB、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵 的行秩等于列秩；10. 若 ，则：msnC、 的列向量组能由 的列向量组线性表示， 为系数矩阵；AB、 的行向量组能由 的行向量组线性表示， 为系数矩阵；（转置）BTA11. 齐次方程组 的解一定是 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；0x0x、 只有零解 只有零解；AB、 有非零解 一定存在非零解；12. 设向量组 可由向量组 线性表示为：（ 题 19 结论）12:,nrrb 12:,nssa
36、 10P（ ）1212(,)(,)rsbaK BA其中 为 ，且 线性无关，则 组线性无关 ；（ 与 的列向量组具有相同线性相关性）KsrABr（必要性： ；充分性：反证法）()(,),()BrKrr注：当 时， 为方阵，可当作定理使用；rs13. 、对矩阵 ，存在 ， 、 的列向量线性无关；（ ）mnnmQmE()rAQ87P28、对矩阵 ，存在 ， 、 的行向量线性无关；mnAnmPnAE()rnP14. 线性相关12,s存在一组不全为 0 的数 ，使得 成立；（定义）12,sk 120skk有非零解，即 有非零解；1212(,)sx 0Ax，系数矩阵的秩小于未知数的个数；12(,)sr1
37、5. 设 的矩阵 的秩为 ，则 元齐次线性方程组 的解集 的秩为： ；mnArn0xS()rSnr16. 若 为 的一个解， 为 的一个基础解系，则 线性无关；（ 题 33 结论）*xb12,r A*12,r 1P5、 相 似 矩 阵 和 二 次 型1. 正交矩阵 或 （定义），性质：TAE1T、 的列向量都是单位向量，且两两正交，即 ；1(,12,)0Tij ijan、若 为正交矩阵，则 也为正交阵，且 ；1TA A、若 、 正交阵，则 也是正交阵；AB注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化： 12(,)ra；1ba122,b: ;1211,rrrr rababb :3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. 、 与 等价 经过初等变换得到 ；ABAB， 、 可逆；PQ， 、 同型；()r、 与 合同 ，其中可逆；TC与 有相同的正、负惯性指数；xx、 与 相似 ；AB1AB5. 相似一定合同、合同未必相似；若 为正交矩阵，则 ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；CT:6. 为对称阵，则 为二次型矩阵；7. 元二次型 为正定：nTx的正惯性指数为 ；An与 合同，即存在可逆矩阵 ，使 ；ECTAE的所有特征值均为正数；的各阶顺序主子式均大于 0；29；(必要条件)0,iaA
