1、1固体物理学习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vcnx（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1 ）a=2r， V= ，Vc=a 3，n=13r4 52.06r8ax33（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG= x34ar3n=2, Vc=a3 6
2、8.03)r4(2arx3（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC= r2a,r42n=4，Vc=a 3 7.062)r(4ar4x33（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积： S=6 =260sinaSABO2a3晶胞的体积：V= 332r4a28a3CSn=12 =6个 21674.0r43x（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG= n=8, Vc=a33r8ar24a3234.06r384ar8x331.2、试证：六方密排堆积结构中 63.1)8(ac2/证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B、O的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这
3、三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO构成一个正四面体。1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()()ajkiaj由倒格子基矢的定义： 123()ba，31230,(),24,0aa223,0()4,ijkaaijk2134()()bijkijkaa同理可得： 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。23()ijbka所以，面心立方的倒格子是体心立方。（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()()aijkaijk3由倒格子基矢的定义： 123()ba，3
4、123,(),2,aaa 223,(),2ijkaajk213()()bjkjkaa同理可得： 即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。23()ibja所以，体心立方的倒格子是面心立方。1.5、证明倒格子矢量 垂直于密勒指数为 的晶面系。123Ghb123()h证明：因为 ，3312,aaCABhh123Ghb利用 ，容易证明2ijijb1230hCA所以，倒格子矢量 垂直于密勒指数为 的晶面系。123b123()h1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为 的晶面系，面间距 满足： ，(,)hkld222()ahkl其中 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。a解
5、：简单立方晶格： ，123a123,aiajk由倒格子基矢的定义： ， ，1123b1223b123ab4倒格子基矢： 1232,bijbkaa倒格子矢量： ，Ghkl2Ghijlka晶面族 的面间距：()kld221()()kla22()adhkl面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。1.9、画出立方晶格（111）面、 （100）面、 （110）面，并指出（111）面与（100）面、 （111）面与（110）面的交线的晶向。解： (1)1、(111)面与(100)面的交线的 AB，AB 平移，A 与 O 点重合，B 点位矢： ，
6、BRajk(111)面与(100)面的交线的晶向 ，晶向指数 。Bajk0(1)2、(111)面与(110)面的交线的 AB，将 AB 平移，A 与原点 O 重合，B 点位矢： ，(111)BRaij面与(110)面的交线的晶向 ，晶向指数 。Baij05第二章 固体结合2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（ ） ，设离子的总数为 。2ln2N解 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表示相邻离子间的距离，于是有(1)12.34jijrrr前边的因子 2 是因为存在着两
7、个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求i和后要乘 2，马德隆常数为 234(1).nx当 X=1 时，有 1.2n2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为()mnurr试求：（1）平衡间距 ；0（2）结合能 （单个原子的） ；W（3）体弹性模量；（4）若取 ，计算 及 的值。02,1,3,4nrAeV解：（1）求平衡间距 r0由 ，有：)(0rdu mnnmnm 1101.0 结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用 w 表示）（2）求结合能 w（单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单
8、元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即 Umin即： （可代入 r0 值，也可不代入）nmrrUW00)(.2n6（3）体弹性模量由体弹性模量公式： 0209rUVrk（4）m = 2，n = 10， ， w = 4eV，求 、Ar3818105r)5(4)( 802010.20 代 入rrrUeVW5)(20将 ， 代入Ar30 Je196.12153849.27mN（1）平衡间距 r0 的计算晶体内能 ()2nUr平衡条件 ， ，0rd10mn10()nmr（2）单个原子的结合能， ，01()Wur00()mnr1()nm()2nW（3）
9、体弹性模量 02()VUK晶体的体积 ，A 为常数，N 为原胞数目3Vr晶体内能 ()2mnUr123r212()mnNVrNA702200019mnmnVUNrr由平衡条件 ，得01200()23nVNA 0mnr02 22009mnVUNr022001nV2009mnVr0()mnNUr0202()9V体弹性模量 0nKU（4）若取 02,1,3,4mrAWeV，10()nr()mn，102W201r，-9510.2eVm192.0eVm2.6、用林纳德琼斯(LennardJones)势计算 Ne 在 bcc 和 fcc 结构中的结合能之比值解 126 1261()4(),()(4)()2
10、nlururNAr266612001rAd22061().5/9.)/(0.5743bcbcffu2.7、对于 ，从气体的测量得到 LennardJones 参数为 计算 fcc 结构的2H61,2.9JA的结合能 以 KJ/mol 单位) ，每个氢分子可当做28球形来处理结合能的实验值为 0.751kJmo1 ，试与计算值比较解 以 为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按 LennardJones 势相互作用，2H则晶体的总相互作用能为： 126.ij ijjUNPR6124.539;.38,ij ijj i16 2350,.,6.0/.ergANmol因此，1262816.
11、96.961/53452.5/.3Umolerg KJmol 将 R代 入 得 到 平 衡 时 的 晶 体 总 能 量 为。计算得到的 晶体的结合能为 255KJ mol ，远大于实验观察值 0.75lKJmo1对于 的晶体，2H 2H量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因4. 设两原子间的相互作用能可表示为mnurr其中，第一项为吸引能；第二项为排斥能；、n 和 m 均为大于零的常数。证明，要使这个两原子系统处于稳定平衡状态，必须满足 n m 。解：96. 设有一由 2N 个离子组成的离子晶体，若只计入作近邻离子间的排斥作用，设两个离
12、子间的势能具有如下的形式：（最近邻间）（最近邻以外）er2R/ur式中，和 为参数；R 为最近邻离子间距。若晶体的 Madelung 常数为，最近邻的离子数为 Z，求平衡时晶体总相互作用势能的表达式。解：8. 由 2N 个（设 N 很大）带电荷q 的正负离子相间排列的一维晶体链，最近邻之间的排斥能为 B/Rn，(1)试证在平衡时，晶体链的互作用能为；200ln14UR(2)若晶体被压缩，使 ，设 1，证明在晶体被压缩过程中，外力对每一个离子所做的功的主项平均为 ，其中，21c。201ln4qcR101112133.7 已知三维晶体在 附近一支光学波的色散关系为0q， 试求格波的频谱密度22zy
13、xCqBA解： 0z14则 1020202 CqBAqzyx 这是 q 空间的一个椭球面，其体积为 ，而abc34， ，2/10a2/10b2/10q 空间内的状态密度 ，故椭球内的总状态数 N 为33)2(VLq/02/1342ABCVN故2/102/102/12 4ABCVd 6.2 某晶体电子的等能面是椭球面，坐标轴 1，2，3 互相垂直。3212mkE求能态密度。 解：由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为12231EkEmk将上式与椭球公式 22czbyax比较可知，在波矢空间内电子的等能面是一椭球面，与椭球的体积比较可得到，能量为 E 的等能面围成的椭球体积abc342/3
14、132m由上式可得dEd2/132134能量区间 内电子的状态数目dEdEmVdzcc 2/13323215是晶体体积，电子的能态密度cV2/1332EmVdEzNc按德拜近似，试证明高温时晶格热容 20132TNkCDBv证明：由书（3.73）式可知 4209(/)Dxv edT在高温时， ，则在整个积分范围内 为小量，因此可将上式中被积函数化简为DTx 1212412342/424 xxeexxx将上式代入 的表达式，得vC3539(/)60DDvBNkTT32311(/)BD230BNkT第三章 固格振动与晶体的热学性质3.1、已知一维单原子链，其中第 个格波，在第 个格点引起的位移为，
15、jn， 为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，sin(_)njjjjjatqj具体计算每个原子的平方平均位移。解任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即（1）si()nnjjjjjtna162*2*nnjnjnjnj=由于 数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第 2 项与第一项相比是一小nj量，可以忽略不计。所以 22nnj由于 是时间 的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为njt（ 2）022 211si()Tjjjjjjatnqdta已知较高温度下的每个格波的能量为 KT， 的动能时间平均值为nj0 022 201 1si()4
16、LT Tnjjnj jjjjjdwaxtLtnaqdtwLa 其中 L 是原子链的长度， 使质量密度， 为周期。0所以 （3）214njjTwaKT因此 将此式代入（2）式有 22njjPL所以每个原子的平均位移为 22221nnjj jjKTPL3.2、讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a） ，其 2N 个格波解，当 = 时与一维单原子Mm链的结果一一对应。 解：质量为 的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ；质量为 的原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 。 Mm牛顿运动方程 22121()nnnMN 个原胞，有 2N 个独立的方程设方程的解 ，代回方程中得到(2)
17、211itnaqnAeB22()(cos)0cosmAaqBaqMA、B 有非零解， ，则220cosaq1712 2()41sin()mMaq两种不同的格波的色散关系12 222()i()41sinaqm一个 q 对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为 2N. 当 时 ，Mm4cos2inaq两种色散关系如图所示：长波极限情况下 ， ，0qsi()2aq与一维单原子晶格格波的色散关系一致 .(2)m3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为 和 ，两种原子质量相等，10且最近邻原子间距为 。试求在 处的 ，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟2a0,qa(
18、)q如 这样的双原子分子晶体。2H答：（1）浅色标记的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ；深色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 。第 2n 个原子和第 2n1 个原子的运动方程：2221211()nnnnm体系 N 个原胞，有 2N 个独立的方程方程的解： ，令 ，将解代入上述方程得：1(2)2()1itnaqnitAeB221/,/m18112222111()()0iaqiaqiaqiaqAeBeA、B 有非零的解，系数行列式满足： 1222211(),()0iaqiaqiaqiaqee11112222221()()()0iiaqiaqiaqee21212iaqiii因为
19、 、 ，令 得到12020 0,1cm2 40()(cos)aq两种色散关系： 2011)当 时， ，0q20()02当 时， ，a20(18)02（2）色散关系图：3.7、设三维晶格的光学振动在 q=0 附近的长波极限有 20()qA求证： ; .1/20023/(),4VfA,f解 11222 20 0 0(),qf q时 ，依据 ，并带入上边结果有3(),()q qdsf 1/2 1/20 033 22 3/014()2qVdsVAVf A 3.8、有 N 个相同原子组成的面积为 S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正19比与 。2T证明：在 到 间的独立振动模式对
20、应于平面中半径 到 间圆环的面积 ，且kdnd2nd则253Lsnkdv即，23 32 20/ /2 2 203111m D DB B xB BkT kTskTskTsd dEEveveve ,()vsTC3时 ，3.9、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为 0qBnqBFUkT证明:量子谐振子的自由能为 12qBqkTBnqBFUkTe经典极限意味着（温度较高） Tg=应用 21.xe所以2.qBqqkTBkT因此 0112qqqnBnBFUUkTk其中 0q3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为 ，使用德拜模型求晶体的零点振动能。12证明:根据量子力学零点能是谐振子所固
21、有的，与温度无关，故 T=0K 时振动能 就是各振动模零点能0E之和。 和 代入积分有00012mEgdE将 23sVgv，由于40239168mmsVNv098mBDBDkNk得一股晶体德拜温度为 ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟210K3.11、一维复式格子20求（1） ，光学波 ，24151.670,.50/MmgNmm4(.510/),dyncm即 0maxin,声学波 。axA（2）相应声子能量是多少电子伏。（3）在 300k 时的平均声子数。（4）与 相对应的电磁波波长在什么波段。0max解（1） ，413ax 221.50/.0,67AdyncmsM
22、42413max 24. ./6.7051.567o dyncms413ax 221.50/.9067Adyncms（2）132max16132in.874.50950o eVs（3） max maxax ax/ /1.87, .1A OB BAkT kTnee mini/10.26OBkT（4） 28.c第四章 能带理论4.1、根据 状态简并微扰结果，求出与 及 相应的波函数 及 ?，并说明它们的特kaE性说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 说明能隙的来源(假设 = )。2nV*解令 ， ，简并微扰波函ka数为 00()(kkAxB210*()0nEkAVB取 n E带入上式，其中 0
23、()nEkV(x)0, ,从上式得到 B= -A,于是nV=00()nixixakkAAxeL 2sinAxaL取 ， E0()nEV,nB得 到=00ixixakkxeL2cosnxaL由教材可知， 及 均为驻波 在驻波状态下，电子的平均速度 为零产生驻波因为电 ()k子波矢 时，电子波的波长 ，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射，nka2kn并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。4.2、写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 的 0 级波函数。2ka解21()* 411()imxiximximxikxkaaakeeeeLL
24、L 第一能带： *20,()2ixakma第二能带：2 3*21,1,()x ixa akbmxeLii则 即 （ e=）22第三能带：25* 2211,()ixiixaakcmxeeaLL即4.3、电子在周期场中的势能221(),bxnabxn当0 ， ()Vx ab当 (-1)+其中 d4b， 是常数试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度解(I) 题设势能曲线如下图所示(2)势能的平均值：由图可见， 是个以 为周期的周期函数，所以()Vxa11()()()abLbVxdVxd题设 ，故积分上限应为 ，但由于在 区间内 ，故只需在 区4ab3,3b()0Vx,b间内积分这
25、时， ，于是 0n。222 321 1()() 6bb bbmmVxdxdxmaa（3） ，势能在-2b,2b 区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数 20 0 01()cos,()cos()cos2 2bbmmxVxVxdxVxdb 1 120,1()bg gmEEb第 一 个 禁 带 宽 度 以 代 入 上 式利用积分公式 得22 3cossincossinuuduu第二个禁带宽度 代入上式2316mbg 2,2gV以 代 入 上 式 ,再次利用积分公式有220()cosbg xEdb 2mb2gE234.4、解：我们求解面心立方，同学们做体心立方。（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚
26、近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成： ()0() sikRsssRsEkJe近 邻在面心立方中，有12个最近邻，若取 ，则这12个最近邻的坐标是：0m (1,0)(,)(1,)(,)22aa ,0,1 (1,0),)(1,)(,)22aa由于S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此 有相同的值，简单表示为J 1=()SR。又由于s态波函数为偶宇称，即()JR ()(ssr在近邻重叠积分 中，波函数的贡献为正*() )(sissiJRUVdJ 10。于是，把近邻格矢 代入 表达式得到：S()sSE01()sikRsSsEkJe近 邻= ()()()()222201xyxyxyxy
27、aaaaikikikikS e+()()()()2222yzyzyzyzaaaaikikikikeee()()()()2222xzxzxzxzaaaaikikikikee= 01cos()cos()cos()cos()2222SxyxyyzyzJkkkk cs()s()zxzxakco()c()2cos24= 014coscoscos222s xyyzzxaaaJkkk （2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是： (1,)(,)(1,)(,1)22aa,01()8(coscos)22ss xyzaaEkJkk4.7、有一一维单原子链，间距为 a，总长度为 Na。求（1）用紧束缚近
28、似求出原子 s 态能级对应的能带E(k)函数。 （2）求出其能态密度函数的表达式。 （3）如果每个原子 s 态只有一个电子，求等于 T=0K 的费米能级 及 处的能态密度。0FE解 010101(1),()2cos2cosikais skJeJkaEJka0)sikRsp (2) , 112()2sinsiLdNaNNEEJkJka(3), 0 00()22Fk FFk0 01 11cos,()sinF sNEJaEJJa4.8、证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大 2 倍(b)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？
29、(c)(b)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响 7解（a）二维简单正方晶格的晶格常数为 a，倒格子晶格基矢 2,AiBja第一布里渊区如图所示25a0 a22 , .,BxyziKijaKm A区 边 中 点 的 波 矢 为 角 顶 点 的 波 矢 为自 由 电 子 能 量 222,Axa点 能 量所以22222 ,BxyKama点 能 量 /2BAb)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为 ,AijCka第一布里渊区如图72所示 2;Ama点 能 量 222222 3,BxyzKmaama点 能 量所以 /3A(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图 72 所示根据自
30、由电子理论，自由26电子的能量为 ，FerM 面应为球面由(b)可知，内切于 4 点的内切球的体22xyzKm积 ，于是在 K 空间中，内切球内能容纳的电子数为 34a 33421.07VNa=其中 3VN二价金属每个原子可以提供 2 个自由电子，内切球内只能装下每原子 1.047 个电子，余下的0.953 个电子可填入其它状态中如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括 B 点)这样，晶体将只有绝缘体性质然而由(b) 可知，B 点的能员比 A 点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出
31、现一区、二区能带重迭这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形 Ferm 面因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电4.10、解：设晶体中有N个Cu原子，向其中掺入x个锌原子。则晶体中电子的总数为：(N-x)+2x=N+x由于Cu是面心立方，每一个原胞中含4个电子。因此：晶体中包含的原胞数为： 4N其倒格子为体心立方，倒格子的边长为： ，对角线的长度为：4a3a于是：布里渊区边界到原点的距离为： 134即：当Fermi球与第一布里渊区边界相切
32、时， Fka又由： 3342FVkNx332FNxa于是有： 344Nx27310.5974xN30.564x即：当锌原子与铜原子之比为0.56时，Fermi球与第一布里渊区边界相接触。4.12、正方晶格设有二维正方晶格，晶体势为 2,4coss.xyUxya用基本方程，近似求出布里渊区角 处的能隙,a解以 表示位置矢量的单位矢量，以 表示倒易矢量的单位矢量，则有，,ij 12,b121rxyGbgga为 整 数 。晶体势能 ,4coss.xyU222211ixixiyiyiGGreeUe。这样基本方程 1 020.G其 中 ， 而 其 他 势 能 傅 氏 系 数()kGCKU变 为求布里11
33、1111110GGGCKUCK渊区角顶 ，即 处的能隙，可利用双项平面波近似,a(,)2k来处理。()()(iKr iKGrCee当 时依次有11,22G而其他的 ，1,21KG，所以在双项平面波近似下上式中只有1K1, ;22CGCG2812102GCUG12Gu=0，因为u12G 21122Gma22()0,UUm由 行 列 式 有 解 得 =.u+所 以 在 （ ,-） 处 的 能 隙 为a29第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动5.1、设有一维晶体的电子能带可写成 ， 其中 为晶格常数，271()(cos2)8Ekkama是电子的质量。m试求（1）能带宽度；（2）电子在波矢 k 状态
34、的速度；（3）带顶和带底的电子有效质量。解：（1） 271()(cos2)8Ekam= coska+ (2cos2ka1)2 (coska2) 21 24m当 ka(2n+1) 时,n=0,1,22ax()Ek当 ka=2n时, min0能带宽度2axin（2） 1()1(s)4dEkka(3) 2* 1co2Ekm当 时,带底，0*m当 时,带顶，a35.5、解：（1）电子的运动速度： 1()kvE 加速度： ()kkdvdt t由于单位时间内能量的增加=力在单位时间内作的功30即： 1kdEsFvEFtt 123221kkv EFt k写成分量的形式： 2221131231 1dvEFtkkm 2222131232EFFdt k 22231312333 3vEFtkm 其中： （i,j=1,2,3）2ijijm由题知：2231kkEm容易得出： 同理：211k2311,m同理：21210Em1323130故运动方程为：123dvFtdvmt（2）当存在磁场 作用时，电子将受到洛仑兹力作用BFev当 相对于椭球主轴的方向余弦为 时，电子的运动方程可写成：,123233112()()()ijkvBvBviVBjVBk 电子的运动方程可写成：
