1、第 1 页共 10 页一、填空题： 1、若随机变量 的概率密度为 ,则 的方差为 。X01(),xfceX2、若 服从二项分布B(5000,0.001),则由泊松定理知 。()P3、若 服从均值为 5的指数分布，则 。83(|X4、设 服从参数为 2的泊松过程,则 。)(tN20)N5、设 的概率密度为 ,则其分布函数的逆函数为 X10()xfe。二、选择题： 6、能产生等可能取值为 中一个数的 MATLAB程序是（ ）5,4321(A) ceil(5*rand) (B) floor(5*rand) (C)floor(6*rand) (D)randperm(5)7、在MATLAB中,表示二项分
2、布的分布函数的是（ ）(A) binopdf (B) binocdf (C) nbinpdf (D) nbincdf8、能产生均值为 5的指数随机数的 MATLAB程序是（ ）(A) -5*ln(rand) (B) -log(rand)/5 (C) -5*log(rand) (D) 5*log(rand) 9、在MATLAB中,表示正态分布的分位数的是（ ）(A) normcdf (B) norminv (C) normpdf (D) normrnd10、 , 则 的方差为（ ）01()ZN|Z(A) 1 (B) (C) (D) 22121三、计算题： 11、设 ， 的分布函数为 证明：01(
3、,)UX10(),.xFe的分布函数也是log()().x12、积分 ，(1) 利用数值方法给出积分的计算结果； 2xIed(2) 利用 Monte Carlo 方法编程计算积分。13、设 的概率分布为X103205302().,().,().PPPX写出利用舍选抽样法产生随机数的算法步骤和 MATLAB 程序。14、设 的概率分布函数为 ),exp()(xF第 2 页共 10 页写出逆变换法产生随机数的算法步骤和 MATLAB 程序。15、某工厂近5年来发生了63次事故，按星期几分类如下星期 一 二 三 四 五 六次数（ ）iN9 10 11 8 13 12问：事故的发生是否与星期几有关？(
4、注意不用编程，显著性水平 )10.（附表：其中 表示自由度为 的 随机变量在点 的分布函数值，)(2ynn2y）2516709(.).,0.53)67.1(216、某计算机机房的一台计算机经常出故障，研究者每隔 15 分钟观察一次计算机的运行状态，收集了 24 个小时的数(共作 97 次观察) ，用 1 表示正常状态，用0 表示不正常状态，所得的数据序列如下： 1110010011111110011110111111001111111110001101101111011011010111101110111101111110011011111100111设 Xn 为第 n(n=1,2,97)个时
5、段的计算机状态，可以认为它是一个齐次马氏链，从上数据序列中得到：96 次状态转移情况是： 00：8 次； 01：18次； 10：18 次； 11：52 次。求(1)一步转移概率矩阵；(2)已知计算机在某一时段(15 分钟)的状态为 0，问在此条件下，从此时段起，该计算机能连续正常工作 45 分钟(3 个时段) 的条件概率 .17、设 是具有三个状态 0，1，2 的时齐马氏链，一步转移矩阵为：)0,nX，初始分布为4/1302/P 2,10,3)(0iXP求： ； ；),()2X)|,(204X.)0|,0,( 431XP答案：一、填空题： 1、U 2、 3、 4、 5、231()e56e1e1
6、ln(),01y二、选择题： 第 3 页共 10 页6、A 7、B 8、C 9、B 10、C三、计算题： 11、解：注意到 与 同分布， 从而 与 同分布， U1log()U1l()设 的分布为 ，于是log()1Fu()1 uFuPPe)l( )显然当 时，有 010),当 时，有1uu()从而 的分布函数也是 log)UxFe(.12、(1) 解：令 ，则2yx2 211y yIeded(2) 令 ，则 ，于是yx2xyy()2122001Ieddep()MATLAB 程序如下：N=5000; y=rand(N,1);（或 y=unifrnd(0,1,N,1)）for i=1:NInt(i
7、)=2*exp(-(1/y(i)-1)2)/y(i)2;endI=mean(Int); 13、解：令 为取值为 1、2、3 的离散均匀分布，则概率分布为Y则 c=0.5/(1/3)=1.5Pk(),.的随机数产生的舍选抽样法算法步骤如下：XSTEP1：产生 的随机数和均匀随机数 U；YSTEP2：若 U ，则令 ；否则返回 STEP1。 5.0/)(XXYMATLAB 程序如下:p=(0.3,0.5,0.2);Y=floor(3*rand+1); U=rand;while (Up(Y)/0.5)第 4 页共 10 页Y= floor(3*rand+1); U=rand;endX=Y; 14、解
8、：令 可解得 1exp(),U1(log)/xU因为 与 同分布，则 。1(l)/算法步骤为：STEP1：产生均匀随机数 U；STEP2：令 或 ，则得1(log)/X1(log)/到 的随机数。MATLAB 程序：alpha=5;beta=3; U=rand;X=(-log(U)/alpha)(1/beta); 15、解：检验假设为 01:(),2,6iHPXp, 使用卡方检验统计量63n2266211()().7iiii inNnp因 , 计算得2(5)，21.67(1.67)0.169.83PP由P值为0.8931，说明不能拒绝原假设，即不认为发生事故与星期几有关。16、(1) 一步转移
9、概率可用频率近似地表示为：第 5 页共 10 页011180| 26nnPX101| ,18570nn112|nnPX01| , nn所以一步转移矩阵为： ；705861（2） 某一时段的状态为 0，定义为初始状态，即 ，所求概率0X为： 382.0 )1,|1(),|1()|1( ),0 210310PPXXX17、首先由 C-K方程得两步转移矩阵为： 5186231239164P()0202415 ,1,PXp1224001 ,| 632P1343 ,|X010120 71144256P第 6 页共 10 页一、填空题：1、若随机变量 的概率密度为 ,则 的方差为 。X50xfce(),X
10、2、若 服从二项分布B(500,0.01),则由泊松定理知 。1P()3、若 服从失效率为 0.05的指数分布，则 20|。4、设 服从参数为 0.5的泊松过程,则 。)(tNN()5、设 的概率密度为 ,则其分布函数的逆函数为 XRxxf,)1()2。二、选择题： 6、能产生等可能取值为 中一个数的 MATLAB程序是（ ）,234(A) ceil(5*rand) (B) ceil(4*rand) (C)floor(4*rand) (D)randperm(4)7、在MATLAB中,表示负二项分布的概率密度函数的是（ ）(A) binopdf (B) binocdf (C) nbinpdf (
11、D) nbincdf8、能产生失效率为 5的指数分布随机数的 MATLAB程序是（ ）(A) -5*ln(rand) (B) -log(rand)/5 (C) -5*log(rand) (D) 5*log(rand) 9、在MATLAB中,不可能产生一个均匀分布 随机数的是哪个？（ )1,0(U）(A) unifrnd(0,1) (B) unidrnd(1,1,1) (C) unifrnd(0,1,1) (D) rand(1)10、设时齐 Markov 链 , 其一步转移概率矩阵为 , 21,nX123P则该过程的 5 步转移概率矩阵为（ ）(A) (B) (C) (D) 553121 553
12、1212231三、计算题： 11、设 的分布函数为 证明： 服从区X10xFe(),. XFe()间(0,1)上的均匀分布。 第 7 页共 10 页12、 (1) 计算概率积分 ； 2xyIed(2) 利用 Monte Carlo 方法编程计算积分 的 MATLAB 程序。I13、利用逆变换方法产生概率密度函数 的随机数, 写出23(),1xf推导过程和 MATLAB 程序。14、利用舍选抽样法产生概率分布为 X1 2 3 4 5 6P0.15 0.1 0.2 0.15 0.3 0.1的随机数的算法步骤和 MATLAB 程序。15、考虑随机变量，其可能取值为 1,2,3,4,5，我们检验假设随
13、机变量是等可能取这些值，如果样本大小为 50，观测分别为 12,5,19,7,7，利用检验方法说明该数据是否来自离散均匀分布。 （附表：其中 表示自由度为 的 分布在点)(2ynn2的分布函数值， ）。y,987.0)12(40.9741516、 （1）简述 Metropolis准则；（2）若要产生密度 的随机数，设当前状态为 ，从px() 12nxx(,)中等可能取一坐标，按分布函数n,产生随机数 ，则ijjPXxXi()(|,)为下一个状态，证明：吉布斯(Gibbs)抽样法的转11i nyx ,)移概率 ；()（3）设随机变量 和 均在区间 。设在 下 的条件密度为Y0B(,)YyX及 下
14、 的条件密度为xyfxyCe(|)(,Xxfx(|)，利用吉布斯抽样法给出随机向量 的随机数程序。0B, ,答案：一、填空题： 1、2 2、 3、 4、 5、5e51e 10,)2tan(yy二、选择题： 第 8 页共 10 页6、B 7、C 8、C 9、B 10、A三、计算题： 11、记 当 时， 当 时，(),YFX0y()0;YFy1()0;YFy1ln()001)(ln()d,(8XXYyxyPePePyy当 时 分所以 故 服从,()1,.YFy()YFX(0,1).U12、 （1）令 cosin,(,)|2,.xrrDrr2200.rIdeed（2）22 21100 0,.xy x
15、IIed其 中令 221,.()yddxyxMatlab 程序为：N=10000;y=rand(N,1);for i=1:NI1(i)=exp(-(1/(y(i)-1)2/2)*y(i)2;endI=(mean(I1)2; 13、当 时，1x23311() ,2xxFtdt令 即 解得(),u3,2u3().Matlab 程序：X=(2*rand-1)(1/3); 第 9 页共 10 页14、取 则1(),2,66YpPjj 0.318./XYpc算法步骤为：第一步：产生随机数 U1 和 U2；第二步：令 Y=Int(6U1);第三步：若 U2 时，令 X=Y；否则返回。()()0.3YXPc
16、pMatlab 程序：P=0.15,0.1,0.2,0.15,0.3,0.1;Y=floor(6*rand+1);U=rand;while (UP(Y)/0.3)Y=floor(6*rand+1); U=rand;endX=Y; 15、原假设为： 1(),2,50.5ipPXijn检验统计量为521.8iiiNnp由于 则 P 值为2(4),22(1.)(1.8)023,P因 P 值很小，应拒绝原假设，即认为数据不是来自离散均匀分布。16、(1) 设马尔可夫链 y是按照某概率原则产生的状态， 的,2,nx nx下一步状态 以概率 接受状态，即 ；以概率 保持不变，即1nx1nx1。1n（2）采
17、用H-M算法有 ()(,)(|,),ijj jjpyqxyPXxinnPXxi则转移概率为第 10 页共 10 页()(),(),(,)min1min,1,)()i,.(5)jjjjpxyPXipyqxxy xpxy分(3) Matlab程序为：N=10000; B=50; X=zeros(N,1);Y=zeros(N,1);X(1)=unifrnd(0,B); Y(1)=unifrnd(0,B);for i=2:NX(i)=-log(rand)/Y(i-1);Y(i)=-log(rand)/X(i);end或 X0=unifrnd(0,B); Y0=unifrnd(0,B);X=-log(rand)/Y0;Y=-log(rand)/X;
