1、1第二章 离散时间信号与离散时间系统分析2-1 引言数字信号处理系统的分析方法是对采样信号和系统进行分析，然后再对幅度上量化及实现过程中字长有限造成的影响进行考虑，因此，离散时间信号和系统理论是 DSP 的理论基础。模拟信号 xa(t)输入后，一般通过一个前置采样滤波器，保证输入信号 xa(t)的最高频率在规定范围内，然后通过模数转换器 A/D 每隔一个采样周期 T 就读取一次 xa(t)的值，并将其量化为标准电平。电平幅度采样量化时一般采用四舍五入即可。然后 A/D 转换器将保持电路中的采样电平转换为二进制码。如设置的最高电平为 Vm，则 Vm=2n，所需二进制码有n 位。但 n 不能无限大
2、，否则数据处理时计算量太大。如我们用 3 位二进制数记录电平，则只有 23=8 种不同的信号幅度，称为量化电平。量化电平的数字采样信号脉冲很窄，在两个脉冲之间有很大的空余时间，因此可以为其他输入信号进行多路复用提供了可能。数字信号序列x (n)经过 DSP 软件或 DSP 硬件的处理，滤掉噪声，如某些频率的信号，经过数据转换得到输出序列 y(n)，再经过数模转化器 D/A 将数字信号转化为模拟信号，也就是在前后两个信号之间利用保持器将输出维持在某一数值，称为零阶保持；也可以在两个信号之间进行线性插值，称为一阶保持。最后可以用连续时间滤波器滤除不需要的高频成分，对信号进行平滑处理得到输出信号 y
3、a(t)。应当注意到在采样量化过程中信号发生了根本性变化，信号能否保持原有信息呢？是否会造成信息的丢失？就量化而言，由于数字位数有限，肯定会带来误差，位数越多，误差越小。如两个相邻量化电平间的高度差为量化宽度 q=（E max-Emin）/2 n，其中 Emax，E min 分别为信号幅度的最大和最小值。量化后得到的阶梯波和原输入信号的误差称为量化误差 e，则：eq；x a(t)= xa(t)- ya(t)，量化误差与量化宽度和输入信号有关，只有采样率足够高，量化电平位数足够多才能使量化误差足够小。就采样而言，由于采样率也不可能太高，因此也可能会形成误差，但我们将看到根据香农采样定理，对于有限
4、频带的信号，采样频率只要大于等于两倍的信号最高频率，就可以由采样信号完全恢复出原始信号。2-2 离散时间信号的表示和运算规则2采样后得到的离散时间信号只在离散的时间点 nT 上才出现，因此也称为离散时间序列x(n)或 xn，其图形在横坐标时间轴的整数 n 处用有限长的线段表示幅度大小，常用的典型离散信号有以下几种：1、 单位抽样信号 (n)(n)也称 Kronecker 函数，该信号在离散信号和离散系统分析中的作用相当于单位冲击信号 ( t)，即 Dirac 函数在连续时间信号系统中的作用。但二者定义方式不同。 )2(1)()12(01)( dtn(t)定义在积分基础上，且 t0 时，(t)=
5、0，表示极短时间内所产生的巨大冲击；而( n)在 t=0 时定义为 1。二者波形区别如图 2-1a，2-2a 所示。2、脉冲串序列 p（n）将 (n) 在时间轴上延迟 k 个抽样周期，则得到 (n- k)， 3201)( n若 k 从-变到+，则 (n)的所有移位可形成一个无限长的脉冲串序列 p(n)：)42()(knp(n)、(n- k)、p(n)如图 2-1 所示，在图 2-1c 中，如果移位的不是 (n) ，而是 (t)，则可以得到单位冲击串序列 p(t)，如图 2-2a、2-2b 所示：3)52()()( nTttp若将连续信号 x(t)与 p(t)相乘，即可得到离散信号 x（nT ）
6、或 x(n)： 62()(nttpxT如图 2-2c、2-2d 所示。这是连续信号抽样的数学模型。之所以利用 p(t)，而不是利用 p(n)得到离散信号，是因为 p(t)有型如（2-2）式的积分形式，便于进行进一步的数学讨论。3、单位阶跃序列 )72(01)(nnu如序列 y(n)=x(n)u(n)，则 y(n)的自变量 n 的取值就限定在 n0 的右半轴上。4、正弦序列x（n）=Asin（ 2f nT+） 。 (2-8)其中 f 是频率，单位 Hz，令圆频率 =2f，单位 rad/s，令 =2fT=2f/f s，其中fs为抽样频率。因此有：x( n)=Asin（n+）5、复正弦序列x(n)=
7、ejn =cos（n）+jsin（n） 。(2-9)6、实指数序列x(n)=a|n|，其中 a 为常数且|a|1。(2-10)在信号处理中对信号的几种最基本运算如下：1、 序列的延迟给定离散信号 x(n)，若 y1(n)、y 2(n)分别定义为：y1(n)=x(n-k)， y2(n)=x(n+k)，(2-11)则 y1(n)是 x(n)在时间轴上右移或后移 k 个抽样周期得到的新序列，而 y2(n)是将 x(n)左移 k 个抽样周期的结果。在 DSP 硬件设备中延迟和移位是利用一系列的移位寄存器来实现4的。从后面的 Z 变换可知，Z-1 表示序列的单位延时，也称移位算子。对于序列 x(n)在某
8、时刻 k 的值可以用 ( n)的延迟来表示，即：x(k)=x(n)(n- k) (2-12)这就是 (n) 函数的抽取性质。因此，x(n)在所有时刻的值可表示为： )132()()( kkx2、 两序列的相加和相乘即可得到新的信号：x( n)=x1(n)+x2(n)，y(n)=x 1(n)x2(n)。(2-14)是同一序号的序列值对应相加相乘得到新的序列值。当然信号的标量乘法有：y( n)=c x(n)。3、 信号的变换是指将信号从一个域变到另一个域，如从时域到频域。这是信号处理中常用而且极为重要的技术。2-3 连续时间信号的采样和采样定理一、 信号的采样将连续信号变成数字信号是计算机上实现信
9、号数字处理的必要步骤。在实际工作中，信号的抽样是通过 A/D 芯片将连续信号 x(t)变成数字信号 x(nT)，x(t)的傅里叶变换 X(j)变成 X (ej )，但我们必须要问： x(nT)是否包含 x(t)的全部信息，X(j) 和 X (ej )是什么关系，如何从 x(nT)恢复到 x(t)？等等。这些问题都是数字信号处理中的基本问题。实际上，信号的抽样理论是连结离散信号和连续信号的桥梁，也是进行离散信号处理和离散系统设计的基础。实际的采样过程是由电子开关组成的，开关每隔 T 秒短暂闭合 秒，接通连续时间信号，实施一次采样。因此采样结果得到周期为 T，宽度为 的脉冲串，脉冲幅度为该时刻相应
10、连续信号 xa(t)的幅度。即脉冲信号为原连续时间信号所调制，成为采样信号 。有)(tx前面可知，将连续信号 xa(t)和冲激串序列 p(t)相乘，即可得到离散信号 x(nT)。重写（2-6）式：=x(nT)= xa(t)| t=nT = xa(t) p(t) （2-15）)(tx其中: )162()(nTtp5为冲激串函数，是时域周期信号，周期为 Ts。上式为理想化的抽样数学模型，即 A/D转换器的转换时间为零。由于 xa(t)只在 t=nT 时有值，所以： )172()()()( nTtxnTtttn 二、 抽样定理 sampling theory采样后得到的离散信号 x(nT)是否能够代
11、表并恢复成原来的连续时间信号 xa(t)呢？要满足那些条件才能恢复？这就是采样定理要解决的问题。由于冲激串序列 p(t)是以采样周期 T 为周期的周期函数，可将其展开为傅立叶级数：(2-18)dtenTtceCnttp tTnjmmmtjn 2/ 22 )(1;)()( 级数的基频即采样频率 fs=1/T，采样角频率为 s=2fs=2/T。在积分区间内只有一个冲激脉冲 ( t)，其它冲激脉冲 ( t-nT)均在积分区间外，因此：；(2-19)TdtetTctnjmm1)12/2并由此达到：；(2-20)mtTjnettp21)()(表明冲激串序列的各次谐波的幅度均为 1/T，其梳状结构如图 b
12、：理想采样信号 的频谱 为其傅立叶变换：)(tx)(jX；(2-21)dteptxdtejXjaj ()(将 p(t)代入，有：(2-22)dtetxTtetxTj jamjmja ss )(1)(1)( 原输入连续时间信号频谱应为其傅立叶变换，如图 a：(2-23)dtetxjXjaa)()(比较上两式，有：(2-24)mamsa TjXTjTjX )2(1)(1)( 6如图：由 (2-25) mamsa TjXTjXTj )2(1)(1)( 可知，一个连续时间信号经过理想采样后频谱发生了两个变化，一是乘以 1/T 因子；另一个是出现了无穷多个分别以 s；2 s；3 s；为中心的和 形状完全
13、一)(1ja样的频谱，即频谱出现了周期延拓。根据频域卷积理论，时间的相乘等于频域的卷积，因为采样过程是将连续信号与冲激串序列在时域相乘的结果，所以在频域上 和 p(t)(jXa的梳状谱的卷积就是简单地将 在 p(t)的各次谐波位置上重新构图，因此必然会出)(jXa现频谱的周期延拓。所以，在时域的采样形成频域的周期函数，周期为采样的角频率 s。xa(t)是带限信号，其频谱的正频部分在 0 h 范围内， h 是可能的最高频率，其频谱称为基带频谱。当 s2 h 时，在采样信号频谱中基带频谱以及各次谐波调制频谱不会相互重叠，这时可用一个带宽为 s/2 的理想低通滤波器取出原信号频谱 Xa(j)（差一个
14、定标因子 1/T） ，而滤掉它的各次谐波，恢复出原信号，采样不会造成信息丢失。若 T 过大即 s2 h，或者 Xa(j)本身就不是有限带宽的，那么作周期延拓后，各次调制频谱就会相互交叠在一起，将要发生频域的“混叠（aliasing） ”现象，以致一个周期中的 不等于 Xa(j)。由此所产生的结果是我们将无法由 来恢复 xa(t)。由以上)(j )(t讨论可引出信号的抽样定理。若连续信号 x(t)是有限带宽的，其频谱的最高频率为 fc，对抽样时，若保证抽样频率：7fs2f h（或 s2 h，T s/ h） 那么。可由 即 x(nT)来恢复出 x(t)，即 x(nT)保留了 x(t)的全部信息。)
15、(tx三、折叠频率和尼奎斯特 Nyquist 频率抽样定理是由 Nyquist 和 C.E.Shannon 分别于 1928 年和 1949 年提出的，所以也称Nyquist 抽样定理或 Shannon 抽样定理。该定理给我们指出了对信号抽样时所必须遵循的基本规则。在实际对 x（t）作抽样时，首先要了解 x（t ）的最高截止频率 fh，以确定应选取的采样频率 fs，若 x(t)不是有限带宽的，在抽样前应对 x(t)作模拟滤波，以去掉 fsf h 的高频成分，这就是许多采样数据系统在采样前增加一个保护性的前置低通滤波器的原因，它可以在保证带限条件的同时避免频率高于 fh 的高频杂波进入采样器造成
16、混叠。这种用以防混叠的模拟滤波器又称“抗混叠（anti-aliasing）滤波器” 。而使频谱不发生混叠的最小抽样频率 fs=2fh，又称“Nyquist 频率” ， f0=fs/2 称为折叠频率。因为信号频谱中任何大于 f0 的频谱分量都将以折叠频率为对称点被折叠回来，造成频谱的混叠。满足抽样定理的采样信号，通过一个截止频率在 fh 和 fs-fh 之间的低通滤波器即可恢复出原始信号，但一方面不可能造出截止特性非常陡的低通滤波器，会需要在 fh 和 fs-fh 之间预留一个保护带；另一方面，一般对频率上限 fh 也有技术约定，如半功率点的约定，当频谱稍高于 fh 时仍有一小部分信号分量存在，
17、在 fs=2fh 时，经过采样所产生的副瓣频谱将有一小部分和有用的信号频带重叠造成失真，因此采样频率一般要略大于理想最小值，而取：fs=（2.53）f h，(2-26)一些常见信号的主要频率范围如下表，可供抽样时参考。信号分类 常见信号 主频范围（Hz）心电图（ECG） 0100自发脑电图（EEG） 0100表面肌电图（EMG） 10200眼电图（EOG ） 020生理信号语言 1004000风噪声 1001000地震勘探信号 10100地震信号地震及核爆炸信号 0.0110无线电信号 3104310 6短波 3106310 10雷达、卫星通讯 3108310 10远红外 31011310 1
18、4电磁信号可见光 3.710147.710 148紫外线 31015310 16 射线和 x 射线 31017310 18四、信号的恢复与采样内插公式以上讨论回答了如何使 x(nT)保持 x(t)全部信息的问题，现在从数学上讨论如何由 x(nT)来恢复出 xa(t)。假定 fs2f h，即没有发生混叠现象。从频域看，设信号的最高频率不超过折叠频率 f0=fs/2，则：；)27(/|0)()( saajXj理想采样后的频谱就不会出现混叠，所以： )28(/)(1)(1)( samajXTjTj让采样信号 通过一带宽等于折叠频率的理想低通滤波器，其响应频率是：tx；)29(/|0)( sjH其特性
19、如图。因此滤波器只允许基带频谱通过，由图中可知；H(j)与 Xs(j)相乘的结果是截了Xs(j)的一个周期，则： )()()(jjjYa从而得到原信号频谱，所以在滤波器输出端得到了恢复的原模拟信号 y(t)=xa(t)。由于理想低通滤波器 H(j)对应的单位抽样响应为： )302(sin2)si(21)(21)( tTtdTedejHth stjtja s 这是一个 sinc 函数。根据卷积定理，频域的相乘相当于时域的卷积，所以有：（2-31）naan nanTthxdTthx ddty )()()( ()( 9其中 称为内插函数，代入上式，有：)32()(sin)( TtTtha)()(si
20、)()( txntTxty ana因为 Y(j)= Xa(j)，所以 y (t)也应等于 xa(t)。此式即为由抽样后的离散信号重建原始信号的公式，也称采样内插公式。不难发现，这个插值公式， 以 sinc 函数为插值函数，插值间距为 T，权重为 x(nT)。只要满足抽样定理，那么，由无穷多加权 sinc 函数移位后的和即可重建出原始信号。而在工程实际中，将离散信号变成模拟信号可以通过模/数转换器来实现。应当注意内插函数 的特点是在采样点 nT 上，函数值为)(sin)(TtTtha1，其它采样点上函数值都为零。2-4 离散时间系统一个离散时间系统可抽象为一种变换或映射，即把输入序列 x(n)变
21、换为输出序列 y(n)：y(n)=Tx(n)（2-34）式中 T代表变换，对它加上不同的约束条件可以定义各类离散时间系统。因此，一个离散时间系统既可以是一个硬件装置，也可以是一个数学表达式，其输入、输出关系可以表示如图。若输入单位抽样信号，输出序列就称为单位抽样响应 h(n)= T( n)。例 1：一个离散时间系统的输入、输出为：y(n)=a y(n-1)+ x(n)，其中 a 为常数。该系统表示，现时刻的输出 y(n)等于上次输出 y(n-1)乘以常数 a 在加上现时刻的输入x(n)，这是一个一阶自回归差分方程，如图：求该系统的单位抽样响应。由定义可知：h(n)=y(n)=ah(n-1)+(
22、n)给定初始条件 h(-1)=0，有： h（0）=0+（0）=1h（1）= ah（0 ）=ah（2）= ah（1 ）=a 2h（n）= an。即： )()(0)( nuah或若|a|1 ，当 n ，|h （n） |，当|a|1时，有： )(limhn10例 2：系统： 20)()(kknxbny其中 b(0)，b(1)，b(2) 为常数。这是一个三点加权平均器，若 b(0)=b(1)=b(2)=1/3，则系统为一个三点平均器。其信号流图如图所示。求该系统的单位抽样响应。解：由定义，将 x(n)换成 (n)，有：h( n)=b(0)+(n)+b(1)(n-1)+b(2)(n-2)所以，h (0)
23、=b(0) ，h (1)=b(1)，h (2)=b(2)，且当 n0 或 n2 时，h (0)0由上两例可以看出，三点平均器的单位抽样响应仅在 n=0，1，2 时有值，即为有限长的。该类系统称为有限冲激响应系统（Finite Impulse Response，FIR ） 。一阶自回归模型中由于包含了由输出到输入的反馈，因此其抽样响应是无限长的，该类系统称为无限冲激响应系统（Infinite Impulse Response，IIR） 。下面我们介绍几个有关离散系统的重要定义：1 线性设一个离散系统对 x1(n)的响应是 y1(n)，对 x2(n)的响应是 y2(n)，即：y1(n)=Tx1(n
24、)； y2(n)=Tx2(n)若该系统对 x 1(n)+x 2(n)的响应是 y 1(n)+y 2(n)，即有：y(n)=Tx 1(n)+x 2(n)=Tx 1(n)+Tx 2(n)=y 1(n)+ y2(n)则称该系统是线性的，式中 ， 为任意常数。显然线性系统在输入、输出之间满足叠加原理，如图。2 移不变性设一个离散时间系统对 x(n)的响应是 y(n)，如果将 x(n)延迟 k 个抽样周期，输出 y(n)也相应地延迟了 k 个抽样周期，则称该系统具有移不变性，或称时不变性，即：如：Tx(n) = y(n)；则有：Tx(n-k) = y(n-k) 由前面单位抽样响应的定义，h(n)=T(n
25、)，对于移不变系统，必有 h（n-k）=T(n-k)，因此完全可以从单位抽样响应或称冲激响应 h(n)的行为判断系统是否具有移不变性，如图。同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变离散时间系统（Linear Shift Invariant，LSI） 。本课程中研究的系统一般都是 LSI 系统。例 3：试判断给定系统：11（1） y(n)=nx(n)；（2） y(n)-ay(n-1)=x(n)，y(-1)=0，n0 是否是线性的、移不变的。解：（1）给定输入 x1(n)和 x2(n)，由定义：y1（n）=Tx 1（n）=n x 1（n） ； y2（n）=Tx 2（n）= n x 2（n
26、）令 x（n）=x 1（n）+x 2（n） ，系统对 x（n）的响应 y（n）=Tx（n）=nx 1（n）+x 2（n）=nx 1（n）+nx 2（n）=y 1（n）+y 2（n）该式右边正是 y1（n）和 y2（n）的叠加，故系统（1）是线性的。由于 y（n）=Tx（n）=nx（n） ，则系统对 x（n-k）的响应 yk（n）是：yk（n）=Tx（n-k）=nx（n-k） ，由上式得：y（n-k）=（n-k）x（n-k） ，所以，y（n-k）Tx（n-k）= y k（n） 。（2）令 x1（n）=（n） ，由例 1 有：y 1（n）=Tx 1（n）=a nu（n） ，式中 u（n）为单位阶跃
27、序列。令 x2（n）=（n-1） ，同样由例 1 有：y 2（n）=Tx 1（n）=a n-1u（n-1） ，再令 x(n)=x 1(n)+x 2(n)，代入原方程，有： y(n)=ay(n-1)+(n)+(n-1)递推此方程，得：y（n）=Tx（n）= a nu（n）+a n-1u（n-1）=y 1（n）+y 2（n） ，所以，系统是线性的，当然不难发现，该系统也是移不变的。3 因果性（Causality）如果一个 LSI 系统在任一时刻 n 的输出只决定于现在时刻和过去时刻的输入（x（n） ，x（n-1） ，） ，而和将来的输入无关，则称该系统为因果系统，这样的数据输入方式称为序贯数据（s
28、equential data）方式。对非实时的情况，输入数据的全体是已知的，可以实现非因果系统。我们称已记录的数据为快数据（block data） 。上例均为因果系统，而 y(n)=x（n+1 ） ，y(n)=x（n 2）为非因果系统。y(n)=x （-n）也是非因果系统，因为n0 时的输出决定于 n0 时的将来输入。线性移不变离散系统具有因果性的充要条件是：h(n)=0， n0。4 稳定性一个信号 x（n） ，若存在一个实数 R，使得对所有 n 都满足|x （n）|R，则称 x（n）有界。一个输入和输出均有界的 LSI 系统，是稳定的。而稳定性是系统能否正常工作的先决条件。5. 线性卷积一个
29、连续的线性时不变系统，其输入 x（t）和输出 y（t ）之间的关系可以用一个常系数线性微分方程描述系统的动态特性，与此类似，一个线性移不变离散时间系统则可以用一个常系数线性差分方程描述： MrNk rnxbknany01 )()()(式中 a（k） ，k=1，2，N，b（r） ，r=0，1，M 是方程的系数。给定输入信号x（n）及系统的初始条件，可求出该差分方程的解，即得到系统的输出。差分方程具体解法我们将在下一章介绍，这里我们将讨论 LSI 系统输入、输出之间的一个重要关系 线性卷积（linear convolution） 。由于输入的离散信号 x（n）可表示为 (n)及其位移的线性组合，即
30、： )1()(0)1()()( nxnknxk 当输入为 (n)时，输出 y（n）=h（n） ，由系统的 LSI 性质： 12因此，系统对 x（n）的响应 y（n）是上面右边一列的相加： )2.61()()(kkhx此式即 LSI 系统的线性卷积，可简记为 y（n）=x（n）*h（n） 。当然，上式也可表示为： )3.()()(kxhny并满足以下运算性质：y(n)= x 1(n)+x2(n)*h(n)= x1(n)*h(n)+x2(n)*h(n) 若 h(n)对应的是因果系统，即 n0 时，h(n)0，则式： kknhxny)()(可改写为： 0)()(kkxhny其输出 y（n）也是因果信
31、号。若 x（n）是一个 M 点的序列，那么卷积的结果y（n）将是（N+M-1）点序列。如下例所示。线性卷积运算的一般步骤：例 1：令 h（n）=h（0） ，h（1）=1，1，x（n）=x（0） ，x（3）=1，2，3，4，试求 x（n）和 h（n）的卷积。输入 x（0）(n)x（1）(n-1)x（-1）(n+1)x（k）(n-k)输出 x（0）h（n）x（1）h（n-1）x（-1）h（n+1 ）x（k）h（n-k）13解：步骤一，将 x（n）和 h（n）的下标都换成 k，如图中（a） 、 （b）所示。步骤二，将 h（k）或 x（k）翻转得 h（-k）或 x（-k ） ，如图中（ c）所示。步骤
32、三，n=0 时，将 x（k）和 h（-k ）对应相乘，k=-+，但实际上只有 k=0时二者才有重合部分，因此 y（0）=x（0）h（0）=11=1。步骤四，将 h（-k）右移一个抽样点，即令 n=1，得 h（1-k ） ，如图中（d）所示，令 x（k）和 h（1-k）对应相乘，得： y（1）=x （0）h（1）+x（1）h（0）=3步骤五，不断移动 h（-k） ，可得到不同的 h（n-k ） ，并重复上述对应相乘过程，得：y（2）=x（1）h（1）+x （2）h（0）=5y（3）=x（2）h（1）+x （3）h（0）=7y（4）=x（3）h（1）=4当 n5 时，y（n）0。由于 h（n）是二
33、点序列，x（n）是四点序列，所以y（n）是五点序列。如图中（e）所示。例 2：令 x（n）=b n u（n） ，h（n）=a n u（n） ，求系统的输出 y（n） 。由定义有： kknkk ababx )()()( 100 式中第一个求和号 k 取值范围是泛指，而后面的取值范围是具体值。由几何级数求和公式，有： 00,)1()/()(1)(1 nbaanbbanyn例 3：已知输入为：x( n)=u(n)-u(n-N)，系统单位抽样响应为： h(n)=anu(n)，其中0a1，求系统的输出。解；同样可以用图解法求线性卷积：步骤一，将 x(n)和 h(n)的下标都换成哑元坐标 k。步骤二，将
34、h(k)或 x(k)翻转得 h(-k)或 x(-k)。步骤三，n=0 时，将 x(-k)和 h(-k)对应相乘，k=-+，并将所有对应点的乘积叠加起来得到 y(0)。步骤四，将 h(-k)右移 n 个抽样点，得 h(n-k)，并和 x(k)对应相乘，将各项乘积叠加得到y(n)。步骤五，改变 n 的值，即可得到整个 y(n)序列。此外，我们还可以用解析法求线性卷积。将 x(k)称为固定序列，将 h(n-k)称为移动序列。根据两序列的特征，先划分几段别考虑。对于每段再分别考虑其卷积的上下限，取两序列非零值上限中的小者为上限，下限中的大的作下限。应当注意 h(n-k)的上下限一直在变动。对于本题，分
35、为三个区间：n0，0nN，nN。当 n0 时，固定序列 x(k)是在 k=0 到 N-1 各点处均为 1，其余各点均为零的有限长序列，h(-k)是 k0 时全为零的左半边序列，而 n0 时，h(n-k )会进一步向左移|n|个点，两序列没有重叠之处，因此，乘积和输出均为零，即 y(n)=0。当 0nN 时，h(n-k)的右边 n+1 个点和 x(k)由 k=0 到 k=n 的 n+1 个点是非零对应。序列相乘再求和后即得该点输出 y(n)。按等比求和公式可得：14。1)(010 1)( aaaany nnkknnnN 时，因为 kN 后 x(k)=0，和最右边的一个非零 x(k)= x(N-1
36、)=1 对应的值为：an-(N-1)= an-N+1。 然后向左分别为 an-N+2，a n-N+3，直到 k=0 对应的：h(n-k)= an-N+N= an，由等比数列的 N 项求和可得： 。110)(anynNk由上例可知，卷积运算包含了加法、乘法和延时运算，这三者都可以在硬件上实现。LSI 系统的稳定性利用上述卷积关系，可以导出系统的稳定性判据。LSI 系统的第一稳定性判据：一个 LSI 系统是稳定的充要条件是：单位抽样响应绝对可和（绝对值之和有限） 。)6.31()(,1 nhSlh即证明：充分性对（1.6.2）式两边取绝对值，并由“和的绝对值小于等于绝对值的和”的原理，有： kkn
37、hxny)()(设 x(n)是有界的，即对所有的 n，存在一非无穷大数 R，使 |x(n)|R，则上式必有：nhRy)(因为 hl 1，所以|y( n)|RS，即 y(n)是有界的。故充分性得证。必要性：假定此时系统是稳定的，可令 x(n)为如下的有界序列： othersnhx00)(/)(于是： kkkhy )()(/)()0(2为使 y(0)有界，则必须有： nhS)(于是，必要性得证。稳定性的另一个判据将在下一章介绍。由于 FIR 系统得单位抽样响应 h(n)是有限长的，因此该类系统必然是稳定的。 IIR系统的 h(n)是无限长的，可能稳定，也可能不稳定，比如上节介绍得一阶自回归系统，由于其 h(n)=anu(n)，若|a|1，由于 1)(an15该系统是稳定的，但当|a|1 时，系统是不稳定的。
